高职高专高等数学教学方案课程教案.doc

,. 高等数学教案 系 部： 基础部 任课教师： 教师职称： 授课对象： 大一 课程学时： 120 学年学期： 60 第 1次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 1不定积分的概念 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解原函数，不定积分的概念； 2、熟悉基本积分公式。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：原函数，不定积分的概念； 难点：利用积分公式求函数的积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 通过实例（变速直线运动（课件展示））的分析和讲解，知其速度是路程函数对时间的导数，即速度。反过来，如果已知变速直线运动物体的速度函数，如何求出物体的路程函数，使得它的导数等于已知的速度函数。这是我们这节课所要讲解的重点。 说明：从数学的观点来看，它的实质是：已知函数，求一个函数，使得。这就是与求导数相反的问题。 通过对此例题的讲解，引出此节课要讲的不定积分的概念。 二、讲授新课 1、原函数的概念 定义3.1 设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有 或 则称为在该区间上的一个原函数。 设计思路：通过几个例子加以说明，加强学生对于原函数概念的理解，为不定积分概念的学习做铺垫。 2、不定积分的概念 不定积分的概念（课件展示），强调不定积分的重要性。 说明：根据不定积分的定义可知，求函数的不定积分，只需求出的一个原函数再加上一个常数即可。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如：，有 ；，有；，有。 注意：求不定积分时，不要忘记在一个原函数后面再加任意常数，否则求的只是一个原函数，不是所有的原函数，即不定积分。通常把求不定积分的方法称为积分法。 提问：积分运算与微分运算有什么样的关系？ 小结： ① ，此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消。 ② ，此式表明，先求导数（或求微分）再求积分两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数。对这两个式子，要熟练运用。 2、基本积分公式 课件展示：基本积分公式。 说明：求不定积分就是求导数的逆运算。 结合例题加以分析讲解基本的积分公式，加深学生对于积分公式的记忆，常用的积分公式着重讲解。 强调：以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积分函数的形式。 三、课堂演练 练习题： 1、求下列各式的不定积分。 （1）；（2）；（3）；（4）。 2、已知曲线上任意一点切线的斜率为，且该曲线过点，求曲线方程。 四、课堂小结 本次课程的内容有：原函数的定义，不定积分的概念，基本积分公式。 （5分钟） （20分钟） （25分钟） （20分钟） （15分钟） （5分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P71: 5.1, 1 课后总结分析： 第 2次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 2不定积分性质 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解不定积分的性质，掌握性质求简单函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：不定积分的性质； 难点：会利用性质求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 提问：上次课程我们学了不定积分的概念，引入实例，通过实例的求解，引入不定积分性质的话题，初步分析不定积分的性质。 二、讲授新课 1、不定积分的性质 1. 积分对于函数的可加性，即 ， 可推广到有限个函数代数和的情况，即 。 设计思路：给出几个例题，让学生们练习不积分的可加性，加强学生对性质的理解。 2. 积分对于函数的齐次性，即 。 说明：利用不定积分的基本积分公式和性质，就可以求一些简单函数的不定积分。 2、典型例题 例1求下列各式的不定积分： （1）； （2）； （3）。 讲解：略 例2求。 讲解：略 例3求。 讲解：略 例4求。 例5求。 例6求。 例7 求。 说明：不定积分性质运用，理解比较困难，这种加强例、习题的讲解和练习，帮助学生掌握不定积分的性质。 （15分钟） （25分钟） 5分钟学生消化以上所讲的知识。 （10分钟） （5分钟） （5分钟） （5分钟） （5分钟） （5分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P71 5.1 2.（2） （4） （6）. 课后总结分析： 第 3 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 3第一换元积分法 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、熟练掌握第一换元积分法； 2、会利用第一换元积分法求简单函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：第一换元积分法； 难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 引入一个例子，通过例题的讲解； 提问：你能通过例子总结一下不定积分的积分方法吗？ 二、讲授新课 1、第一换元法的概念 给出不定积分，计算了它的原函数， 注意：为复合函数。 分析此不定积分： 通过观察在积分表中没有此公式，只有，若将公式改写为员。令， 则上式变为 。 这种先凑微分形式，再作代换的积分方法，叫做第一换元积分法。 说明：第一换元积分法，又称凑微分法。 设计思路：讲练结合，给出例题，让学生们利用第一换元积分法求函数的不定积分，加强对上方法的理解和运用。 2、利用第一换元法求函数不定积分的步骤。 提问：通过以上对第一换元法例题的讲解，同学们总结一下第一换元法求函数的不定积分的步骤是什么？ 小结： （1）先凑微分，即 凑微分 ； （2）变量代换后积分，令，， 令 ； （3）最后回代， 回代 。 其中，第一步凑微分是关键，因而第一换元法又常称为凑微分法。 设计思路：给出例题，根据所讲的求积分的步骤，求函数的不定积分，加强对此步骤的应用。 三、课堂练习 例1 求下列函数的不定积分。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）；（10）。 四、课堂小结 本次课程的内容有：第一换元积分法的概念；不第一换元积分法求不定积分的步骤 （15分钟） （20分钟） （20分钟） 5分钟学生消化以上所讲的知识。 （25分钟） （5分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P76: 5.2 1.（2） （6） （8） 课后总结分析： 第 4次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 4第二换元积分法 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、熟练掌握第二换元积分法； 2、会利用第二换元积分法求函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：第二换元积分法； 难点：会用第二换元积分法求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 回顾第一换元法。 说明：第一换元法是先凑微分，再用新变量替换。但是有些积分是不容易凑微分的，需要新的积分方法。 给出例子，分析、解答此问题。 分析：在基本积分公式中，没有类似被积函数的公式，这就不能直接积分；也找不到合适的凑微分的部分，第一换元法就不能用。如果先去掉根号，可令，则。 解 = 设计思路：通过例题讲解，引出第二积分法这一求解不易凑微分的求解积分的方法。 二、讲授新课 1、第二换元法的概念 从以上例题的解法，可以看出，这种先换元，再积分，称为第二换元积分法。 2、第二换元积分法的步骤 第二换元积分法的步骤如下： （1）先换元，令，即 ； （2）再积分，即 积分 ； （3）最后回代，，即 回代 。 强调：运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数。对于，要求单调可微，且，其中是的反函数。 说明：（1）第一换元法先凑微分再换元；第二换元法是先换元再积分。 （2）第二换元法常用的代换有幂代换和三角代换，当被积函数含有时，可作幂代换令；当被积函数含有，，等表达式时，可作三角代换，分别令，，。 三、典型例题 例1 求下列函数的不定积分。 （1）；（2）；（3）。 讲解：略 点评：上述类型的习题，由于第一换元积分等方法不易求解，可根据第二积分换元法的解题步骤，逐次解答。 四、课堂小结 本次课程的内容有：第二换元积分法的概念；第二换元积分法求不定积分。 （20分钟） （10分钟） （25分钟） 5分钟学生消化以上所讲的知识。 （20分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P78:5.2 1.2..3.4 课后总结分析： 第 5 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 5分部积分法 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、熟练掌握分部积分法； 2、会利用分部积分法求函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：分部积分法； 难点：会用分部积分法求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、课前复习 学生阅读教材内容，复习第二换元积分法； 巩固学生们对上节课所学知识的理解，并复习上节课所学的知识点。 二、讲授新课 通过对第一换元积分法和第二换元积分法的理解，这节课学习一种新的积分方法。 1、分部积分法 设函数，都是连续可微函数，根据乘积微分公式，得，移项得，两边积分得 上式，称为分部积分公式。 说明：（1）分部积分法是与乘积微分法则相对应的，也是一种基本积分法； （2）如果计算比较困难，而容易计算时，可利用分部积分公式，把求的问题转化为求。 （3）利用分部积分法求不定积分，有时需要多次使用分部积分公式才能得出结果。 典型例题： 求，？ 讲解：略 说明：分部积分的方法是不定积分常用的方法，通过例题讲解加深学生对于分部积分方法的理解，要求学生熟练运用分部积分方法。 2、利用分部积分公式，和选取的规律 强调：利用分部积分法求不定积分时，有时多次使用分部积分公式，所求积分再次出现，于是得到一个关于所求不定积分的方程，解此方程便可得所求不定积分。 在使用分部积分公式时，和的选取具有一定的规律性。 现归纳如下： （1），，，可设； （2），，，可设，，； （3），，设哪个函数为都可以。 注意：此积分方法需要学生人熟练掌握，这是求不定积分的一种重要的方法。 三、典型例题 例1 求下列函数的不定积分。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）。 讲解：略 说明：分部积分法是求不定积分常用的方法，同学们在课后需加强练习。 四、课堂小结 分部积分法是求不定积分的一种比较重要的方法，希望学生课后多加练习课后习题。 （15分钟） （25分钟） （25分钟） （20分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P82 5.3 1. （1） （2） （3） 课后总结分析： 第 6 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 6本章小结 授课类型（请打√） 理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□ 教学目的： 1、巩固复习本章的知识点，加强学生对本章内容的理解和运用； 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：正确理解本章的知识点； 难点：会运用本章的知识点求解函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、知识点复习 1、原函数的概念。（课件展示） 注意：原函数不是唯一的； 2、不定积分的概念。（课件展示） 说明：求不定积分的问题就是求导数的反问题。 提问：求一个函数的不定积分，有哪几种方法？ 3、第一换元积分法（课件展示） 说明：第一换元积分法又称凑微分法。 求一个函数的不定积分，一般的步骤如下： （1）使用凑微分法，利用微分形式不变性，“凑”成一个在基本积分公式中的函数求出不定积分。如果不能使用凑微分法，再考虑下一步； （2）如果遇到二次根式或有理函数，那么就用第二换元积分法或有理函数的积分法。如果前面两个方法都不能用，再考虑下一步； （3）如果没有二次根式，遇到两个不同类型的函数乘积，那么就用分部积分法。 简单的说，求函数不定积分的基本原则是，被积函数有根号时用第二换元积分法消去根号，被积函数无根号，遇到两个不同类型的函数乘积用分部积分法。 4、第二换元积分法（课件展示） 小结：用第二换元积分法计算不定积分，关键是要选择合适的变换，使得新的被积函数具有原函数，再从中得出反函数，代入，即得的原函数。如果被积函数中含有被开方因式为一次式的根式时，令，可以消去根号，从而求得积分。如果被积函数中含有被开方因式为二次式的根式的情况，一般地说，可进行三角代换，当被积函数含有，可进行代换；当被积函数含有，可进行代换；当被积函数含有，可进行代换。它还是第二换元法的重要组成部分。但在具体解题时还要有具体分析，有时用凑微分法更好。 5、分部积分法（课件展示） 强调：不定积分求的是的一切原函数，而的任何两个原函数之间相差一个常数。也正是由于这个缘故，才会出现同一函数的两个原函数在形式上有很大的差异。但是，不管所求原函数的形式如何，其导数都必须是被积函数。 二、典型例题 例1 利用第一换元积分法求下列函数的不定积分。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）； 讲解：略 点评：本部分习题考察学生对于第一换元积分法的运用。 例2利用第二换元法求下列函数的不定积分 （1）；（2）；（3）。 点评：本部分内容考察学生对于第二换元法的运用。 例3利用分部积分法求下列函数的不定积分 （1）；（2）； （3）； 点评：本部分内容考察学生对于分部积分法的运用。 （10分钟） （5分钟） （10分钟） （10分钟） （10分钟） （20分钟） （15分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： 复习题五 P82. 3. 4 . 5. 课后总结分析： 第7次课 学时 2 授课题目（章，节） 第六章 不定积分 1定积分的概念及性质 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解定积分的概念； 2、会利用积分的概念求函数的定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：定积分； 难点：会用定积分的概念求函数的定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 给出一个实例曲边梯形的图形，求曲边梯形的面积。 上述问题的讲解和分析，求曲边梯形面积， 总结：可按以下四个步骤进行： （1）分割：。 （2）取近似： （3）求和： （4）取极限： 由此可见，求曲边梯形的面积可以归结为求和式的极限。 设计思路：通过例题的分析和讲解，吸引学生们的学习兴趣，引出定积分的概念。 二、讲授新课 1、定积分的概念 课件展示：定积分的概念。 注意： （1）所谓和式极限存在，是指其极限值与的分割和点的取法均无关。 （2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即 。 （3）和通常称为的积分和。 （4）如果函数在上的定积分存在，就说在区间上可积。 （5）闭区间上的连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的。 （6）定积分定义中要求积分限，为此，补充如下规定： ①当时，； ②当时，。 2、定积分的几何意义 从以上所讲的概念和上面的图形中，可知：在区间上，当时，积分在几何上表示由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积，即 ， 在区间上，若时，则在几何上表示由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形（在轴下方）面积的相反数，即 。 在区间上，若有正有负，则在几何上表示曲线在轴的上方部分和轴的下方部分“带号面积”（规定：位于轴下方的图形的带号面积为负，其绝对值等于该图形的面积；位于轴上方的图形的带号面积为正，其数值等于该图形的面积）的代数和。如上图，有 。 3、定积分的性质 根据以上对定积分概念及定积分几何意义的讲解，总结得出定积分的如下性质。 课件展示：定积分的性质。 注意：不论，还是，积分中值公式都成立。 设计思路：讲练结合，通过例题的讲解，习题的练习，让学生们利用定积分的性质求函数的定积分，加强学生们对定积分及定积分的性质的理解。 三、课堂练习 练习题： 1、 用定积分的定义计算。 2、 估计定积分的值。 四、课堂小结 本次课程的内容有：定积分的概念；定积分的几何意义；定积分的性质。 （20分钟） （20分钟） （15分钟） （15分钟） （10分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P87. 6.1 1. 3. 课后总结分析： 第 8 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第六章 定积分 2定积分基本公式 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、会求变上限积分的导数； 2、正确理解牛顿—莱布尼兹公式。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：牛顿莱布尼兹公式； 难点：会求变上限积分的导数。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、课前复习 同学们阅读教材内容，复习定义计算定积分的方法。 二、讲授新课 1、变上下限的定积分 课件展示：变上下限的定积分的概念。 给出一个曲边梯形的图形，分析该图形，通过对图形的进一步讲解，加深学生们对变上下限的定积分概念的理解和运用。 说明：在几何上，当时，变上限的定积分表示右侧邻边可以变化的曲边梯形的面积，这时又称为面积函数。 2、微积分基本公式 课件展示：牛顿-莱布尼兹公式。 板书；给出例题，让学生们利用牛顿-莱布尼兹公式求函数的定积分。 根据学生们做题的情况，总结出以下注意事项。 注意：（1）当被积函数含有绝对值或分段函数时，应利用定积分的可加性分别计算各小区间上的定积分。 （2）在利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分时，一定要满足公式所要求的条件，否则就会出现错误的结果。例如：，产生错误的原因在于在上是无界的，即不满足公式的条件，故不能使用牛顿-莱布尼兹公式。 典型例题： 例1. 讲解：略 例2. 讲解：略 点评：牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分常用的方法之一，需要学生熟练掌握，通过例题的讲解，加强学生对于公式的运用。 三、课堂演练 练习题： 例1 已知，求。 例2 已知，求在处的导数。 例3 已知，求的导数。 三、课堂小结 本次课程的内容有：变上下限的定积分，微积分的基本公式。 （10分钟） （25分钟） （35分钟） （15分钟） （5分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P90: 6.2.2.3 课后总结分析： 第 9次课 学时 2 授课题目（章，节） 第四章 定积分 3定积分的计算方法 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、了解定积分的换元积分法和分部积分法； 2、掌握换元积分法和分部积分法求函数的定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：定积分的换元积分法和分部积分法； 难点：会运用换元积分法和分部积分法求函数的定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、课前复习 课件展示：曲边梯形的图形，利用图形讲解上节课所学习的主要的内容。 设计思路：给出一些习题，让学生们通过做练习，加强对上节课所学知识的理解和运用。 课件展示：上节课所学习的主要知识点。 二、讲授新课 1、定积分的换元法 课件展示：定积分的换元法。 注意：在使用定积分换元公式时，用进行代换的同时，积分上下限应同时换成新变量的积分上下限。 设计思路：通过例题的讲解，让学生们练习，加强理解求定积分的换元法。 2、定积分的分部积分法 老师带领学生们复习前面所学习的不定积分的分部积分法，通过以前所学习的不定积分的分部积分法，推导出定积分的分部积分法。 课件展示：定积分的分部积分法。 设计思路：给出例题，学生们相互讨论，并回答老师的提问，以便能熟练掌握定积分的分部积分法。 三、典型例题 例1 利用换元法求下列函数的定积分。 （1）；（2）； （3）；（4）。 例2利用分部积分法下列函数的定积分。 （1）；（2）；（3）。 四、课堂小结 采用师生互动的形式，回顾本节课所学习的主要内容：定积分的换元法，定积分的分部积分法。 （15分钟） （20分钟） （20分钟） 5分钟学生消化以上所讲的知识。 （20分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P9 3: 1.（1） (2） （6） 课后总结分析： 第 10 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第六章 定积分 6本章小结（I） 授课类型（请打√） 理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□ 教学目的： 1、巩固复习本章的知识点，加强学生对本章内容的理解和运用； 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：理解本章的知识点； 难点：会运用本章的知识点求解函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、知识点复习 1、定积分的概念。 课件展示；定积分的概念。 2、不定积分的性质 课件展示：定积分的性质。 3、定积分的求解方法 课件展示：变上下限的定积分和牛顿-莱布尼兹公式。 说明： （1）当被积函数中含有绝对值符号时，被积函数一般在积分区间上是分段函数，计算分段函数的定积分可以用区间可加性，进行分段积分后再相加。 （2）如果定积分的上限是的函数，那么利用复合函数求导数公式对上限求导；如果定积分的下限是的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导数公式来对上限求导；如果定积分的上限、下限都是的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个为定积分的上限是的函数，另一个为定积分的下限是的函数，都可以化为变上限的定积分来对上限求导。 二、典型例题 例1 用定积分的定义计算。 讲解：略 例2 估计定积分的值。 讲解：略 例3 已知，求。 讲解：略 例4 已知，求在处的导数。 例5已知，求的导数。 讲解：略 例6 已知，求的导数。 讲解：略 例7 计算下列定积分： （1）；（2）；（3）；（4）。 讲解：略 三、课堂演练 教材90页习题四4.10,4.11 （30分钟） （前四道题20分钟） （5、6、7三题25分钟） （15分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P102 4. 课后总结分析： 第11次课 学时 2 授课题目（章，节） 第六章 定积分 5本章小结（II） 授课类型（请打√） 理论课□ 研讨课□ 习题课√□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、复习巩固本章学习的知识点，加强学生对本章知识点的解题能力； 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：理解本章的知识点； 难点：会运用本章的知识点求解函数的不定积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、课前复习 通过提问的方式，复习上节课所学的内容。 课件展示：上节课主要的知识点。 二、基本方法 1、提问：不定积分的第一换元法和第二换元法？ 根据学生们的回答，让学生们想一想定积分的换元法，通过学生们的思考，总结给出定积分的换元法。 强调：换元积分法包括第一换元积分法与第二换元积分法，在应用时应注意以下3点： （1）应用第一换元法（凑微分法）时，一般不需要引入新的积分变量，所以积分限不变； （2）应用第二换元法时，因为引入新的积分变量，所以换元时必须换积分限； （3）变量代换必须满足换元法中所限定的条件。 2、提问：哪们同学知道不定积分的分部积分法和定积分的分部积分法区别？ 学生们相互讨论并回答，根据学生们的回答，老师给出定积分的分部积分法。 三、典型例题 例1 利用换元法求下列函数的定积分。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）。 讲解：略 例2利用分部积分法求下列函数的定积分 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 讲解：略 （15分钟） （25分钟） （25分钟） （25分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P: 102. 6.7.8 课后总结分析：