电动力学典型试题分析.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -典型试题分析1、证明题：1、试由毕奥沙伐尔定律证明B0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：由式：B0J x4r 3r dv0J x41 dv r又知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结J x 11J xB0， 因 此4J xdv rA式中由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrA04J xrdv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BA0所以原式得证。可编

2、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、试由电磁场方程证明一般情形下电场的表示式EA .t证：在一般的变化情形中，电场 E 的特性与静电场不同。电场 E 一方面受到电荷的激发， 另一方面也受到变化磁场的激发， 后者所激发的电场是有旋的。 因此在一般情形下， 电场是有源和有旋的场， 它不行能单独用一个标势来描述。 在变化情形下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必定包含矢势 A 在内。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BA式代入EB 得：tEA0 ，该式表示矢量 E tA 是无旋t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

3、纳总结场，因此它可以用标势描述， EAt。因此，在一般情形下电场的表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结示式为： EA . 。即得证。 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式v22ll 01。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如下列图， 设物体沿 x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为 。如物体后端经过P 点（第1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一大

4、事）与前端经过P2 点（其次大事）相对于同时，就P1P2 定义为上测得的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结物体长度。物体两端在上的坐标设为x 和x 。在上 P 点的坐标为 x ， P 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的坐标为x2 ，两端分别经过P1 和 P2 的时刻为t1t2。对这两大事分别应用洛伦兹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1

5、 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变 换 式 得x1x11vt1 v2c2, x x2vt2v21c2， 两 式 相 减 ， 计 及 t1t2， 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx x2x1* .式中 xx 为上测得的物体长度 l（由于坐标x 和x 是在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222121121vc2可编辑资料

6、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2上同时测得的）， x x1为上测得的物体静止长度l 0 。由于物体对静止，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以对测量时刻t 和t 没有任何限制。由* 式得 ll1v。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2c12024、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：由于静电场的无旋性，得：Edl0设 C1 和C2 为由P1点到P2点的两条不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

7、同路径。C1与 C2 合成闭合回路，因此EdlC1Edl0C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即EdlEdl因此，电荷由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1C2P1点移至 P2点时电场对它所作的功与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结荷由 P1点移至 P2 , 电场 E 对它所作的功为：P2Edl , 这功定义为P1P1点和P2 点的电可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、名师归纳总结势差。如电场对电荷作了正功，就电势下降。由此，P2P2P1EP1dl 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的肯定数值是没有物理意义的。相距为dl的两点的电势差为dEdl .由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ddxxdydzyzdl ， 因此，电场强度E 等于电势的负梯度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E.5、试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程2 Aj 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答 ： 已 知 恒 定 磁 场 方 程B0 J（1）（ 在 均 匀 线 性 介 质

9、 内 ）， 把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -BA2代入（1）得矢势A的微分方程AJ. 由矢量分析公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA2 A.如取 A 满意规范条件A0，得矢势 A 的微分方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 AJ.程A0216、试由电场的

10、边值关系证明势的边值关系21.1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n证：电场的边值关系为：nE 2E1D 2D10, $. *， * 式可写为D 2nD1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式中 n 为由介质 1 指向介质 2 的法线。利用 D表为：E及E,可用标势将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.21n211势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：已知静电场方程为：E0, 1D.2并知道E.3 在匀称各向同性线可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性介质中， DE ，将（ 3）式代入（ 2）得2，为自由电荷密度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是得到静电势满意的基本微分方程，即泊松方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。E x x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：麦克斯韦方程组E xB xB xt说明，变化的磁场可以激发0E x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B x0 jx00t电场，而变化的电场又可以激发磁场， 因此，自然可以推论电磁场可以相互激发， 形成

12、电磁波。 这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域， 电荷密度和电流密度均为零， 在这样的情形下， 对麦克斯韦方程的其次个方程取旋度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并利用第一个方程，得到2 E xB x，再把第四个方程对时间求t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导，得到B x2 E x002tt，从上面两个方程消去B x，得到t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 E x1002 E x00t 2c.0 。 这 就 是 标 准 的 波 动 方 程 。 对 应 的 波 的 速 度 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nE2E10; nD2D1; nB2B10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DdsdVSV可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品名师归纳总结解： 即：n D 2 nSnD 2D 2D1D1nSnD1S.f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于磁场 B，把BdsS0 应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推导可得：B2nB1n即： nB2B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂直，矩形长边边长为l ，短边边长为l 。由于Edl0 ，作沿狭长矩形的E可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的路径积分。由于l 比l 小得多，当l 0 时， E 沿l 积分为二级小量，忽可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结略 沿l 的 路 径 积 分 ， 沿 界 面 切 线 方 向 积 分 为 ：E2 tlE1tl0即 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E2 tE1t0, *。 * 可以用矢量形式表示为：E2E1t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向

16、单位矢量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令矩形面法线方向单位矢量为t ，它与界面相切，明显有tnt #可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将# 式代入 式 ， 就E2E1nt 0, $， 利 用 混 合 积 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCC AB，改写 # 式为： t E2E1n0 此式对任意t 都成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此E2E1n0 ，此式表示电场在分界面切线方向重量是连续的。可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程2 Ek 2 E0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在肯定的频率下，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D E , BH ，把时谐电磁波的电场和磁场方程：E B ,tE x

18、,t B x, tEiwE x e B x eH ,iwt ,iwt .代入麦氏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程组HD ,tD0,B0.消去共同因子e iwt 后得HiwE0,H0.E,在此留意一点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 w0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于E0 ，因而H0 ，即得第四式。同样，由其次式可导出第三式。在此，在肯定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 第一 式旋 度 并 用第 二式 得Ew2E由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

19、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EE2 E2 E ，上式变为22EkE0, 此为亥姆霍兹方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kw.程。11、试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情形下， 导体外的电场线总是垂直于导体表面。在恒定电流的情形下， 导体内的电场线总是平行于导体表面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 明：（ 1） 导体 在 静 电条 件下 达 到 静电 平稳 ， 所 以导 体内 E10 ， 而：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n E2E1 0,nE

20、20, 故E0垂直于导体表面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）导体中通过恒定的电流时，导体表面f0.导体外 E 20, 即： D20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而： n D2D1 f0,即： nD1n0 E10 ，nE10 。导体内电场可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方向和法线垂直，即平行于导体表面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、设 A 和是满意洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z x, t （赫可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结兹矢量），如令Z, 证明 A1Z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： A和满意洛伦兹规范，故有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1

22、Ac2t0.Z代入洛伦兹规范，有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1c 2tA1Z .Z0,即A 1Zc 2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 2t2、运算题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、真空中有一半径为空间各点的电势。R0 接的导体球，距球心为a aR0处有一点电荷Q，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：假设可以用球内一个假想点电荷Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用。由对称性， Q 应在 OQ 连线上。关键是能否挑选 Q 的大小和位置使得球面上0 的条件使得满意

23、？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑到球面上任一点P。边界条件要求QQrr 0. 式中 r 为 Q 到 P 的距离，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 为Q 到P的距离。因此对球面上任一点，应有rrQ常数。（1） 由图可看Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结出，只要选Q 的位置使OQ P OPQ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r R0常数。（ 2）设 Q距 球 心 为b ， 两 三 角

24、 形 相 似 的 条 件 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rabR0R0a, 或b2R0 . 3a由（ 1）和（ 2）式求出Q R0 Q. 4 （3）和（ 4）式确a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定假想电荷Q 的位置和大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由Q 和镜象电荷Q 激发的总电场能够满意在导风光上0 的边界条件，因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 空 间 中 电 场 的 正 确 解 答 。 球 外 任 一 点p的 电 势

25、 是 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1QR0 Q1QR0 Qa式中 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结40rar 40R2a 22Ra cosR2b 22Rbcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为由 Q 到 P 点的距离，r 为由 Q 到 P 点的距离， R 为由球心 O 到 P 点的距离，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - -

26、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -为OP与OQ的夹角。2、两金属小球分别带电荷和，它们之间的距离为l ，求小球的电荷（数值和符号）同步的作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨 论其特点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：可知赫兹振子激发的电磁场：B104c 3 RE104c 2 RP eikRP eikRsinsine ,（取球坐标原点在e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结电荷分布区内， 并以 P 方向为极轴，就可知 B 沿纬线上振荡， E

27、沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1*SRe EH 2c*Re BnB20c2Bn20322p02 c3 R 2s 2 i n. n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因子 sin 2表示赫兹振子辐射的角分布， 即辐射的方向性。 在900的平面上辐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结射最强，而沿电偶极矩轴线方向0和没有辐射。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

28、总结3、已知海水的r1,1sm 1试运算频率v 为 50、106 和10 9 Hz 的三种电可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结磁波在海水中的透入深度。解 ： 取 电 磁 波 以 垂 直 于 海 水 表 面 的 方 式 入 射 ， 透 射 深 度 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r10r0410 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21v50Hz时： 1221064102221094102v106 Hz时：233 v109 Hz时：22504210 71717172m 0.5m16mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、电荷 Q 匀

29、称分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接运算电场的散度。解：作半径为 r 的球（与电荷球体同心） 。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当 ra时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Eds4 r 2 EQ ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - -

30、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因而EQ04r 2, 写成矢量式得EQr. ra 40 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ra, 就球面所围电荷为：4r 3343Qr 3r 3Q4a 33Qr 33.a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用高斯定理得：Eds4 r 2 E.a30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0由此得EQr. ra* 4a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

31、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现在运算电场的散度。当ra时 E 应取 式，在这区域 r0 ，由直接运算可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3r得r0,0r因而EQ 40r0. ra r 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 ra时E 应取 * 式，由直接运算得EQ3Qa0r304a 34. ra0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、一半径为 R 的匀称带电球体， 电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

32、师归纳总结其半径为R1 ，偏心距离为a，（ aR1R ）求腔内的电场。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：这个带电系统可视为带正电的 R 球与带负电的的 R1 球的迭加而成 。 因 此 利 用 场 的 迭 加 原 理 得 球 形 空 腔 的 一 点M之 电 场 强 度 为 ：Err 3 03 0rr 3 0a3 06、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为f求电场和束缚电荷分布。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -nE 2E10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把nH 2H 1,*应用于下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nD 2D1,nB2B10.可编辑资料 - - - 欢迎下载