（整理版）二○○一全国高中数学联赛.doc

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1、二一年全国高中数学联赛10月4日上午8：009：40题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题15个小题，全卷总分值150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、 选择题此题总分值36分，每题6分此题共有6个小是题，每题均给出ABCD四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分。1、a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为 A1 B2 C4 D不确定5假设12100

2、0的展开式为，那么3691998的值为 A3333 B3666 C3999 D366枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟，结果是 A2枝玫瑰价格高 B3枝康乃馨价格高 C价格相同 D不确定二、填空题此题总分值54分，每题9分7椭圆12的短轴长等于_8、假设复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,那么z1z2= 。9、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 ，那么直线A1C1与BD1的距离是 。10、不等式的解集为 。11、函数的值域为 。14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y

3、2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1） 求实数m的取值范围用a表示；（2） O为原点，假设C1与x轴的负半轴交于点A，当0aa2a3a4a5a6的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题10月4日上午10：0012：00学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷总分值150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、此题总分值50分如图：ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：1OBDF，OCDE；2O

4、HMN。二、此题总分值50分设xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。三、此题总分值50分将边长为正整数m,n的矩形划分成假设干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：CBDDCA 0个1个2个3个【答案】B 【解析】由于4如果满足60，12，的恰有一个，那么的取值范围是 01212 012或【答案】D【解析】这是“三角形的两边及其一边的对角，解三角形这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：此题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除、5假设121000的展开式

5、为，那么3691998的值为3333366639993【答案】C66枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟，结果是2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高 价格相同 不确定【答案】A二填空题7 8 9 10 11 12 732 7椭圆12的短轴长等于_【答案】8假设复数、满足2，3，3232，那么_【答案】1213，513故6 30137213说明：此题也可以利用复数的几何意义解10不等式112232的解集为_【答案】4，或1227，或01【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而

6、4，或1227，或0111函数的值域为_【答案】1，322，【解析】先平方去掉根号由题设得32，那么223由，得223解得132，或2由于能到达下界0，所以函数的值域为1，322，说明：1参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要2此题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试12在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物如图3，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，那么有_种栽种方案【答案】732【解析】为了表达方便起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类三解答题13【解析】设所求公差为d，

7、a1a2，d0由此得 化简得：14【解析】(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama15【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 证明如下： 1设当两个电

8、阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，那么故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB 显然R1R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的个4对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小 而由3，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1， 这就说明，要证结论成立全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系

9、， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，那么 直线AC的方程为，直线BE的方程为 由 得E点坐标为E() 同理可得F() 直线AC的垂直平分线方程为 直线BC的垂直平分线方程为 由 得O() OBDF二【解析】先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 再求最大值，令 设， 令 那么 令0，那么 三【解析】记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 事实上，不妨没mn (1)关于m归纳，可以证明存在一种符合题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n) 当用mAA1BCD1

10、Dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，假设nknk1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rnn(m，n) (2)关于m归纳可以证明(*)成立 当m1时，由于n1，显然f (m，n)rnn(m，n) 假设当mk时，对任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 假设mk1，当nk1时显然f (m，n)k1rnn(m，n) 当1nk时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，ap 不妨a1a2ap 显然a1n或a1n