放缩法证明数列不等式.ppt

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1、不等式左边可用等比数列前不等式左边可用等比数列前n项和公式求和项和公式求和.分析分析左边左边11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnN求证：例例1 1表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和左边不能直接求和，须先将其通项放缩后左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？求和，如何放缩？分析分析将通项放缩为将通项放缩为等比数列等比数列注意到注意到11212nn左边左边11(1)22112n112n 12311112222n变式：变式：小结：小结：放缩后再求和。般要先将通项，一缩；若不能直接求和的接求和，就先求和再放可直有关的不等式，若

2、放缩法证明与数列求和nniiaa1左边可用左边可用裂项相消法裂项相消法求和，先求和再放缩求和，先求和再放缩.分析分析11(1)221n12表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和111111(1)()()23352121nn左边1111()(21)(21)2 2121nnnn)(2112)(12(17515313112*Nnnn）、求证：例左边不能求和，应先将通项放缩为左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消裂项相消模型模型后求和后求和.分析分析11 1n 22 ()n保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩111111 (1)()()2231nn 左

3、边21n22211112 ()23nnN求证：变变式式1 11(1)n n11()12nnn当当n = 1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将强，要达目的，须将变式变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析保留前两项，从保留前两项，从第三项第三项开始放缩开始放缩思路一思路一211(1)nn n左边左边111142n 714n374()n211111111()()()223341nn 111nn(3)n 将变式将变式1 1的通项从第三项才开始放缩的通项从第三项才开始放缩. .当当n = 1,

4、2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.)(471312112*222Nnn、求证：变式变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将变强，要达目的，须将变式式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩思路二思路二22111nn左边左边11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 将通项放得比变式将通项放得比变式1 1更小一点更小一点.当当n = 1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.)(471

5、312112*222Nnn、求证：变式小结：小结： 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要中，很多时候要“留一手留一手”， 即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过，这样才不致使结果放得过大或缩得过小大或缩得过小. .常见的裂项放缩技巧：常见的裂项放缩技巧：)1(212n22112)1(2nnnnnnnnn)2(121121) 12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(21112

6、nnnnnnnnnnnnnn)3()111(2) 1(21212) 1(1)(1) 11 (12n21210 nnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111) 1(111) 1(11111211212) 12)(12(4144441111121) 1)(1(11112222224.1.3.5.6.2.(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n 思路思路nT nR123nnTbbbb123nnRcccc例3、证明证明(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1)n n1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n评注评注用分析法

7、寻找证明思路显得一气呵成！用分析法寻找证明思路显得一气呵成！ .121221,)2(*);(21) 1 (*).(,21421211nnSnSnaNnaaNnaaaaannnnnnnnn）（证明：项和为的前设数列证明：且满足、已知数列例放缩方法放缩方法：平方型：平方型：21n1(1)n n111nn1(1)n n11(2)1nnn21n211n111(2)211nnn21n244n2441n1122121nn21(21)n14 (1)n n111(2)41nnn立立方型：方型：31n21(1)n n111(2)2 (1)(1)nnnn n根式型：根式型：1n22 n21nn21nn 2(1)nn 2(1)nn1nnab2121221nnnn；2212121nnnn指数指数型：型：奇偶奇偶型：型：11(1)()nabaab；1nab11(1).()nabaab平方型、平方型、立方型、立方型、根式型根式型都都可放缩为可放缩为裂项相消裂项相消模型模型指数型指数型可放缩可放缩为为等比模型等比模型奇偶型奇偶型放缩为放缩为可求积可求积