分数阶非对称蔡氏电路的混沌动力学研究-丁瑞红.pdf

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1、分类号 : U D C: 密级 : 编号 : 河 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 分数阶非对称蔡氏电路的混沌动力学研究 论文作者 学科门类 指导教师 丁瑞红 理学硕士 刘辉昭 学生类别 : 学科专业 : 职 称 : 全日制 应用数学 教授D i s s e r t a t i o n S u b m i t t e d t o H e b e i U n i v e r s i t y o f T e c h n o lo g y f o r T h e M a s t e r D e g r e e o f S c ie n c e i n A p p l i e d M a t

2、 h e m a t i c s RESEARCH ON THE FRACTIONAL DYNAMICS OF ASYMMETRIC CHUAS CIRCUIT MODEL by Ding Ruihong Supervisor: Prof. Liu Huizhao Nov 2014原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行研究工作所 取得的成果。 除文中己经注明引用的内容外， 本学位论文的研究成果不包含任何 他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。 对本论文所涉及的研 究工作做出贡献的其他个人和集体， 均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原 创性声明

3、的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名日期： 关于学位论文版权使用授权的说明 本人完全了解河北工业大学关于收集、 保存、使用学位论文的规定。同意如 下各项内容： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学 位论文的印刷本和电子版，并釆用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论 文； 学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务； 学校 有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版； 在不以赢 利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 (保密的学位论文在解密后适用本授权说明）河北工业大学硕士学位论文 摘 要 本文研究

4、了分数阶非对称蔡氏电路模型， 讨论了其平衡点的稳定 性以及混沌吸引子的存在性 . 首先对混沌， 蔡氏电路和分数阶微积分 的相关背景和研究现状做了简单介绍， 其次研究了整数阶非对称蔡氏 电路的动力学模型， 通过观察系统的相位图和计算其李雅普诺夫指数， 得出了一定参数下的整数阶非对称蔡氏电路系统产生混沌运动， 最后 把 Caputo意义下的分数阶导数引入非对称蔡氏电路模型， 用类似的方 法对其进行研究， 发现相应的分数阶非对称蔡氏电路系统的动力学行 为随着分数阶次的改变出现混沌现 象 ， 并对其进行了 控 制 . 关 键词 ： 分数阶微分方 程 混沌蔡氏电路混沌 控 制河北工业大学硕士学位论文 A

5、 B S T R A C T In this paper, we study the fractional of asymmetric chua,s circuit mod el, discuss the stability of its equilibrium points and prove the existence of chaotic attractor. Firstly, the relevant background and research status about chaos, chuas circuit and fractional calculus are briefly

6、 introduced. Then we describe the integer-order sense of asymmetric chuas circuit mod el. And by observing it s phase diagram and calculating i t s lyapunov ex ponent, we obtain chaotic behavior produced by the system under certain parameters. Finally, we investigate the fractional dynamics of asymm

7、et ric chuas circuit model in the sense of caputo fractional derivative, in the similar way, we find that the system appears chaotic w ith the change of fractional order. Moreover, the control chaos are discussed. K E Y WORDS: Fractional Differential Equation Chaos Control chaos Chuas circuit河北工业大学硕

8、士学位论文 目 录 文摘要 .i = 文 摘 要 .ii 第 一 章 绪 论 .1 1 . 1 混沌的发 展 简 史 .1 1 . 2 蔡氏电路 .2 第 二 章 混 沌 .3 2 . 1 混沌的定义和 主 要 特征 .3 2 . 2 研究混沌的 几种 方法 .6 2.3 李雅普诺夫指数 . 7 第 三 章 分 数 阶 微 积 分 的 基 本 理 论 .9 3.1 分数阶微积分的 几种 定义 . 9 3 . 2 分数阶非 线 性系统的稳定性理论 .11 第 四 章 非 对 称 蔡 氏 电 路 的 混 沌 分 析 . 14 4 . 1 整数阶非对称蔡氏电路 . 14 4 .1 .1整数阶非对称蔡

9、氏电路的平衡 态 分 析 .15 4 .1 .2整数阶非对称蔡氏电路的混沌吸引子 .17 4 . 2 分数阶非对称蔡氏电路的混沌分 析 . 19 4 .2 .1分数阶非对称蔡氏电路的数学模型 . 19 4 .2 .2分数阶非对称蔡氏电路的平衡 态 分 析 .20 4 .2 .3分数阶非对称蔡氏电路的混沌吸引子 .21 4 .2 .4分数阶非对称蔡氏电路的李雅普诺夫指数 .26 4 . 3 分数阶非对称蔡氏电路混沌系统的 控 制 .26 4.4 K . 30 参 考 文 献 . 31 翻 寸 . 33 iii河北工业大学硕士学位论文 符 号说明 1. s :取整 函 数 . 2. R + :全体

10、 正实 数 . 3. N = 1, 2 , No = 0,1, 2, . 4. r ( s):第二 类 E u le r 积分 Gamma 函 数 . 5. Ca,b: a ,b 上 所有 连续 的 实函 数全体 . 6. Cn a ,b :定义在 区间 a ,b 上 所有 具 有 n 次 连续 导 函 数的 函 数全体 . 7. L(a,b): (a ,b )上 所有 勒贝格 可积 函 数全体 . 8. A T : 矩阵 A 的 转秩 . iv河北工业大学硕士学位论文 第 一 章绪 论 1 . 1 混 沌 的 发 展 简 史 1892年 ， 法国 著 名数学家和 物 理学家 庞卡莱 (Poi

11、ncare)在研究 三 体 问题时 发 现了动力系统中的同 宿轨道 和 异宿轨道 ， 这种 运动是不 寻常 的， 无 法求出其 精 确 解 . 后 来 他在 1903年 出版的 科学 与 方法 中明确指出： 三 体 问题 在一定 范围 内 , 其解是随机的 , 这实际上 是一个保 守 系统的混沌 , 可以说 ,庞卡莱 是 世界上 首次发 现混沌的人 . 1963年,美 国科学 院院 士 E .N .Lorenz用一 台 原 始 的计算机研究 气象 的变化 , 发现了 Lorenz系统， 随后 , 他在 大 气 科学 上 发表了 “决 定性非 周 期 流 ”一文 ,该 文利用计算机数 值 研究

12、结 果， 清楚地 描 述 了系统对 初始条 件 敏感 性的 特 点 ， 1979 年 , 在 华盛顿 科学进 步协会 的 报告 中他把 这种 现 象 称为 “蝴蝶效 应 ” . 1975年 ， 李 天岩 和 约克 在他 们著 名的论文 周 期 3 意 味 着混沌 中， 揭示 了 从 有 序到无序 的 演 化过 程 ， 给 出了 闭区间上连续自映射 的混沌定义， 在文中首次 提出 Chaos (混沌 )一 词 ， 并 被 后 来 的学者 们 所 接受 . 1976年美 国数学家 梅 (M ay)在 自然（ N ature)杂志上 发表了文 章 具 有 极 复 杂 的动力学的简单数学模型 ， 其

13、中 著 名的一 维映射逻辑斯蒂 (L o g istic),也 称人 口 模型， 展示 了复 杂 的动力学行为 . 另 外， 斯梅尔 (Sm ale),梅尔尼 科夫 (M eln iko v),赫柏林等 人 也 做了大 量 的工作 . 混沌 , 相对论和 量 子力学 被誉 为 2 0世纪物 理学的 三 大发现 , 可以说 ,“ 相对论 消 除了关于 绝 对 空间 和 时间 的 幻想 ； 量 子力学 消 除了关于可 控测量 过 程 的 牛顿 式 的 梦 ；混沌 则消 除了 拉 普 拉斯 关于 决 定论可 预测 性的 猜想” . 混沌理论在国内外 众多 学者的研究下不 仅 取得了 快速 的发 展

14、, 而且广泛地 应用于各个学科 . 利用分数阶微积分 与 分数阶微积分方 程 讨论 实际问题起源 于 1 9世纪 3 0年 代 ， 但 由于 缺少物 理意义和应用背景 而 使得 该 学科发 展较 为 缓慢 . 直 到 1983年 M a n de lb ro t在文献 1 中指出 自然界 中存在 许多 的分数 维 现 象 ，自此 人 们 对分数 阶微积分理论进行了大 量 研究 , 研究表明： 许多物 理系统 因 其 特殊 性 而展 现出分 数阶动力学行为， 是分数阶系统 ,采 用分数阶模型描 述 本 身带 有分数阶 特 性的对 象时 ， 能更好地揭示 对 象 的本 质特 性及其行为， 如利用分

15、数阶系统研究混沌现 象 时 ， 人 们 发现：对于分数阶 L o re n z系统， 当分数阶次为 2 .9 7时 ， 系统 会 出现混沌 1现 象 2; 对于对称 形 式的分数阶 C h u a系统 (蔡氏电路系统 )， 当分数阶次为 2 .7时 ， 系统出现混沌行为 3.目前分数阶微积分 与 分数阶微分方 程已被广泛 关注和应用 于工 程技 术 等 各个 领域 ， 如 粘 弹 性 系 统 电 极 电 解 液 极 化 ,分数阶数字 信 号 处 理 分 数 阶 混 沌 和 超 混 沌 , 分数阶电路 等领域 . 河北工业大学硕士学位论文 1 . 2 蔡 氏 电 路 1983年 ， 欧洲 科学

16、院院 士 L.O .C hua提出了 著 名的 “蔡氏电路 ” ， 此 电路由 两 个 电容， 一个电 感 ， 一个电 阻 和一个 被 称为蔡氏 二极管 的非 线 性电 阻组 成， C h u a利 用电路 实验 ， 计算机模 拟 ， 理论分 析等多种 工 具 对不同参数 组合 下的蔡氏电路系 统的动力学行为进行了研究 . 1986年 ， C hua在文献 10中 证 明了蔡氏电路系统 能 够 产生复 杂 的混沌现 象 . 各国学者对经 典 蔡氏电路 展 开了 广泛 研究， 通过 增加 电容， 电 感 ， 电 阻等元 件 个数或者改变蔡氏 二极管 的非 线 性 特 性， 得 到 一系 列修 改

17、的蔡氏电路， 称 之 为 “ 广 义蔡氏电路 ”， 如 Koliopanos等 人通过 添加 一个电 阻 和改变蔡氏 二极管 的构 造 ， 得 到 了 四维自治 系统 11, 发现了 此 电路由 间歇而 产生的 危 机； H a rtle y等 人在文献 1 2 中用 三 次方 函 数 代替 分段 函 数， 不 仅避 开了经 典 蔡氏电路的不 光滑 性，同 时 也 保 留 了蔡氏电路中的非 线 性 特 性， 此 电路系统同 样 可以观察 到 一 些 非 线 性现 象 ; Shiln ik o v在文献 1 3 中通过 实验 研究和数 值 模 拟 发现， 蔡氏电路可以经过不同 的 途径 通向混沌

18、， 如 倍周 期分 岔 ， 环面破裂 ， 危 机 等 ； 禹思敏 ，吕金虎14 通过在经 典 蔡氏电路的电 感 支 路 上 串 入一个 n 型子电路， 从而 构 建 出 五 阶， 六 阶和 七 阶蔡 氏电路 . 1995年 H a rtle y建立 了分数阶对称蔡氏电路系统， 通过研究发现， 在 满足 一 定系统阶次下， 分数阶对称蔡氏电路系统 也 可以产生混沌行为 3. 本文研究分数阶非对称蔡氏电路， 研究系统的阶次对分数阶非对称蔡氏电路 的影 响 . 所得 结 果表明：在一定系统参数和系统阶次下， 分数阶非对称蔡氏电路 系统同 样会 出现混沌行为 . 2河北工业大学硕士学位论文 第二章 混

19、沌 2 . 1 混 沌 的 定 义 和 主 要 特 征 由于混沌系统的复 杂 性和 奇 异 性 至今尚未 被 人 们 完全了解， 因此 人 们 至今 对 混沌 还 没有一个统一的定义， 下 面 介绍 两种 混沌定义和混沌的 主 要 特征 . 1 97 5年 ，李 天岩 和 约克 (James A. York)在 美 国 数学 月刊 中发表了文 章 (Period Three Implies Chaos,提出了 “如果一个系统中出现了 周 期 3,则该 系统 必 然 含有 无 穷 多 个不稳定的 周 期 轨道 ， 因而 只 能 是混沌 ”这 一理论， 并 从区间映射 角度 给 出了混沌的 严 格

20、 数学定义 . 对于一个 从实区间 I 4 I C R 的 映射 f , f *(x) = f ( f ( f ( x ) ) )表 示 t 重 函 数 关系 . 如果对于一点 a e I ,有 f k(a) = a ,并 且 f j (a) = a, 0 0; 任 给 x ,y e S 时, 有 lim in f | f t (x) - f t (y)| = 0; 任 给 x e S和 f 的任意 周 期点 y , 有 lim sup | f t (x) - f t (y)| 0. 上述 集 合 S 称 为 f 的混沌不变集， 具 有 这种 混沌不变集的动力学系统称为 L i-Y o rke

21、混沌的 . 此 性 质 表明集 合 S 中任意 两 点的 轨线时而 远离 时而接 近 ， 而且 不 趋 于任何 周 期 轨道 . 不同 领域 的学者 从 不同 角度 给 出了混沌的定义， 下 面 叙 述 Devaney意义下的 混沌 . 定 义 2.1.216,P3 ( D evaney混沌） 设 X 是 紧致 的 度 量空间 ，f : X 4 X 的 连 续映射 . 如果下 述三 个 条 件 满足 ： 3河北工业大学硕士学位论文 (1) f 是 拓扑传递 的；对 X 中的任意非 空 开集 A, B , 存在 k 0,使 f k(A) n B = 0 ; (2) f 的 周 期点在 X 中 处

22、处 稠 密； x 是 f 的任意 周 期点， x 的任一 邻 域 6(c) 与 X 的交集不为 空 ； (3) f 是对 初始条 件 敏感 依赖 的 . 任 意 0 和 x C X , 存在 b 0, x 的 e 邻 域 内的点 y 和 自然 数 n ,使 得 | f n(x) - f n (y)| 5; 那么 称 f 在 Devaney意义下是混沌的 . 本文讨论的非对称蔡氏电路是 连续 系统 , 下 面 介绍 连续 系统的混沌定义 . 考 虑 连续时间 系统 x (t) = F (x(t), (2.1.1) 设 0(t, x o )为 满足 初值条 件 x(0) = x o 的解 . 定

23、义 2.1.3 16,P 6 系 统 （ 2.1.1)在点 吻 处 的解 柳 ,恥 ) 满足 ： 存在一个 7 0, 使得对任意一个 5 0 ,存在 某 个 y o ,使 得 |y。 - xoy 0,有 ll0(T,yo) 一 0 (T, x o)| t , 那么 称系统在点 xo 处 对 初始条 件 敏感 依赖 . 定义 2.1.416,P 6 系统 （ 2.1.1)称在一个集 合 S 上 的 限 制对 初始条 件 敏感 依赖 , 如果存在一个 Yi 0 ,使 得 对 任 意 一 个 G S 以及任意一个 b 0 ,存在 yo G S , 使 得 |yo 一 xo| 0,有 I歐 yo) 一

24、 0 (T, x o)| Y i. 定 义 2.1.516,P 6 设 A 是 连续时间 系统 （ 2 .1 .1 )的一个不变集， 如果下 面条 件 成 立 ： (1) A 是 孤立 不变集； (2) A 不可分解 ( A 是 拓扑传递 )； (3) 0 ( t , x )在 A 上 的 限 制对 初始条 件 敏感 ； 那么 称系统 （ 2.1.1)在 A 上 混沌 . 尽 管 混沌有以 上 的定义， 但 判断 一个 实际 系统是 否 混沌是 很困难 的 .研究发 现混沌吸引子是混沌系统 特 有的， 因此 人 们常常 通过说明系统存在混沌吸引子 来 判 定系统 会 出现混沌 . 4河北工业大

25、学硕士学位论文 文 16， P 1 0 给 出 判断 混沌吸引子的方法， 其内容如下： 设 n 维连续 性系统， 如果 具 有 这样 一个集 合 M , 它 满足 下 面 所有的 条 件， 那 么 M 是混沌吸引子 . ( 1 )有 很 多 不在同一 轨道上 的点 y i,y 2, ,yn,它 们 的 极 限 集 w (y ) = M , 1 ln |g(xj)| + ln |xo - xo|) n n j=o 1 n - 1 = exp(n lim _ y n |g (xj)|) exp(ln |xo - xo|) n n j=o 1 n - 1 = exp(n lim _ y n |g(x

26、j)|)|xo - xo|. n n j=o 从而 1 n - 1 A(xo) = n li n E ln |g (xj )|. j=o 7河北工业大学硕士学位论文 定义 2.3.1 15， P283如果 上 式 极 限 存在 ,则 称 A ( o )为李雅普诺夫指数 (Lyapunov E xponent),英 文缩 写 为 LE. 定 义 2.3.3 15, P284对于 m 维映射 X + 1 = g (x ), (2.3.1) 其中： x G R m, g G R m 为 光滑函 数 . 定义在 x。处 沿 向 量 v 方向的李雅普诺夫指 数为 A(xo, v) = lim ln |D

27、gn(xo )v|, n 因此映射 (2.3.1)有 m 个李雅普诺夫指数 A(x。 ， ei) = lim 1 ln |Dgn (xo)ej|, (i = 1, 2 , ， m), n n 式中： ei (i = 1,2, , m )为 R m 中一 组基 . 这 m 个李雅普诺夫指数可按大 小排 序 ， 通 常 将 最大的 记 为 第 一个 ,最 小 的 记 为 第 m 个 . 定 义 2.3.4 15, P284对于 m 维连续 动力系统 菩 = f i( x 1 ,x 2, ,x m), (i = 1,2, ,m ), 记 y (t, x ) 为 满足 初值 y(0, x) = x o

28、 的解， 则 在 x q 处 沿 向 量 v 的李雅普诺夫指数 定义为 A(x。 , v) = lim 1 ln |D xy(t,x)v|. t 结合 以 上 定义可 知 ， 当 入 0 , 有 e入 0 ,即 相 邻 两 点呈指数规律分 离 ， 根据 定义 2.1.3知 李雅普诺夫指数 反 映 了对 初始条 件的 敏感 依赖 性 . 李雅普诺夫指数是 沿 轨道 长 期平均的 结 果 ,所有的李雅普诺夫指数构成的集 合决 定了动力系统相 空间轨 迹 的运动性 质, 沿某 一方向的李雅普诺夫指数的大 小 和 正 负 决 定了 长 期 时间 内的运动 轨 迹 呈指数 形 式的收 敛率 或发 散率

29、. 关于李雅普诺夫指数和吸引子的关系， 文 献 21 给 出了如下 结 果： ( 1 )任何吸引子 至 少 有一个李雅普诺夫指数是 负 的， 否 则 系统的运动 轨 迹 不 可 能 收缩为吸引子 . ( 2 )稳定定 态 , 周 期运动和 准 周 期运动不可 能 有 正 的李雅普诺夫指数 . ( 3 )混沌运动中 至 少 有一个 正 的李雅普诺夫指数 .若 系统的李雅普诺夫指数 大于 零 的个数 超 过 两 个 , 那么 系统的运动为 超 混沌 . 8河北工业大学硕士学位论文 第三章 分数阶微积分的 基 本理论 3 . 1 分 数 阶 微 积 分 的 几 种 定 义 G am m a函 数在分

30、数阶微积分的定义和运算中 起 着 十 分重要的作用， 下 面 介 绍 G am m a函 数的定义和性 质 . r 函 数 22,P 1 9 0 广 十 r(s ) = x s-1e- x dx, s 0. 0 性 质 3.1.122,p 1 9 1 r ( s )在定义 域 s 0 内 连续 . 性 质 3.1.222 p 191递推 公式 r( s + 1) = sr(s), r ( n + 1) = n ! . 定义 3.1.123,p45 ( Riem ann L io u ville 分数阶积分 ） f (t) 是定义在 J丨 = (0, + ) 上 的分 片 连续函 数， 且 在

31、J = 0, + ) 的任意有 限 子 区间上 可积， 当 t 0 时 f ( t )的 a 0 阶 Riem ann - L io u v ille分数阶积分定义为 1 r t D - a f =现 I ( - s)a-1f (s)ds. (3.1.1) 定义 3.1.223,p82 ( Riem ann - L io u ville 分数阶导数 ） f (t) 是定义在 J丨 = (0, + ) 上 的分 片 连续函 数， 且 在 J = 0, + ) 的任意有 限 子 区间上 可积， 当 t 0 时 f (t ) 的 a 0 阶 Riem ann - L io u ville 分数阶导数定义为 Da f (t) = r ( n - a) ( ) J0 (t - s )-a +n -1 f (s)ds. (3丄 2) 其中 0 n - 1 0. 性 质 3 1 4 24P 1 6 f ( t )在 J = 0, + ）上连续 ， 则 D - a (D -卢 f (t) = D (a十 的 f (t) = D - 尽 (D - a f (t), a 0, P 0. 9