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.- 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① ② 非负性 ③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。 8、 三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？ 9、若为整数，且，试求的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：12+23+34+…+n(n+1) 3、计算： 4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。5、若三个有理数满足，求的值。 第二讲 数系扩张--有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① 表示数对应的点到原点的距离。 ② 表示数、对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1、 （1）若，化简 （2）若，化简 2、设，且，试化简 3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1） （2） （3） （4）若则 （5）若，则 （6）若，则 4、若，求的取值范围。 5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？ 6、设，求的最小值。 7、是一个五位数，，求的最大值。 8、设都是有理数，令 ,,试比较M、N的大小。 三、【课堂备用练习题】： 1、已知求的最小值。 2、若与互为相反数，求的值。 3、如果，求的值。 4、是什么样的有理数时，下列等式成立？ （1） （2） 5、化简下式： 第三讲 数系扩张--有理数（三） 一、【能力训练点】： 1、运算的分级与运算顺序； 2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 （1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。 （2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。 二、【典型例题解析】： 1、计算： 2、计算：（1）、 （2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）、（-4）+ 3、计算：① ② 4、 化简：计算：（1） （2） （3） （4） （5）-4.03512＋7.53512-36（） 5、计算： （1） （2） （3） 6、计算： 7、计算： ： 第四讲 数系扩张--有理数（四） 一、【能力训练点】： 1、运算的分级与运算顺序； 2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、巧算的一般性技巧： ① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、【典型例题解析】： 1、计算： 2、 3、计算：① ② 4、化简：并求当时的值。 5、计算： 6、比较与2的大小。 7、计算： 8、已知、是有理数，且，含，，，请将按从小到大的顺序排列。 三、【备用练习题】： 1、计算（1） （2） 2、计算： 3、计算： 4、如果，求代数式的值。 5、若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值。 第五讲代数式（一） 一、【能力训练点】： （1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1、用代数式表示： （1）比的和的平方小的数。 （2）比的积的2倍大5的数。 （3）甲乙两数平方的和（差）。 （4）甲数与乙数的差的平方。 （5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。 2、代数式的求值： （1）已知，求代数式的值。 （2）已知的值是7，求代数式的值。 （3）已知；，求的值 （4）已知，求的值。 （5）已知：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。 （6）已知等式对一切都成立，求A、B的值。 （7）已知，求的值。 （8）当多项式时，求多项式的值。 3、找规律： Ⅰ.（1）； （2） （3） （4） 第N个式子呢？ Ⅱ.已知 ； ； ； 若 （、为正整数），求 Ⅲ. 猜想： 三、【备用练习题】： 1、若个人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要多少天？ 2、已知代数式的值为8，求代数式的值。 3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？ 4、已知求当时， 第六讲 代数式（二） 一、【能力训练点】： （1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。 二、【典型例题解析】： 1、 已知多项式经合并后，不含有的项，求的值。 2、当达到最大值时，求的值。 3、已知多项式与多项式N的2倍之和是，求N？ 4、若互异，且，求的值。 5、已知，求的值。 6、已知，求的值。 7、已知均为正整数，且，求的值。 8、求证等于两个连续自然数的积。 9、已知，求的值。 10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？ 三、【备用练习题】： 1、已知，比较M、N的大小。 ， 。 2、已知，求的值。 3、已知，求K的值。 4、，比较的大小。 5、已知，求的值。 第七讲 发现规律 一、【问题引入与归纳】 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。 能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 二、【典型例题解析】 1、 观察算式： 按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+ ？ 2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？ 3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？ 4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？ 5、 观察右图，回答下列问题： （1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？ （2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？ （3）某一层上有77个点，这是第几层？ （4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？ 6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题： （1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； （2）计算：= （填写最后的计算结果）。 7、 观察下列各式，你会发现什么规律？ 35=15，而15=42-1 57=35，而35=62-1 … … 1113=143，而143=122-1 … … 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。 8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。 三、【跟踪训练题】1 1、有一列数其中：=62+1，=63+2，=64+3，=65+4；…则第个数= ，当=2001时，= 。 2、将正偶数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 …… …… 28 26 根据上面的规律，则2006应在 行 列。 3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中： 1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336 5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格： 拼成一行的桌子数 1 2 3 … n 人数 4 6 … 6、给出下列算式： 观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律： 152=225可写成1001（1+1）+25 252=625可写成1002（2+1）+25 352=1225可写成1003（3+1）+25 452=2025可写成1004（4+1）+25 ………… 752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952= 8、已知，计算： 112+122+132+…+192= ； 9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？ 第八讲 综合练习（一） 1、若，求的值。 2、已知与互为相反数，求。 3、已知，求的范围。 4、判断代数式的正负。 5、若，求的值。 6、若，求 7、已知，化简 8、已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，P是数轴上的表示原点的数，求的值。 9、问□中应填入什么数时，才能使 10、在数轴上的位置如图所示， 化简： 11、若，求使成立的的取值范围。 12、计算： 13、已知，，，求。 14、已知，求、的大小关系。 15、有理数均不为0，且。设，求代数式的值。 第九讲 一元一次方程（一） 一、知识点归纳： 1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。 3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。 二、典型例题解析： 1、解下列方程：（1） （2）； （3） 2、 能否从；得到，为什么？反之，能否从得到，为什么？ 3、若关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。 4、若。求的值。 5、已知是方程的解，求代数式的值。 6、关于的方程的解是正整数，求整数K的值。 7、若方程与方程同解，求的值。 8、关于的一元一次方程求代数式的值。 9、解方程 10、已知方程的解为，求方程的解。 11、当满足什么条件时，关于的方程，①有一解；②有无数解；③无解。 第十讲 一元一次方程（2） 一、能力训练点： 1、列方程应用题的一般步骤。 2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题） 二、典型例题解析。 1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？ 2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？ 3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？ ： 4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？ 5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？ 6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？ 7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。 8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？ 9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？ 10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？ 11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？ 12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？ 数形结合谈数轴 一、阅读与思考 数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数； 3、利用数轴比较有理数的大小； 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈 1、利用数轴能形象地表示有理数； 例1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（ ） A． B． C． D． 拓广训练： 1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（ ） （“祖冲之杯”邀请赛试题） A．1 B．2 C．3 D．4 3、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。 2、利用数轴能直观地解释相反数； 例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为 。 拓广训练： 1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则 2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 3、利用数轴比较有理数的大小； 例3：已知且，那么有理数的大小关系是 。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： 1、 若且，比较的大小，并用“”号连接。 例4：已知比较与4的大小 拓广训练： 1、已知，试讨论与3的大小 2、已知两数，如果比大，试判断与的大小 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 例5： 有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（ ） A． B． C． D． 拓广训练： 1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 。 2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是 。 ① ② ③ ④ 3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是（ ） （湖北省初中数学竞赛选拨赛试题） A． B． C． D． 三、培优训练 1、已知是有理数，且，那以的值是（ ） A． B． C．或 D．或 1 0 A 2 B 5 C 2、（07乐山）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（ ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4、数所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定的 5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若，那么点B（ ） A．在A、C点右边 B．在A、C点左边 C．在A、C点之间 D．以上均有可能 6、设，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题） A．没有最小值 B．只一个使取最小值 C．有限个（不止一个）使取最小值 D．有无穷多个使取最小值 7、在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是 。 8、若，则使成立的的取值范围是 。 9、是有理数，则的最小值是 。 10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示： 且求的值。 11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边。 综上，数轴上A、B两点之间的距离。 （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么为 ； ③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； ④求的最小值。 聚焦绝对值 一、阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则： 2、恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离。 3、灵活运用绝对值的基本性质 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 二、知识点反馈 1、去绝对值符号法则 例1：已知且那么 。 拓广训练： 1、已知且，那么 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 2、若，且，那么的值是（ ） A．3或13 B．13或-13 C．3或-3 D．-3或-13 2、恰当地运用绝对值的几何意义 例2： 的最小值是（ ） A．2 B．0 C．1 D．-1 解法1、分类讨论 当时，； 当时，； 当时。 比较可知，的最小值是2，故选A。 解法2、由绝对值的几何意义知表示数所对应的点与数1所对应的点之间的距离；表示数所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；的最小值是指点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知 当时，的值最小，最小值是2故选A。 拓广训练： 1、 已知的最小值是，的最大值为，求的值。 三、培优训练 1、如图，有理数在数轴上的位置如图所示： 则在中，负数共有（ ）（湖北省荆州市竞赛题） A．3个 B．1个 C．4个 D．2个 2、若是有理数，则一定是（ ） A．零 B．非负数 C．正数 D．负数 3、如果，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（ ）（第15届江苏省竞赛题） A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确 5、已知，则化简所得的结果为（ ） A． B． C． D． 6、已知，那么的最大值等于（ ） A．1 B．5 C．8 D．9 7、已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（ ） A．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值 8、满足成立的条件是（ ）（湖北省黄冈市竞赛题） A． B． C． D． 9、若，则代数式的值为 。 10、若，则的值等于 。 11、已知是非零有理数，且，求的值。 12、已知是有理数，，且，求的值。 13、阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式=; （2）当时，原式=； （3）当时，原式=。 综上讨论，原式= 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1） 分别求出和的零点值；（2）化简代数式 14、（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。 15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？ 16、先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： ① ② 如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离. 如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离；而如果P放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D近段距离，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。 问题（1）：有机床时，P应设在何处？ 问题（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。 有理数的运算 一、阅读与思考 在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。 二、知识点反馈 1、利用运算律：加法运算律乘法运算律 例1：计算： 解：原式= 拓广训练： 1、计算（1） （2） 例2：计算： 解：原式= 拓广训练： 1、 计算： 2、裂项相消 （1）；（2）；（3） （4） 例3、计算 解：原式= = = 拓广训练： 1、计算： 3、以符代数 例4：计算： 解：分析： 令=，则 原式= 拓广训练： 1、计算： 4、分解相约 例5：计算： 解：原式== = 三、培优训练 1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则= 。 2、计算：（1）= ； （2）= 。 3、若与互为相反数，则= 。 4、计算：= 。 5、计算：= 。 6、这四个数由小到大的排列顺序是 。 7、（2007“五羊杯”）计算：=（ ） A．3140 B．628 C．1000 D．1200 8、（2005“希望杯”）等于（ ） A． B． C． D． 9、（2006“五羊杯”）计算：=（ ） A． B． C． D． 10、（2009鄂州中考）为了求的值，可令S＝，则2S＝ ，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理计算出的值是（ ） A、 B、 C、 D、 11、都是正数，如果，，那么的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 12、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为的形式，求的值（“希望杯”邀请赛试题） 13、计算 （1）（2009年第二十届“五羊杯”竞赛题） （2）（北京市“迎春杯”竞赛题） 14、已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于， 求的值 15、已知，求的值（2006，香港竞赛） 16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为． 第2层 第1层 …… 第n层 　　　　　　　图１　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3　　　　　　　　图4 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 数 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：，，且， 那么 的值（ C ） A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号 解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程 的解的个数是（ D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值． 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2 于是 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 . （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离 可以表示为 ． 分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。 当x<-1时，距离为-x-1, 当-10，距离为x+1 综上，我们得到