高等数学(大一)汇总题库.doc

.\ （一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) (B) (C) (D) 2、 当时，函数f (x)=x sin x是( ) （A）无穷大量 （B）无穷小量 （C）无界函数 （D）有界函数 3、 当x→1时，都是无穷小，则f(x)是的( ) （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶无穷小 （D）等阶无穷小 4、 x=0是函数的( ) （A）可去间断点 （B）跳跃间断点； （C）振荡间断点 （D）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A）若存在，则f (x)有界； （B）若在的某邻域内，有且都存在，则也 存在； （C）若f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f (a), f (b)<0则方程f (x)=0,在(a, b)内有唯一的实根; （D） 当时，都是无穷小，但与却不能比. 二、填空题： 1、 若且则f (x)的表达式为 ; 2、 已知数列的极限是4, 对于满足n>N时，总有成立的最小N 应是 ; 3、 (b为有限数) , 则a= , b= ; 4、 设则x=a是f(x)的第 类 间断点; 5、 且f[g(x)]在R上连续，则n= ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）； （2）； （3） （4） （5） （6） 2、确定常数a, b，使函数 在x=-1处连续. 四、证明：设f (x)在闭区间[a, b]上连续，且a1 时收敛,P≤1时发散 （D）P≥1 时收敛,P<1时发散 5、 曲线及y轴所围的图形面积为( ) (A) (B) (C) (D) 三、计算下列定积分: 1、 2、 3、 4、 四、求下列极限: 1、 2、 五、设可导函数y=y（x）由方程所决定，试讨论函数y=y（x）的极值. 六、已知抛物线，求p和a的值，使得： （1） 抛物线与y=x+1相切； （2） 抛物线与0x轴围成的图形绕0x轴旋转有最大的体积. （六）向量代数 空间解析几何 一、填空题： 1、向量与x，y，z轴的夹角分别为，则 ， ， 。 2、设，则= ，= ， = ，= 。 3、以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为 。 4、平面通过点（5，-7，4）且在x，y，z三轴上截距相等，则平面方程为 。 5、把曲线绕x轴旋转一周，则旋转曲面的方程为 。 二、选择题： 1、平面与互相平行，则（ ）。 （A）充要条件是 （B）充要条件是 （C）必要而不充分条件是 （D）必要而不充分条件是 2、设与为非零向量，则是（ ） （A）∥的充要条件； （B）⊥的充要条件； （C）=的充要条件； （D）∥的必要但不充分的条件； 3、设直线，则该直线为（ ）。 （A）过原点且垂直于x轴 （B）过原点且平行于x轴 （C）不过原点但垂直于x轴 （D）不过原点但平行于x轴 4、直线和平面的关系是（ ）。 （A）直线与平面垂直； （B）直线与平面平行，但直线不在平面上； （C）直线在平面上； （D）直线与平面相交，但不垂直。 5、平面在轴的截距分别为，则（ ）。 （A） （B） （C） （D） 6、方程表示（ ） （A）椭球面； （B）椭圆柱面； （C）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线； （D）y=1平面上椭圆。 7、方程表示（ ） （A）锥面； （B）单叶双曲面； （C）双叶双曲面； （D）椭圆抛物面。 三、计算题： 1、将直线方程 化成对称式方程。 2、求两平行平面及之间的距离。 3、设一直线通过点M（4，3，3），且垂直于由三点A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所确定的平面，求该直线方程。 4、求过点和且与平面成角的平面方程。 四、应用题： 设有一质点开始时位于点P（1，2，-1）处，今有一方向角分别为60,60,45,而大小为100克的力作用于此质点，求当此质点自点P作直线运动至点M（2，5，-1+3）时，力所作的功（长度单位为厘米）。 （七）多元函数微分学 一、填空题： 1、设，则f（x，y）= . 2、设，则= . 3、由方程所确定的函数在点（1，2，2）处的全微 分dz= . 4、曲面在点处的切平面方程是 . 5、设，则该函数的定义域为 . 二、选择题： 1.当，时，函数的极限（ ） （A）等于0； （B）等于； （C）等于； （D）不存在 2.函数z = f（x，y）的偏导数，在点（x0，y0）连续是函数 z = f（x，y）在 点（x0，y0）可微分的（ ） （A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分条件也非必要条件； 3.设z = f（u，v），而，其中f具有一阶连续偏导数，则等于（ ） （A）； （B）； （C）； （D）； 4.在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ） （A）只有1条； （B）只有2条； （C）至少有3条； （D）不存在 5.设函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且=2 则在点（0，0）处f（x，y）（ ） （A）不可微分； （B）可微分，且； （C）取得极大值； （D）取得极小值. 三、计算题： 1、设，求 2、设，求 3、设,求 4、设由方程所确定，求dz 5、设，求 6、求函数的极值. 四、求曲面上同时垂直平面与的切平面方程 五、在旋转椭球面上求距平面为最近和最远的点. 习题答案 （一）函数、极限、连续 答案 一、1、（D） 2、（C） 3、（C） 4、（B） 5、（D） 二、1、 2、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、 三、1、（1） （2） （3）（不存在） （4） （5） （6） 2、解：f（-1-0）=0 f（-1）=b f（-1+0）=a+π 使f（x）在x=-1连续 四、证明：令F（x）=f（x）-x 显然F（x）在[a，b]上连续 F（a）=f（a）-a 〉0 F（b）=f（b）-b〈 0 ∴在（a，b）内至少有一点使F（）=0 即：使f（）= （二）导数与微分 答案 一、1、 2、不存在 3、 4、 5、0 二、1、（A） 2、（D） 3、（C） 4、（B） 5、（D） 三、解：1、 2、 而 3、解：对等式两边关于t求导 对等式两边关于t求导 ∴ 当t=0时，得x=0，y=-1 ∴ 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 ，∴切线方程 4、 5、 6、… 7、设,则 （三）导数的应用 答案 一、（1） （2）1，1； （3）1； （4） （5） 二、B；D；D；A；A 三、解：1. (1)、原式= (2)、原式= 2. ，驻点，，令，得， 因为，所以为极大值点 ，所以为拐点 所以极大值点与拐点的中点坐标为，所求直线为： 四、1、解 ： G（x）单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低 （b）单调上升，学生的兴趣在增长。 时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。 （d） 因为G（13）=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。 2、解 ：设与的公路总长为，则， 所以，令，得：（舍去） 只有唯一的驻点，所以在处取得最小值 五、证：1、令 当x>0时，，有，当x<0时，，有 故 （四）不定积分 答案 一、1、（C） 2、（B） 3、（C） 4、（B） 5、（A） 6、（A） 7、（D） 8、（B） 9、（D） 10、（C） 二、1、原式= 2、原式= 3、原式= 4、原式= 5、原式= 6、原式== = 7、原式= 三、原式= （五）定积分及其应用 答案 一、（1） （2）0； （3）ln2 （4） （5） 二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。 三、解：1、原式= 2、原式= 3、原式= 4、原式= 四、解：1、原式= 2、， 而 又 ，由夹挤定理知， 此外 由的任意性知 五、两边求导得即令y=0，得x=0， 且由于x<0时,y<0; 知x=0是y=y(x)的极小点, 代入方程得:；注意:即y=y(x)的极小值为0 六、解：对两边关于x求导得，由题设切点处有：， 得，，代入抛物线方程可得，另一方面，旋转体体积为： 令，得从而这时，时，， 而时， ,故，V取极大值，也是最大值。 （六）空间解析几何 答案 一、1、 2、1， 3、 4、 5、 二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B 三、1、解：令，得到直线上一点，设 的方向向量为 故的对称式方程为 2、解：在上取一点；则两平行平面间的距离为 3、解：所求直线方向向量同时垂直于及 ∴ ∴直线的对称式方程为 4、解：设所求平面方程为：；分别将A，B的坐标代入此方程： ； 故平面方程为：； 所以平面方程为： 四、解：∵ ∴克厘米 （七）多元函数微分学 答案 一、1、； 2、； 3 、； 4、； 5、 二、1、D 2、A 3、C 4、A 5、D 三、解1、 2、 3、 4、 5、 6、驻点 而 在处， 在处取得极大值为： 四、切平面法向为 设切点为，则平行于 于是存在t，使得 即，代入曲面方程得故切面方程为 及；即x -y +2=0及x-y-2=0。 五、设（x，y，z）为椭球面上一点，； 其中 作辅助函数 令 得，代入曲面方程得. 由于， ∴椭球面上距已知平面最近点为，最远点为。