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第1章 反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； (3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式． 分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y= (k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答． 解： (1)a=12/h，是反比例函数； (2)F＝pS，是正比例函数； (3)F=W/s，是反比例函数； (4)y=m/x，是反比例函数． 3.当m为何值时，函数y=是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出m的值．解：由反比例函数的定义可知：2m－2＝1，m=3/2．所以反比例函数的解析式为y=． 4.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=5m3时，ρ=1．98kg／m3 （1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （2）求V=9m3时，二氧化碳的密度. 解：略 5.已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式． 分析：y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则y2=k2x2，又由y＝y1＋y2，可知，y=k1x+k2x2，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式． 解：因为y1与x成正比例，所以y1＝k1x；因为y2与x2成反比例，所以y2= ，而y＝y1＋y2，所以y=k1x+ ，当x＝2与x＝3时，y的值都等于19． 【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题. 教学反思 学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习. 1.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象与性质（1） 教学目标 【知识与技能】 1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质. 【过程与方法】 观察、比较、合作、交流、探索. 【情感态度】 通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质. 【教学重点】 画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质. 【教学难点】 理解反比例函数的性质，并能灵活应用. 教学过程 一、情景导入，初步认知 你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢? 【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤. (1)列表：取自变量x的哪些值? x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值. (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等． （3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象． 思考： （1）观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？ （2）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=的图形，并思考下列问题： （1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？ （2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？ 【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 探究3：反比例函数y=－的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动： (1)可以用画反比例函数y=－的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数y=与y=－之间的关系，画出y=－的图象． 【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y=的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. 探究4：反比例函数的性质反比例函数y=－与y=的图象有什么共同特征? 【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征． 【归纳结论】反比例函数y= (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数y=与y=- (k≠0)的图象关于x轴或y轴对称. 【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质. 三、运用新知，深化理解 1.教材P9例1. 2.如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝ ． 【答案】 -2 3.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是 ． 【答案】 1，2 4.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=的图象在第象限． 【答案】 二、四 5.反比例函数y=的图象大致是图中的( )． 解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C 6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( ) 【答案】 C 7.已知函数为反比例函数． (1)求m的值； (2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？ (3)当－3≤x≤－时，求此函数的最大值和最小值． 8.作出反比例函数y=的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x＝4时，求y的值； (2)当y＝－2时，求x的值； (3)当y＞2时，求x的范围． 解：列表： 由图知： (1)y＝3； (2)x＝－6； (3)0＜x＜6 9.作出反比例函数y=－的图象，结合图象回答： （1)当x＝2时，y的值； (2)当1＜x≤4时，y的取值范围； (3)当1≤y＜4时，x的取值范围． 解：列表： 由图知： (1)y＝－2； (2)－4＜y≤－1； (3)－4≤x＜－1． 【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题. 教学反思 通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习. 第2课时 反比例函数的图象与性质（2） 教学目标 【知识与技能】 1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性. 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平. 【教学重点】 会求反比例函数的解析式. 【教学难点】 反比例函数图象和性质的运用. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？ 【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.思考：已知反比例函数y=的图象经过点P（2,4） （1）求k的值，并写出该函数的表达式； （2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 分析： (1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了. (2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在. (3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况. 【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式. 2.下图是反比例函数y=的图象，根据图象，回答下列问题： （1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由； （2）如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.分析： （1）由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0. (2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2. 【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法. 三、运用新知，深化理解 1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－上，则y1、y2中较小的是 ． 【答案】 y2 2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y= (k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )． A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0 【答案】 A 3.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( ) A.b1＜b2 B.b1=b2 C.b1＞b2 D.大小不确定 【答案】 D 4.函数y=-的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( ) A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定 【答案】 A 5.已知点P(2，2)在反比例函数y= (k≠0)的图象上， (1)当x=-3时，求y的值； (2)当1＜x＜3时，求y的取值范围． 6.已知y= (k≠0，k为常数)过三个点A(2，-8)，B(4，b)，C(a，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求a与b的值． 解： （1）将A（2，-8）代入反比例解析式得：k=-16，则反比例解析式为y=-； （2）将B（4，b）代入反比例解析式得：b=-4；将C（a，2）代入反比例解析式得：2=-，即a=-8. 7.已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象； (2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析： (1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象； (2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上． 解： (1)设：反比例函数的解析式为：y= (k≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．所以－2=，k＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－． (2)点A(－5,m)在反比例函数y=－图象上，所以m= = ，点A的坐标为(－5, )．点A关于x轴的对称点(－5,－)不在这个图象上；点A关于y轴的对称点(5, )不在这个图象上；点A关于原点的对称点(5,－)在这个图象上； 【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业:教材“习题1.2”中第7题. 教学反思 教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获. 第3课时 反比例函数的图象与性质（3） 教学目标 【知识与技能】 1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？ 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知 1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= ,其中，k1,k2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k1(-3),4=解得，k1= k2=-12所以，正比例函数解析式为y=x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图. 【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1= ；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？ 【归纳结论】反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线y=（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值. 【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力． 三、运用新知，深化理解 1.已知如图，A是反比例函数y=kx的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|． 解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6． 【答案】 C 2.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为( ) A. B.2 C.3 D.1 分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论． 解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3， S△BOC=1，∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2． 【答案】 B 3.已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线y=的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值． 解：点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3．一次函数的解析式为：y＝x－3．又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=上，所以k＝－2(－5)＝10． 4.已知反比例函数y=的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值． (2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上． 解： (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝21＝2． 1＝2k2－1，k2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=；一次函数解析式为：y＝x－1． (2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y==－1，所以点A在反比例函数图象上．把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A′不在一次函数图象上． 5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－的图象上． (1)求a的值． (2)求一次函数的解析式，并画出它的图象． (3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围． (4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小． 分析： (1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值． (2)由 (1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象． (3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题． 一次函数和反比例函数的图象为： (3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1． (4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2. 或解：当x1＝m时，y1＝－2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝－2(m＋1)＋1＝－2m－1所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2. 6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点． (1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围． 分析: (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式． (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标． 【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验． 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业：教材“习题1.2”中第6题. 通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调： 教学反思 1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法． 2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题． 1.3反比例函数的应用 教学目标 【知识与技能】 经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想. 【过程与方法】 观察、比较、合作、交流、探索. 【情感态度】 体验数形结合的思想. 【教学重点】 建立反比例函数的模型，进而解决实际问题. 【教学难点】 经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力. 教学过程 一、情景导入，初步认知 复习回顾 1.什么是反比例函数？ 2.反比例函数的图象是什么？ 3.反比例函数图象有哪些性质? 4.反比例函数的图象对称性如何？ 【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力. 二、思考探究，获取新知 1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？ (1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？ (2)如人对地面的压力F=450N，完成下表： （3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解： （1）对于p=，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数. （2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由p=得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa (3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地. 2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？ 【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用. 三、运用新知，深化理解 1.教材P15例题. 2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】y=；x＞0 3.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围)． 【答案】y= 4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( ) 【答案】A 5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( ) A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系 B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系 C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系 D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系 【答案】D 6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 则可以反映y与x之间的关系的式子是( )． A.y＝3000x B.y＝6000x C.y= D.y= 【答案】D 7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( ) 【答案】A 8.一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)． (1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围； (2)画出(1)中函数的图象； (3)当高是3cm时，求长． 解： (1)y= (x>0)； (2)图象略； (3)长为 cm. 【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业：教材“习题1.3”中第1、2、4题. 教学反思 本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法. 第2章 一元二次方程 2.1一元二次方程 教学目标 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识． 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系． 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 教学过程 一、情景导入，初步认知 问题1:已知一矩形的长为200cm，宽150cm．在它的中间挖一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的34，求挖去的圆的半径xcm应满足的方程.（π取3）问题2：据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.你能列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫． 二、思考探究，获取新知 1.对于问题1：找等量关系：矩形的面积—圆的面积=矩形的面积3/4 列出方程：200150-3x2=2001503/4 ① 对于问题2： 等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量（1+年平均增长率）2 列出方程：75（1+x）2=1082 ② 2.能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式： ①化简，整理得x2-2500=0 ③ ②化简，整理得25x2+50x-11=0 ④ 3.讨论：方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少？ 【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2次. 【归纳结论】如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是常数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 4.让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项. 【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P27例题. 2.下列方程是一元二次方程的有. 【答案】 （5） 3.已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是_____. 分析 ：一元二次方程二次项的系数不等于零.故m≠－3. 【答案】 m≠-3 4.把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项. 解 ：原方程化为一般形式是：5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号). 5.关于x方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？ 分析 ：先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可. 解 ：由mx2－3x=x2－mx+2得到（m－1）x2+（m－3）x－2=0,所以m－1≠0， 即m≠1.所以关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1. 6.一元二次方程（x+1）2－x=3（x2－2）化成一般形式是. 分析： 一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2－x－7=0. 【答案】 2x2－x－7=0 7.把方程－5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( ) A.x2+6/5x+3/5=0 B.x2－6x－3=0 C.x2－6/5x－3/5=0 D.x2－6/5x+3/5=0 【答案】 C 注意方程两边除以－5,另两项的符号同时发生变化. 8.已知方程(m+2)x2+(m+1)x－m=0，当m满足______时，它是一元一次方程；当m满足______时，它是二元一次方程. 分析： 当m＋2＝0，m＝－2时，方程是一元一次方程；当m＋2≠0，m≠－2时，方程是二元一次方程. 【答案】 m＝－2m≠－2 9.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程为____________ 【答案】 1185(1－x)2=580 10.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程? 解：当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程. 【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征的理解.进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念． 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业：教材“习题2.1”中第1、2、6题. 教学反思 本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且要真正能消化. 2.2一元二次方程的解法 2.2.1配方法 教学目标 【知识与技能】 1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程. 2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程. 3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法. 【过程与方法】 通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法. 【情感态度】 学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 运用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 把一元二次方程转化为形如（x+n）2=d(d≥0)的过程. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.根据完全平方公式填空： （1）x2＋6x＋9＝( )2 （2）x2－8x＋16＝( )2 （3）x2＋10x＋(