2017-2018学年高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2.3 2.3.1平均数及其估计 .doc

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1、23.1平均数及其估计预习课本P6568，思考并完成以下问题 1什么叫一组数据的平均数？ 2.平均数有哪些计算方法？ 1平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：.点睛(1)平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准(2)用样本平均数可估计总体平均数(3)用平均数可以比较两组数据的总体情况，如成绩、产量等2平均数的计算(1)定义法：已知x1，x2，x3，xn为某样本的n个数据，则这n个数据的平均数为.(2)利用平均数性质：如果x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数是ma.(3

2、)加减常数法：数据x1，x2，xn都比较大或比较小，且x1，x2，xn在固定常数a附近波动，将原数据变化为x1a，x2a，xna，新数据的平均数为，则所求原数据的平均数为a.(4)加权平均数法：样本中，数据x1有m1个，x2有m2个，xk有mk个，则.(5)频率法：一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数p1x1p2x2pnxn.(6)组中值法：若样本为n组连续型数据，则样本的平均数组中值与对应频率之积的和1(江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_解析：6.答案：62若数据x1，x2，x3，xn的平均数为2，则数据2x11,2x2

3、1,2x31，2xn1的平均数为_答案：33数据2,2，4，4，4,3,3,3,3的平均数为_答案：平均数的计算典例(1)某班45名同学的年龄(单位：岁)如下：141514161517161516161515171314151616151415151415161716151515161513161515171415161615141515，求全班的平均年龄(2)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩解(1)法一：利用平均数的公式计算(141515)68415.2(岁)法二：利用平均数的简化公式计算取a15，将已知

4、各数减去15，得101102101100221011010010121000102100210110100(100)90.2(岁)a0.21515.2(岁)法三：利用加权平均数公式计算(13214715201612174)68415.2(岁)即全班的平均年龄是15.2岁(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可故平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02410)95(0.01610)76.2.(1)给定一组数据，要求其平均数可直接套用公式若这组数据都在某

5、一数据附近波动，可用平均数的简化公式计算，若这组数据某些数多次出现，可用加权平均数公式计算(2)在频率分布表中，平均数可用各组区间的组中值与对应频率之积进行估计(3)若一组数据的个数未知，但每一数据所占比例已知，可用频率平均数公式 活学活用1 某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下：等待时间/min0,5)5,10)10,15)15,20)20,25频率0.200.400.250.100.05则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为_解析：2.50.27.50.412.50.2517.50.122.50.059.5.答案：9.52某班进行一次考核，满分5

6、分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分解：由于本题没有给出该班同学的人数，故无法用定义法求解而题中给出了相应分数及所占比例，故可用频率平均数公式计算平均数的性质10.0520.1030.3540.4050.103.4，故该班的平均分数为3.4分. 典例若x1，x2，xn的平均数为，数据y1，y2，yn的平均数为，求下列几组数据的平均数(1)2x1,2x2，2xn；(2)kx1a，kx2a，kxna；(3)x1y1，x2y2，xnyn.解据题意(x1x2x3xn)，(y1y2yn)，设第一

7、组数据平均数为，第二组数据平均数为，第三组数据平均数为.(1)(2x12x22xn)2(x1x2xn)2，(2)(kx1a)(kx2a)(kxna)k(x1x2xn)nak(x1x2xn)aka.(3)(x1y1)(x2y2)(xnyn)(x1x2xn)(y1y2yn)(x1x2xn)(y1y2yn).若x1，x2，xn的平均数为，y1，y2，yn的平均数为，则ax1，ax2，axn的平均数为a，kx1a，kx2a，kxna的平均数为ka；x1y1，x2y2，xnyn的平均数为，以上反映了平均数的性质，利用这些性质，可方便进行一些计算活学活用已知数据x1，x2，xn的平均数为，数据y1，y2，

8、y3，yn的平均数为2，则数据2x13,2x23，2xn3的平均数为_，数据ax1by1，ax2by2，axnbyn的平均数为_答案：4a2b层级一学业水平达标1已知1,2,3,4，a，b，c的平均数是8，则abc_.解析：据题意(1234abc)8，abc46.答案：462已知2,4,2x,4y四个数的平均数是5，而5,7,4x,6y四个数的平均数是9，则xy的值是_解析：据题意解之得xy6.答案：63在一次知识竞赛中，抽取40名选手，成绩分布如下：成绩678910人员分布2571115则选手的平均成绩是_解析：(6275879111015)8.8.答案：8.81 一位同学种了甲、乙两种树苗

9、各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)则甲种树苗高度平均为_；乙种树苗的高度平均为_；甲、乙两种树苗高度平均为_解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为26，乙树苗高度平均为29.8，甲、乙两种树苗高度平均为(234298)28.答案：2629.828550名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)40,50)，2；50,60)，3；60,70)，1

10、0；70,80)，15；80,90)，12；90,100，8.列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分解：频率分布表如下：成绩分组频数频率40,50)20.0450,60)30.0660,70)100.270,80)150.380,90)120.2490,10080.16合计501.00法一：总成绩约为4525536510751585129583 810(分)，故50名同学的数学平均分约为3 8105076.2(分)法二：求组中值与对应频率之积的和450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2(分)层级二应试能力达标1某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错

11、将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是_答案：32 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是_. 答案：91.5,91.53一个企业，30%的员工年收入为1万元，65%的员工年收入为3万元，5%的员工年收入为11万元，则这个企业员工的年平均收入是_万元，年收入的中位数是_万元解析：年平均收入为10.330.65110.052.8，中位数为3.答案：2.834已知是x1，x2，x100的平均数，a是x1，x2，x40的平均数，b是x41，x42，x100的平均数，则下列各式正确的是_(填序号)；ab；.答案：5已知数据x

12、1，x2，x8的平均数为6，则数据2x16,2x26，2x86的平均数为_答案：66已知样本数据x1，x2，xn的平均数为h，y1，y2，ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为_答案：7一个高中研究性学习小组对本地区2014年至2016年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭_万盒解析：2014年：301.030(万)，2015年：452.090(万)，2016年：901.5135(万)，(3090135)85(万)答案：858某餐厅共有

13、7名员工，所有员工的工资情况如下表：人员经理厨师甲厨师乙会计服务员甲服务员乙勤杂工人数1111111工资3 000700500450360340320解答下列问题：(1)餐厅所有员工的平均工资是_(2)所有员工工资的中位数是_(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？_.(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是_，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？_.(填“能”或“不能”)解析：(1)平均工资为(3 000700500450360340320)7810.(2)由表格可知中位数为450.(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当(4)去掉经理的工资后，其他员

14、工的平均工资为(700500450360340320)6445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平答案：(1)810(2)450(3)中位数(4)445能9为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：061.22.71.52.81.82.22.33.23.5252.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：321.71.90.80.92.41.22.

15、61.31.4160.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好(2)由观测结果可

16、绘制如下茎叶图：以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好10有一组数据：x1，x2，xn(x1x2xn)的算术平均数为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11.(1)求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式；(2)若x1，x2，xn都是正整数，试求第n个数xn的最大值，并举出满足题目要求且xn取到最大值的一组数据解：(1)依条件得由得xnn9.又由得x111n.(2)由于x1是正整数，故x111n11n10，故xnn919.当n10时，x11，x1019，x2x3x980，此时，x26，x37，x48，x59，x611，x712，x813，x914.