2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 疑难规律方法 .docx

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1、1函数解析式求解的常用方法一、换元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整体思想，可把f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代解令t1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)评注将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法二、待定系数法例2 已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(

2、a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.评注若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f(x)解2f(x)f()3x，用去代换式中的x得2f()f(x).由2得f(x)2x，x0.评注方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.2解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考

3、一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而已二、常见的题型及其求解策略1求分段函数的定义域、值域例1 求函数f(x)的值域解当x2时，yx24x(x2)24，y4；当x2时，y，y1.函数f(x)的值域是y|y4解题策略分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集2求分段函数的函数值例2 已知f(x)求f(5)的值解510，f(5)f(f(56)f(f(11)，1110，f(f(11)f(9)，又910，f(9)f

4、(f(15)f(13)11.即f(5)11.解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理3画出分段函数的图象例3 已知函数f(x)，作出此函数的图象解由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示解题策略分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实4求解分段函数的解析式例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月

5、通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式解(1)由题意可知当0x100时，设函数的解析式ykx，又因过点(100,40)，得解析式为yx，当月通话为50分钟时，050100，所以应交话费y5020元(2)当x100时，设y与x之间的函数关系式为ykxb，由图知x100时，y40；x200时，y60.则有，解得，所以解析式为yx20，故所求函数关系式为y.解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量

6、的分界点3合理变形突破单调性的证明由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值作差变形定号其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)f(x2)的符号的关键所在本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略一、因式分解例1 求证：函数f(x)x24x在(，2上是减函数证明设x1，x2是(，2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x4x1)(x4x2)(x1x2)(x1x24)因为x1x22，所以x1x20，x1x240.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(，2上是减函数评注因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这

7、样才利于判断f(x1)f(x2)的符号二、配方例2 求证：函数f(x)x31在R上是增函数证明设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x1xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2).因为x1x2，所以x1x20，2x0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在R上是增函数评注本题极易在(x1x2)(xx1x2x)处“止步”而致误而实际上当我们不能直接判断xx1x2x的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”三、通分例3 已知函数f(x)x，求证：函数f(x)在区间(0,1上是减函数证明设x1，x2是区间(0,1上的任意两个实数

8、，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).因为x1x2，且x1，x2(0, 1，所以x1x20,0x1x21.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(0,1上是减函数评注同样，我们可以证明f(x)x在区间1，)上是增函数四、有理化例4 已知函数f(x)，求证：函数f(x)在区间1，)上是增函数证明设x1，x2是区间1，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，且x1，x21，)，所以x1x20，0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在1，)上是增函数评注对于

9、根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)f(x2)符号的目的4谈复合函数的单调性设yf(t)是t的函数，tg(x)是x的函数，若tg(x)的值域是yf(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作yf(t)f g(x)如函数y，若设t1x，则y.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y是x的复合函数，把t称为中间变量思考1已知函数yf(t)的定义域为区间m，n，函数tg(x)的定义域为区间a，b，值域Dm，n若yf(t)在定义域内单调递增，tg(x)在定义域内单调递增，那么yfg(x)是否为a，b上的增函数？为什么？答yfg(x)是区间a，b上的增函

10、数证明如下：任取x1，x2a，b，且x1x2，则t1g(x1)，t2g(x2)，且t1，t2m，n因为tg(x)在a，b上递增，所以g(x1)g(x2)，即t1t2，而yf(t)在m，n上递增，故f(t1)f(t2)，即fg(x1)0)当x(，1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，所以(，1)是y的递增区间；当x(1，)时，t是x的增函数，y是t的减函数，所以(1，)是y的递减区间综上知，函数y的递增区间为(，1)，递减区间为(1，)变式 求y的单调区间解由x22x30，得x1或x3，令tx22x3(t0)，则y，因为y在(，0)，(0，)上为减函数，而tx22x3在(，1)，(1,1)上为

11、减函数，在(1,3)，(3，)上是增函数，所以函数y的递增区间为(，1)，(1,1)，递减区间为(1,3)，(3，).5函数单调性的应用一、比较大小例1 若函数f(x)x2mxn，对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小解依题意可知f(x)的对称轴为x2，f(1)f(5)f(x)在2，)上是增函数，f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1)评注(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间二、解不等式例2 已知yf(x)在定义域(1

12、,1)上是增函数，且f(t1)f(12t)，求实数t的取值范围解依题意可得解得0t0，函数f(x)x3ax是区间1，)上的单调函数，求实数a的取值范围解任取x1，x21，)，且x10.yf(x2)f(x1)(xax2)(xax1)(x2x1)(xx1x2xa)1x13.显然不存在常数a，使(xx1x2xa)恒为负值又f(x)在1，)上是单调函数，必有一个常数a，使xx1x2xa恒为正数，即xx1x2xa.当x1，x21，)时，xx1x2x3，a3.此时，xx2x10，y0，即函数f(x)在1，)上是增函数，a的取值范围是(0,3四、利用函数单调性求函数的最值例4 已知函数f(x)，x1，)(1

13、)当a4时，求f(x)的最小值；(2)当a时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值解(1)当a4时，f(x)x2，易知，f(x)在1,2上是减函数，在2，)上是增函数，f(x)minf(2)6.(2)当a时，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上为增函数f(x)minf(1).(3)函数f(x)x2在(0，上是减函数，在，)上是增函数若1，即a1时，f(x)在区间1，)上先减后增，f(x)minf()22.若1，即0a1时，f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)minf(1)a3.6例析函数的值域求函数值域的常用方法：配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结

14、合法、有界性法、分离常数法例1 求下列函数的值域：(1)y；(2)y2x1.解(1)方法一(配方法)y1，又x2x12，0，y1.方法二(判别式法)由y，xR，得(y1)x2(1y)xy0.当y1时，x.当y1时，xR，(1y)24y(y1)0，y0，所以0.解得y1或y1，所以值域为(，1)(1，)例3 求函数y的值域解y1，又0，y11，即函数的值域为(，1)(1，)7函数奇偶性的判定方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法一、定义域判定法例1 判断函数f(x)的奇偶性分析一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提

15、条件若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数解要使函数f(x)有意义，则解得x1，即定义域是x|x1因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数评注用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性二、变式法例2 判断f(x)的奇偶性分析直接验证f(x)f(x)有困难，可转化为验证1(f(x)0)解f(x)的定义域为R，关于原点对称当x0时，f(x)0，图象过原点因为当x0时，1，所以f(x)f(x)又f(0)0，所以函数f(x)为奇函数评注为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(x)

16、f(x)转化为验证其变式：f(x)f(x)0或1(f(x)0)三、图象法例3 判断函数f(x)的奇偶性分析本题可用图象法较为直观地判断解作出函数f(x)的图象，如图所示因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数评注一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数8函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明一、求函数的解析式例1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x(0，)时，f(x)x(1)，求f(x)的解析式分析要求f(x)在R上的解析

17、式，条件已给出f(x)在(0，)上的解析式，还需求当x0时f(x)对应的解析式解因为x(，0)时，x(0，)，所以f(x)x(1)x(1)，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)x(1)，x(，0)在f(x)f(x)中，令x0，得f(0)0.所以f(x)评注利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)，若给出一个实数a，a0，有f(a)2，则实数a_.分析根据已知条件当x0时，函数f(x)

18、x(x1)0，由于f(a)2，显然需要求得x0的解析式解析令x0，则x0.所以f(x)x(1x)又f(x)为奇函数，所以当x0时，有f(x)x(1x)令f(a)a(1a)2，得a2a20.解得a1，或a2(舍去)答案1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键三、求参数的范围例3 定义在(2,2)上的偶函数f(x)在区间0,2)上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解因为f(x)是偶函数，所以f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)又f(1m)f(m)，所以f(|1m|)f(|m|)由f(x)在区间0,2)上是减函数，得0

19、|m|1m|2.解得1m.故实数m的取值范围是.评注本题利用了偶函数的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)f(|x|)，从而达到简捷求解的目的9函数单调性、奇偶性联袂解题单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题下面分类举例说明一、比较大小例1 已知函数f(x)是偶函数，且在区间0,1上是减函数，则f(0.5)、f(1)、f(0)的大小关系是()Af(0.5)f(0)f(1)Bf(1)f(0.5)f(0)C

20、f(0)f(0.5)f(1)Df(1)f(0)f(0.5)解析因为函数f(x)是偶函数，所以f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)又因为f(x)在区间0,1上是减函数，所以f(1)f(0.5)f(0)答案B评注比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化二、求函数最值例2 若偶函数f(x)在区间3,6上是增函数且f(6)9，则它在区间6，3上()A最小值是9 B最小值是9C最大值是9 D最大值是9解析因为f(x)是偶函数且在区间3,6上是增函数，所以f(x)在区间6，3上是减函数因此，f(x)在区间6，3上最大值为f(6)f(6)9.答案D评注应用

21、单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值三、解不等式例3 若函数f(x)是奇函数，且在(，0)上是增函数，又f(2)0，则xf(x)0的解集是()A(2,0)(0,2) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(2，)解析因为函数f(x)是奇函数，且在(，0)上是增函数，又f(2)0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如图所示因为xf(x)0，所以或，结合图象，得到答案为A.答案A评注本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决四、求参数的取值范围例4 设定义在(1,1)上的奇

22、函数f(x)在0,1)上单调递增，且有f(1m)f(2m)0，求实数m的取值范围解由于函数f(x)的定义域为(1,1)，则有，解得0m.又f(1m)f(2m)0，所以f(1m)f(2m)而函数f(x)为奇函数，则有f(1m)f(2m)因为函数f(x)是奇函数，且在0,1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(1,1)上单调递增，则有1m2m，解得m，故实数m的取值范围为(，)评注本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一.10函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1 设f(x)x2，在同一坐标系中画出：(1)

23、yf(x)，yf(x1)和yf(x1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)yf(x)，yf(x)1和yf(x)1的图象，并观察三个函数图象的关系解(1)如图1(2)如图2 图1图2观察图象得：yf(x1)的图象可由yf(x)的图象向左平移1个单位长度得到；yf(x1)的图象可由yf(x)的图象向右平移1个单位长度得到；yf(x)1的图象可由yf(x)的图象向上平移1个单位长度得到；yf(x)1的图象可由yf(x)的图象向下平移1个单位长度得到二、对称变换例2 设f(x)x1，在同一坐标系中画出yf(x)和yf(x)的图象，并观察两个函数图象的关系解画出yf(x)x1与yf(x)x1的图象如

24、图所示由图象可得函数yx1与yx1的图象关于y轴对称评注函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称；函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于原点对称三、翻折变换例3 设f(x)x1，在不同的坐标系中画出yf(x)和y|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系解yf(x)的图象如图1所示，y|f(x)|的图象如图2所示通过观察两个函数图象可知：要得到y|f(x)|的图象，把yf(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变例4 设f(x)x1，在不同的坐标系中画出yf(x)和yf(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系解如

25、下图所示通过观察两个函数图象可知：要得到yf(|x|)的图象，先把yf(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可11含参方程的解法一题多解训练，就是启发和引导同学们从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动，从而提高综合运用已学知识解答数学问题的技巧，锻炼思维的灵活性，促进同学们长知识、长智慧，开阔同学们的思路，引导同学们灵活地掌握知识之间的纵横联系，培养和发挥创造性例若方程x2xk在区间(1,1)内有实数解，试求实数k的取值范围分析本题考查方程在区间内有实数解，考查根的分布问题，由于函数与方程的关系密切，所以解决本题可以

26、利用根的分布得出满足条件的不等式，进而求解；也可以通过构造函数，利用数形结合思想求解所以有以下几种方法方法一令f(x)x2xk.若方程x2xk在区间(1,1)内有两个实数解，则有解得k.若方程x2xk在区间(1,1)内有一个实数解，则有f(1)f(1)0或或解得k.综上所述，实数k的取值范围为，)评注本方法是利用根的分布，分别讨论有一解、两解的情况，最后把解集取并集即可方法二因为f(x)x2xk的对称轴x(1,1)，更确切地说，x在(0,1)内，所以方程x2xk在区间(1,1)内有实数解等价于解得k.所以实数k的取值范围为，)评注该解法的特点是发现了本题的特殊性，即对称轴在已知的区间内，从而迅

27、速将难题破解方法三若方程x2xk在(1,1)内有实数解，令yx2x，x(1,1)的值域为M，则原方程在(1,1)内有实数解，只需kM即可根据函数yx2x的对称轴x，且x(1,1)，可知函数在x处取得最小值，即ymin()2；函数在x1处取得最大值，即ymax1.所以k.所以实数k的取值范围为，)评注该解法的妙处在于将原问题转化为求二次函数的值域问题，运用了转化与化归思想，而对于值域问题的处理，也就简单多了方法四令f(x)x2x，x(1,1)，g(x)k.若方程x2xk在(1,1)内有实数解，则只需f(x)和g(x)的图象在(1,1)内有交点即可，如图所示显然k0，由题意得或解得3m1，解得m3

28、.综合得m1.故m的取值范围为m1.评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求13函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数yf(x)(如果yax

29、2bxc可以写成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看作二元方程yf(x)0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)3x32x21，判断方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解解因为f(1)3(1)32(1)2140，所以f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6)0时g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程f(x)1仅有一个根故选A.答案A评注在区间a，b上单调且图象连续的函数yf(x)，若f(a)f(b)0或k0或k4.评注本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例一般地，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想，使问题得到巧妙解决