2022年概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题 1 设X,Y 的分布律为求 a.解答： 由分布律性质i jp ij1,可知1 6111 3a11解得 a=2 99189习题 212. 设 X,Y1PaX b,Y c;的分布函数为F x, y,试用F x, y表示：解答： PaXb,Yc=Fb,c-Fa,c.2P0Y b;解答 P0a,Y b. 解答： PXa,Y b=F+ ,b-Fa,b.习题 31设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： 1P1/2X3/2,0Y4 解答： P1/2X2/3,0Y4=PX=1,Y=1+PX=1

2、,Y=2+PX=1,Y=3=1/4+0+0=1/4.2P1 X 2,3 Y 4;解答： P1X2,3 Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+1/16+0+1/4=5/16. 3F2,3. 解答： F2,3=P1,1+P1,2+P1,3+P2,1+P2,2+P2,3=1/4+0+0+1/16+1/4+0=9/16.0, Y0习题 4 设 X,Y 为随机变量,且PX0,Y0=3/7,PX 0=PY0=4/7,求 PmaxX,Y 0 ,PminX,YY=1,且由正态分布图形的对称性,知 PXY=PXY,故 PXY=1 /2. 1 / 13 名师归纳总结 -

3、 - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 习题 7 设随机变量 X,Y 的概率密度为 f x, yk 6xy , 0x1, 0yO其它1确定常数 k;2求 PX1,Y3;3求 PX1,有 Fx,y=PX 1,Yy=4xudu1ydyx200最终,设x1,0 y1, 有 Fx,y=PX 1,Yy=41xdxyvdvy200函数 Fx,y 在平面各区域的表达式见课后答案 习题 9 设二维随机变量X,Y 的概率密度为 fx, y4. 8 y 2xO其它求边缘概率密度Yfy解答：Yfyfx y dx=y 04. 8 y2x d x, 0y= 12

4、.4 4yy2,0y1O其它O其它2 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 习题 10 y2 x ,y=x 所围成的区域G 里听从匀称分布,求联合分布密度和边缘分布密度. 设X,Y 在曲线解答：1区域 G 的面积 A 0 x x 2 dx 1/ 6 ,由题设知 X,Y 的联合分布密度为2f x, y 6 , 0 x 1, x y xO 其它x从而 f X f x y , 6 x 2 dy 6 x x 2,0 x 12即 f X 6 x x , 0 x 1O 其它yf Y f x y 6 x y dx 6 y

5、y ,0 y 1即 Yf 6 y y , 0 y 1O 其它3.2 条件分布与随机变量的独立性习题 1 二维随机变量 X,Y 的分布律为1求 Y 的边缘分布律；2求 PY=0 X=0,PY=1 X=0;3 判定 X 与 Y 是否独立？解答： 1由X,Y 的分布律知, Y 只取 0 及 1 两个值.PY=0=PX=0,Y=0+PX=1,Y=0=7/15+7/30=0.7 7 1PY=1= P X i Y 1 0.32Py=0 x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1 30 15 x=0=13.3已知 Px=0,y=0=715, 由1知 Py=0=0.7, 类似可得 Px=0=0.7. 由

6、于 Px=0,y=0 Px=0 . Py=0, 所以 x 与 y 不独立 . 习题 2 将某一医药公司 9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为 X 与 Y. 据以往积存的资料知 X 和 Y 的联合分布律为1求边缘分布律 ;2 求 8 月份的订单数为 51 时, 9 月份订单数的条件分布律 . 解答： 1边缘分布律为X 5152535455 pk 0.180.150.350.120.20 对应 X 的值 ,将每行的概率相加 ,可得 PX=i. 对应 Y 的值 最上边的一行 , 将每列的概率相加,可得 PY=j. Y 5152535455 pk 0.280.280.220.090.13 3

7、 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2当 Y=51 时,X 的条件分布律为PX=k Y=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,k=51,52,53,54,55. 列表如下 : k 5152535455 PX=k Y=51 6/287/285/285/285/28 习题 3 已知 X,Y 的分布律如下表所示,试求：1在 Y=1 的条件下 ,X 的条件分布律 ;2在 X=2 的条件下 ,Y 的条件分布律 . XY 012 012 1/41/8001/301/601/8 解答：由联合分布律得关

8、于 X,Y 的两个边缘分布律为X 012 pk 3/81/37/24 Y 012 pk 5/1211/241/8 故1 在 Y=1 条件下, X 的条件分布律为X Y=1 012 pk 3/118/110 2在 X=2 的条件下, Y 的条件分布律为Y X=2 012 pk 4/703/7 习题 4 已知 X,Y 的概率密度函数为 fx,y=3x,0x1,0yx0, 其它 ,求：1边缘概率密度函数；2条件概率密度函数 . 解答： 1fXx=-+fx,ydy=3x2,0x10, 其它 , fYy=- + fx,ydx=321-y2,0y10, 其它 . 2对 . y0,1,fX Yx y=fx,

9、yfYy=2x1-y2,yx1,0, 其它 , 对. x0,1,fY Xy x=fx,yfXx=1x,0yX= 05 x525-y125dydx=13. 习题 7 设随机变量 X 与 Y 都听从 N0,1 分布,且 X 与 Y 相互独立,求 X,Y 的联合概率密度函数 . 解答：由题意知,随机变量 X,Y 的概率密度函数分别是 fXx=12 e-x22, fYy=12 e-y22 由于 X 与 Y 相互独立,所以 X,Y 的联合概率密度函数是 fx,y=12 e-12x+y2. 习题 8 设随机变量 X 的概率密度 fx=12e- x -x0,各有 PXa, X a=PXa. P X a,而大

10、事 X a. Xa, 故由上式有 P X a=PXa. P X a,. P X a1-PX a=0. P Xa =0 或 1=PX a. . a0 但当 a0 时,两者均不成立,显现冲突,故 X 与X 不独立 . 习题 9 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在0,1上听从匀称分布,Y 的概率密度为fYy=12e- y2,y00,y 0,1 求 X 与 Y 的联合概率密度；2设有 a 的二次方程 a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率 . 解答： 1由题设易知 fXx=1,0x10, 其它 , 又 X,Y 相互独立,故 X 与 Y 的联合概率密度为 fx,y=fXx . fYy=1

11、2e-y2,0x00, 其它 ; 2因 a 有实根 = 判别式 2=4X2-4Y 0=X2 Y,故如下列图得到：Pa 有实根 =PX2Y= x2yfx,ydxdy= 01dx 0x212e=- 01e-x22dx=1- - 1e-x22dx- - 0e-x22dx=1- 2 12 - 1e-x22dx- 12 - 0e-x22dx =1-2 1- 0,又 1=0.8413, 0=0.5, 于是 1- 0=0.3413, 所以Pa 有实根 =1- 2 1- 0-2.51 0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布习题 1 设随机变量X 和 Y 相互独立,且都等可能地取1,2,3

12、 为值,求随机变量U=maxX,Y和V=minX,Y的联合分布 . 5 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：由于UV, 可见 PU=i,V=j=0ij, 于是,随机变量U 和 V 的联合概率分布为概率 U 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 习题 2 设X,Y 的分布律为XY -112 -12 1/101/53/101/51/101/10 试求： 1Z=X+Y;2Z=XY;3Z=X/Y;4Z=maxX,Y 的分布律 . 解答：与一维离散型随机变量函数的分

13、布律的运算类型,本质上是利用大事及其概率的运算法就.留意, Z 的相同值的概率要合并 . 概率 1/101/53/101/51/101/10 X,YX+YXYX/Ymaxx,Y -1,-1-1,1-1,22,-12,12,2-2022341-1-2-2241-1-1/2-221112222 于是 1 X+Y -20224 pi 1/101/51/21/101/10 2 XY -20224 pi 1/21/51/101/101/10 3 X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10 4 maxX,Y -112 pi 1/101/57/10 习题 3 设二维随机向量 X,

14、Y 听从矩形区域 D=x,y 0x2,0 y1 的匀称分布,且U=0,X Y1,XY, V=0,X 2Y1,X2Y,求 U 与 V 的联合概率分布 . 解答：依题 U,V 的概率分布为PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY= 01dx x112dy=14, PU=0,V=1=PX Y,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X 2Y=PYX 2Y= 01dy y2y12dx=14,PU=1,V=1 6 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - =1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2,

15、即UV 01 01 1/401/41/2 习题 4 设X,Y 的联合分布密度为fx,y=12 e-x2+y22,Z=X2+Y2, 求 Z 的分布密度 . 解答： FZz=PZ z=PX2+Y2z. 当 z0 时, FZz=P . =0; 当 z0时,FZz=PX2+Y2 z2= x2+y2 z2fx,ydxdy=12 -x2+y22dxdy=12 02 d -22d= 0ze-22d=1-e-z22. 故 Z 的分布函数为FZz=1-e- z22,z 00,z00,z 0.习题 5 设随机变量 X,Y 的概率密度为fx,y=12x+ye-x+y,x0,y00,其它 , 1问 X 和 Y 是否相

16、互独立？2求 Z=X+Y 的概率密度 . 解答： 1fXx=-+fx,ydy= 0+12x+ye-x+ydy,x00,x0under2line 令 x+y=t x+ 12te-tdt=12x+1e- x,x00,x 0,由对称性知fYy=12y+1e-y,y00,y 0,明显 fx,y fXxfYy,x0,y0,所以 X 与 Y 不独立 . 2用卷积公式求fZz=- + fx,z-xdx. 当x0z-x0 即 x0x0 时, fZz= 0z12xe-xdx=12z2e-z. 于是, Z=X+Y 的概率密度为 fZz=12z2e- z,z00,z 0.习题 6 设随机变量 X,Y 相互独立,如随

17、机变量 Z=X+Y 的概率密度 . X 听从 0,1上的匀称分布, Y 听从参数 1 的指数分布,求解答：据题意,X,Y 的概率密度分布为 fXx=1,0x10, 其它 , fYy=e- y,y 00,y0,由卷积公式得 Z=X+Y 的概率密度为fZz=- + fXxfYz-xdx= - + fXz-yfYydy= 0+ fXz-ye-ydy. 由 0z-y1 得 z-1y0 时, fZz= 0+fXz-ye-ydy= max0,z-1ze-ydy=e-max0,z-1-e-z, 即 fZz=0,z01-e-z,01. 习题 7 设随机变量 X,Y 的概率密度为 fx,y=be-x+y,0x1

18、,0y +,0,其它 . （1）试确定常数 b；（2）求边缘概率密度 fXx,fYy ；（3）求函数 U=maxX,Y 的分布函数 . 解答：（ 1）由 -+-+fx,ydxdy=1,确定常数b. 01dx 0+be-xe-ydy=b1-e-1=1 ,所以 b=11-e-1,从而 fx,y=11-e-1e- x+y,0x1,0y+ ,0,其它 . （2）由边缘概率密度的定义得fXx= 0+11-e-1e-x+ydy=e-x1-e-x,0x1,0, 其它,fYx= 0 111-e-1e-x+ydx=e- y,0y+ ,0,其它（3）由于 fx,y=fXxfYy,所以 X 与 Y 独立,故FUu=

19、PmaxX,Y u=PX u,Y u=FXuFYu其中 FXx= 0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0x1 ,所以 FXx=0,x 0,1-e-x1-e-1,0x1,1,x 1.7 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 同理 FYy= 0ye-tdt=1-e- y,0y+,0,y 0,因此 FUu=0,u0,1-e-u21-e- 1,0 u00,x 0, .2y= e- y,y00,y 0,其中 0, 0, , 试求系统 L 的寿命 Z 的概率密度 . 解答：设 Z=minX,Y, 就 Fz=P

20、Z z=PminX,Y z=1-PminX,Yz=1-PXz,Y z=1-1PXz1-PYz=1-1-F1z1-F2z 由于 F1z= 0z e- xdx=1-e- z,z 00,z0, F2z=1-e- z,z 00,z0,故 Fz=1-e- + z,z 00,z00,z 0.习题 9 设随机变量 X,Y 相互独立,且听从同一分布,试证明：Paa2 -PXb2. 解答：设 minX,Y=Z, 就 Paz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz =1-PXz2, 代入得 Pab2-1-PXa2=PXa2-PXb2. 证毕 . 复习总结与总习题解答习题 1 在一箱子中装有 12 只开关, 其中 2

21、只是次品,在其中取两次,每次任取一只, 考虑两种试验： 1放回抽样； 2不放回抽样 .我们定义随机变量 X,Y 如下：X=0, 如第一次取出的是正品 1,如第一次取出的是次品 , Y=0, 如其次次取出的是正品 1,如第二次取出的是次品 ,试分别就 1,2 两种情形,写出 X 和 Y 的联合分布律 . 解答： 1有放回抽样, X,Y 分布律如下：PX=0,Y=0=101012 12=2536; PX=1,Y=0=21012 12=536, PX=0,Y=1=1021212=536, PX=1,Y=1=221212=136, 2不放回抽样, X,Y 的分布律如下：PX=0,Y=0=1091211

22、=4566, PX=0,Y=1=1021211=1066, PX=1,Y=0=21012 11=1066, PX=1,Y=1=211211=166, Y X 01 01 45/6610/6610/661/66 习题 2 假设随机变量 Y 听从参数为 1 的指数分布,随机变量 Xk=0, 如 Yk1,如 Ykk=1,2, 求X1,X2 的联合分布率与边缘分布率 . 解答：由于 Y 听从参数为 1 的指数分布, X1=0, 如 Y11,如 Y1, 所以有PX1=1=PY1= 1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1, 同理 PX2=1=PY2= 2+e -ydy=e-2,PX2=0=1-e

23、-2, 由于 PX1=1,X2=1=PY2=e-2,PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY 1=1-e-1,PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0, 故X1,X2 联合分布率与边缘分布率如下表所示：X1slashX2 0 1 PX1=i 0 1-e-1 0 1-e-1 8 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 e-1-e-2 e-2 e-1 PX2=j 1-e-2 e-2 习题 3 在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装 3

24、 只橘子, 2 只苹果, 3 只香蕉 . 今从袋中随机抽出 4 只,以 X 记橘子数, Y 记苹果数,求 X,Y 的联合分布 . 解答： X 可取值为 0,1,2,3,Y 可取值 0,1,2. PX=0,Y=0=P . =0,PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70,PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70,PX=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70, PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70,PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21

25、C31/C84=18/70,PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70,PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P . =0, 所以, X,Y 的联合分布如下：XY 0123 012 03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700 习题 4 设随机变量X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量X,Y 的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处：XY y1 y2 y3 pi . x1 1/8 1 pij=pi

26、 . p. ji=1,2;j=1,2,3, p . 1-p21=p11=16-18=124, x2 1/8 p. j 1/6 解答：由题设X 与 Y 相互独立,即有又由独立性,有p11=p1. p. 1=p1. 16 故 p1. =14.从而 p13=14-124-18, 又由 p12=p1. p. 2, 即 18=14. p. 2. 从而 p. 2=12. 类似的有 p. 3=13,p13=14,p2 . =34. 将上述数值填入表中有XY y1 y2 y3 pi . x1 1/24 1/8 1/12 1/4 x2 1/8 3/8 1/4 3/4 p. j 1/6 1/2 1/3 1 习题

27、5 设随机变量 X,Y 的联合分布如下表：求：1a 值； 2X,Y 的联合分布函数Fx,y ； 3X,Y 关于 X,Y 的边缘分布函数FXx 与 FYy. 解答： 1because由分布律的性质可知 2因 Fx,y=PX x,Y y 当 x1 或 y-1 时, Fx,y=0; i. jPij=1, 故 14+14+16+a=1, a=13. 当 1x2,-1y0时, Fx,y=PX=1,Y=-1=1/4; 当 x2,-1y0时, Fx,y=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12; 9 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - -

28、- - - - - - 当 1x0时, Fx,y=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2; 当 x2,y 0时, Fx,y=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1; 综上所述,得 X,Y 联合分布函数为Fx,y=0,x1 或 y-11/4,1 x2,-1 y05/12,x-1 y01/2,1 x2,y 01,x 2,y 0.3由 FXx=PX x,Y+ = xix j=1+ pij, 得X,Y 关于 X 的边缘分布函数为：FXx=0,x114+14,1 x214+14+16+13,x 2=0,x11/2,1 x21,x 2,同理,由 FYy=PX+

29、,Yy= yi yi=1+ Pij, 得X,Y 关于 Y 的边缘分布函数为FYy=0,y-12/12,-1 y01,y 0.习题 6 设随机变量 X,Y 的联合概率密度为 求： 1常数 c; 2PX2+Y2r2rR.解答： 1由于fx,y=cR- x2+y2,x2+y2R0,x2+y2 R,1=- +- + fx,ydydx= x2+y2RcR-x2+ydxdy= 02 - d d =c R33,所以有 c=3 R3.2PX2+Y2 r2= x2+y2r23 R3R-x2+y2dxdy= 02 0r3 R3R- d d =3r2R21-2r3R. 习题 7 设 fx,y=1,0x2,max0,x-1 ymin1,x0,其它 , 求 fXx 和 fYy. 解答： max0,x-1=0,x1x- 1,x 1, min1,x=x,x11,x1,所以, fx,y 有意义的区域 如图 可分为 0 x1,0 yx,1 x2,1-xy1,即 fx,y=1,0x1,0 yx1,1 x2,x-1y1,0,其它 所以fXx= 0xdy=x,0 x1 x-11dy=2- x,1 x 20, 其它 , fYy= yy+1dx=1,0 y 10,习题 8 如X,Y 的分布律为就 , 应满意的条件是 , 如 X 与 Y 独立,就 = , = .解