2022年数学思想方法综合练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学思想方法综合练习 比推理；一、填空题 17. 反例反对的理论依据是形式规律的冲突1.九章算术思想方法的特点是 开放 律；的归纳体系 算法化的内容 模型化的方法；18. 在反例反对中,构造一个反例必需满意2. 古代数学大体可分为两种不同的类型：条件（ 1）反例满意构成猜想的全部条件（2）反例一种是崇尚规律推理,以几何原本为代表；一 与构成猜想的结论冲突；种是长于运算和实际应用,以九章算术为典 19. 猜想具有两个显著特点：具有肯定的范； -+ 科学性,具有肯定的估计性；3. 在数学中建立公理体系最早的是几何 20. 三段论是演绎推理的主要形式

2、；三段论学 , 而 这 方 面 的 代 表 著 作 是 古 希 腊 欧 几 里 得 的 由大前提、小前提、结论 三部分组成；几何原本；21. 化归方法是指,把待解决的问题,通过4.几何原本所开创的 公理化方法不 某种转化过程,归结到一类已经能解决或较易解决仅成为一种数学陈述模式,而且仍被移植到其它学 的问题中,最终获得原问题解答的一种方法；科,并且促进他们的进展；22. 化归方法的三个要素是化归对象,化5. 推动数学进展的缘由主要有两个：实 归目标,化归途径；践的需要,理论的需要；数学思想方法的几次突 23. 在化归过程中应遵循的原就是 简洁化破就是这两种需要的结果；原就、熟识化原就、和谐化原

3、就；6. 变量数学产生的数学基础是 解读几 24. 在运算机时代,运算方法 已成为与理何,标志是 微积分；论方法、试验方法并列的第三种科学方法；7. 数学基础学问和数学思想方法 是数学 25. 算法具有以下特点：有限性,确定教案的两条主线；性,有效性；8. 随机现象的特点是 在肯定条件下,可 26. 算法大致可以分为 多项式算法和指数能发生某种结果,也可能不发生某种结果；型算法 两大类；9. 等腰三角形的抽象过程,就是把一个新 27. 匀速直线运动的数学模型是 一次函的特点：两边相等,加入到三角形概念中去,使三 数 ；角形概念得到强化；28. 所谓数学模型方法是 利用数学模型解10. 同学懂得

4、或把握数学思想方法的过程有 决问题的一般数学方法；如下三个主要阶段、潜意识阶段,明朗化阶 29. 分类必需遵循的原就是不重复,无段,深刻懂得阶段；遗漏,标准同一,按层次逐步划分；11. 数学的统一性是客观世界统一性的反 30. 所谓数形结合方法,就是在争论数学问映,是数学中各个分支固有的内在联系的表达,它 题时,由数思形、见形思数、数形结合考虑问题表现为 数学的各个分支相互渗透和相互结合 的趋 的一种思想方法；势；31. 所谓特别化是指在争论问题时,从对象12. 抽象的含义：取其共同的本质属性或特 的一个给定集合动身,进而考虑某个包含于该集合征,舍去其非本质的属性或特点的思维过程 的较小集合

5、的思想方法；13. 强抽象就是指,通过 把一些新特点加 32. 面对一个问题,经过认真的观看和思入到某一概念中去 而形成新概念的抽象过程；考,通过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面入14. 菱形概念的抽象过程就是把一个新的特 手：演绎证明此猜想为真；或者查找反例说明此猜征：一组邻边相等,加入到平行四边形概念中去,想为假,并且进一步修正或否定此猜想；使平行四边形概念得到了强化；33. 化归方法的三个要素是：化归对象、化15. 演绎法与归纳法被认为是理性思维中两 归目标、化归途径；种最重要的推理方法；34. 依据同学把握数学思想方法的过程有潜16. 所谓类比,是指 由一类事物所具有的 意识、明朗化

6、、深刻懂得三个阶段,可相应地将小某种属性,可以估计与其类似的事物也具有该属性 学数学思想方法教案设计成多次孕育、初步懂得、的一种推理方法；常称这种方法为类比法,也称类 简洁应用 三个阶段；1 / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 35.数学思想方法是联系数学学问与数学三、简答题才能的纽带,是数学科学的灵魂,它对进展同学的1、为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？ 定数学才能,提高同学的思维品质都具有特别重要的几何原本以少数原始概念和公设、公理为基础,运用规律规章将当时所知的几何学中的主要命题作用；理 全都推出来,

7、从而形成一个井然有序的整体在这个36.一个概括过程包括比较、区分、扩张体系中,除了规律规章外,每个定理的证明所采纳的论据和分析等几个主要环节；使用该算法从37.算法的有效性是指假如它 的 初 始 数 据 出 发 , 能 够 得 到 这 一 问 题 的 正 确解；数学的争论对象大致可以分成两类研38.究数量关系,争论空间形式；均是公设、公理或前面已证明的定理,并且引入的概念 除原始概念 也基本上符合规律上对概念下定义的要求,原就上不再依靠其它东西另外几何原本 回避任何与社会生产现实生括 有关的应用问题,对社会生活的各个领域来说也是封闭 的因此, 几何原本 是一个相对封闭的演绎体系2、试对九章算术

8、思想方法的一个特点“ 算法化二、判定题 只要答“ 是” 或“ 否” 是的内容” 加以说明；1中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法；九章算术在每一章内先列举如干个实际问题,并否对每一个问题都给出答案,然后再给出“ 术” ,作为一类2几何原本是人类历史上最早的演绎的公理化问题的共同解法；因此,内容的算法化是九章算术思体系； 是想方法上的特点之一；3微积分的建立标志着变量数学的产生；是3、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数4、运算机是数学的制造物,又是数学的制造者；学的局限性；5、抽象得到的新概念与表述原先的对象的概念之间答：确定性现象特点：在肯定条件下,其结果肯定有种属关系；否完全被打

9、算,或者完全确定,或者完全否定,不存6抽象和概括是两种完全不同的方法；否在其他可能；即这种现象在肯定的条件下必定会发7、一个数学理论体系内的每一个命题都必需给出证生某种结果,或者必定不会发生某种结果；明； 否 立即现象的特点：在肯定条件下,可能发生某种结8、九章算术不包括代数、几何内容；否 果,也可能不发生某种结果；9、既没有脱离数学学问的数学思想方法,也没有不确定数学的局限性：随机现象并不是杂乱无章的现包括数学思想方法的数学学问；是象,就个体而言,好像没什么规律存在,但当同类现象大10、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域量显现时,在总体上却出现出一种规律性,但是确定数学没应用； 否

10、无法定量地揭示这种规律性；11、在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学4、简述运算机在数学方面的三种新用途；思想方法才能取得成效；是答：第一,用来证明一些数学命题；其次,用来猜测12、假如某一类问题存在算法,并且构造出这个算 法,就肯定能求出该问题的精确解；否 13、对同一数学对象,如选取不同的标准,可以得到 不同的分类； 是 14、数学思想方法教案隶属数学教案范畴,只要贯彻通常的数学教案原就就可实现数学思想方法教案目标；是否15、由类比法推得的结论必定正确；否16、有时特别情形能与一般情形等价；是17、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴；18、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不

11、懂几何的人不得入内；这是由于他的学校里所学习的课程 要用到很多几何学问；否 19、完全归纳法的一般推理形式是：设 S= A1, A 2,-, An,- 由于 A1 具有属性 p,A2具有属性 p, An 具有属性 p,因此推断集合 S 中的每 一个对象都具有属性 p；否某些数学问题的可能结果,第三,用来验证某些数学问题 的结果的正确性5、什么是数学的统一性 .法国的布尔巴基学派是如何 实现数学的统一 答：所谓统一性,就是部分与部分、部分与整体之间 的和谐一样；客观世界具有统一性,数学作为描述客观世 界的语言必定具有统一性；数学的统一性时客观世界统一 性的反映是数学中各个分支固有的内在联系的表达

12、；布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构、拓扑结构）,然后依据不同条 件,由这三个基本结构交叉产生新的结构；他们认为整个 数学或大部分数学都可以依据结构的不同加以分类,用数 学结构能统一整个数学,各个数学分支只是数学结构由简 单道复杂,由一般向特别进展的产物；数学的不同分支是 这些不同的结构组成的,而这些结构之间的错综复杂的联 系又把全部的分支连成一个有机整体；因此可以说,布尔2 / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 巴基学派用数学结构现实数学的统一性；（如信息不够就重复进行）6、简述

13、数学抽象的特点；答：数学抽象有以下特点：结论 B 11、简述化归方法的和谐化原就；数学抽象具有无物质性；（2）数学抽象具有层次性；（ 3）数学抽象过程要凭借分析或直觉；（4）数学抽象不仅有概念抽象仍有方法抽象；7、简述化归方法在数学教案中的应用；答：和谐化是数学内在美的主要内容之一；美 与真在数学命题中一般是统一的；因此,我们在解答：化归方法在数学教案中的应用至少有以下三个方 面：题过程中,可依据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特点,利用和谐美去摸索问题,获 得解题信息,从而确立解题的总体思路,达到以美 启真的作用；12、什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法 有限性特点的例子；

14、（ 1）利用化归方法学习新学问,（ 2）利用化归方法指导解题,（ 3）利用化归方法整理学问结构8、简述用MM方法解决实际问题的基本步骤,并用框图加以表示；MM方法解题的基本步骤可用框图表示为：答：算法的有限性是指：一个算法必需在有限步之内实际问题数学抽象数学模型终止2 和 3 作以十进制小数的除法这个算法为例,如取数为初始数据,就有2 3=O6666无论怎样连续这个过程都不能终止,同时也不会显现中断因此,除法对于 2 和 3 这组数不符合算法有限性特点实际问题的解 仍原 数学模型的解 13、简述培育数学猜想才能的途径；答：数学猜想才能的培育可以从以下三方面入手：说明（ 1）用猜想学习新学问；（

15、2）用猜想探究数学规 9、简述数学建模的基本步骤；律；（ 3）用猜想探究解题思路；答：数学建模的方法和步骤是：14、简述特别化方法在数学教案中的应用；弄清实际问题：包括明白问题的实际背景学问,从 答：特别化方法在数学教案中的应用大致有以下四方面：中提取有关的信息,明确要达到的目标；（1）利用特别值（图形）解挑选题；化简问题：依据问题的特点和目的,做出某种核力（2）利用特别化探求问题结论；（3）利用特例检验 的假设,舍弃一些次要因素,从而使问题得以化简；一般结果；（ 4）利用特别化探究解题思路；建模：在假设的基础上,抓住主要因素和有关量之 15、什么是类比猜想？并举一个例子说明；间的关系进行抽象

16、概括,运用适当的数学工具刻画变量 答：人们运用类比法,依据一类事物所具有的 之间的数量关系,建立起相应的数学结构 某种属性,得出其类似的事物也具有这种属性的一 求解：对所得的模型在数学上进行推理或演算,求出 种估计性的判定,即猜想,这种思想方法称为类比 数学上的结果 猜想；检验：把数学上的结论返回到实际问题中；如模型 分式与分数特别相像,只不过是用字母替代数而 与实际比较温顺,就对所得结果给出实际含义,并进行 已,因此,我们可以猜想,分式与分数在定义、基本 说明；假如经过检验与实际不符,就必需对所得模型加 性质、约分、通分、四就运算等方面都是对应相像 以修正,重复前面的建模过程；的；事实也如此

17、；10、试用框图表示用特别化方法解决问题的一般过 16、什么是归纳猜想？并举一个例子说明；程；答：人们运用归纳法,得出对一类现象的某种一般性熟识的一种估计性的判定,即猜想,这种思想方法称为归对象 A 特别化 对 纳猜想；象 A / （A ）例如：人们在度量了很多圆的周长和半径以后,发觉他们的比值总是近似等于 3.14 ,于是提出了圆周率是3.14 的猜想；这就是归纳猜想；/ / A+B 结论 B 17、简述将“ 化隐为显” 列为数学思想方法教案的一条原就的理由；3 / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答：由于数

18、学思想方法往往隐含在学问的背后,学问可迁移的属性d 应是和 a1, a 2 , a n 属于同一类型；教案虽然包蕴着思想方法,但是假如不是有意识地把数学 思想方法作为教案对象,在数学学习时,同学经常只留意 处处于表层的数学学问,而留意不处处于深层的思想方 法；因此,进行数学思想方法教案时必需以数学学问为载 体,把隐匿在学问背后的数学思想方法显示出来,使之明 朗化,才能通过学问教案过程达到思想方法教案之目的；3、圆周角定理证明思路如下：将圆周角的两边所处的位置分成三种情形：角的一 边落在直径上；角的两边在某始终径的两侧；角的两 边在某始终径的同侧；如上图所示；先对情形进行证 明,然后将情形、转化

19、为情形分别进行证明；最终 得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论；四、解答题 试详细分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法；1、运用方程模型解应用题时,其中最重要的是“ 设 想问题已经解出” 、“ 用两种不同方式表示同一个量” 、“ 方程个数和未知量个数相等” 这三个要点；这是为什解答：该证明中用到下面几种数学思想方法：将圆周角分成三种情形,用到分类方法；先证明角恰有一边在直径上的特别情形,用到特别么？请阐述你的懂得；化方法；解答：“ 设想问题已经解出” ,即在列式时将未知量 将其他两种情形转化为角恰有角恰有一边在直径上与已知量同等对待；这是列方程中的一个重要思想,也是 的情形,用到化归方法；

20、它优于算术之处；在算术列式中,未知量只能列在等号左 通过对全部三种情形的证明,然后得出圆周角定理边,且系数必需为 1,已知量只能在等号右边显现；已知 的结论,用到完全归纳法；量与未知量的位置截然不同,因此列式比较困难；而在方 在证明过程中需要进行演绎推理,因此用到演绎方程列式中,已知量与未知量处于同等位置,都可以在等号 法；两边显现,于是列式就简洁多了；4、以“ 熟识长方形的对边相等” 为内容,设计一个“ 用两种不同方式表示同一量” ,这是列方程的关 教案片断；键；所谓方程,其实就是用两种不同的方法表示同一个 量,并用等号联结起来； 要求：教案过程要比较详细、合理,且有肯定的 层次；要有与数学

21、学问教案相联系的本课程中所学习的“ 方程个数和未知量个数相等” ,是为了得到确定的 数学思想方法教案内容；不少于 300 字 解；这里有个自由度的思想；当方程个数少于未知量个数 解答：将教案过程设计成四个层次：时,就会显现不定方程 组 ；这时方程 组 的解一般会有 让同学说一说：我们四周有哪些长方形物体？同学无穷多个；会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子；2、 1 什么是类比推理？2 写出类比推理的表示形 要求同学认真观看：看一看、想一想,这些长方形式； 3 怎样才能增加由类比得出的结论的牢靠性？解答： 1 类比推理是指,由一类事物所具有的某种 属性,可以估计与其类似的事物也具有这种属

22、性的一种推的四条边的长短有什么关系？同学经过观看后,会猜想：长方形相对的两条边长度相等；老师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神理方法；值得勉励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短2 类比推理的表示形式为：A 具有性质 a1, a 2 , a n 及 d；相等呢？这时,同学会想出很多方法,如：用尺量、将图 形对折等方法；老师顺势引导同学通过量量、折折的详细B 具有性质 a1/, a2/, an/ ；/ 分操作,确信长方形相对的两条边长短相等；老师板书：长因此, B 也可能具有性质d / ；方形对边相等；接着,师生争论长方形“ 对边” 的含义,其中, a1 与 a 1/ ,a2 与 a

23、2 / , a n 与 an / , d 与 d以及一个长方形有几组对边的问题；别相同或相像；巩固长方形对边相等的熟识；3 尽量满意以下条件可增加类比结论的牢靠性： A 与 B 共同 或相像 的属性尽可能多些；利用多媒体展现下面的长方形：师：如何填写括号内的数字？为什么？这些共同 或相像 的属性应是类比对象A 与 B 的主要求同学会用“ 由于 所以 ” 句式回答；4 厘要属性；如“ 由于长方形的对边相等,已知长方形的一条边是这些共同 或相像 的属性应包括类比对象的不同方M,所以它的对边也是4 厘 M；”面,并且尽可能是多方面的；4 / 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页