2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第3章 第2节 第05课时 利用导数研究函数的零点问题 .doc

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1、第五课时利用导数研究函数的零点问题利用图像研究函数的零点个数问题明技法含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图像，根据图像特征求出参数的范围提能力【典例】 已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)解析：选B法一由题意a0，由f(x)3ax26x0得x0或x.当a0时，f(x)在(，0)和上单调递增，在上单调递减且f(0)10，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A，C当a0且唯一，只需f0，即a24，a2，故选B法二 f(x

2、)有唯一正零点x0，等价于方程ax33x210有唯一正根x0，即a有唯一正根x0.令g(x)，g(x)，g(x)在(，1)上递减，(1,0)上递增，(0,1)上递增，(1，)上递减又g (1)2，g(1)2，且当x1时， g(x)1时，g(x)0，g(x)的大致图像如图：直线ya与yg(x)有唯一交点，且横坐标x00，只需a0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a在区间，e上有两个不相等的实数解，令(x)(x，e)因为(x)，易判断(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()，所以(x)min(e)，故a的取值范围为a.