2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.3 圆的方程 .docx

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1、9.3圆的方程最新考纲考情考向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(xa)2(yb)2r2(r0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r知识拓展1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组(3)解

2、出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程2点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.()(4)方程x22axy20一定表示圆()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()(6)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆()题组二教材改编2P132A组T3以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是()A(x3)2(y1

3、)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案A3P124A组T4圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_答案(x2)2y210解析设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.题组三易错自纠4点(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A点在圆外 B点在圆内C点在圆上 D不能确定答案A解析将点(m2,5)代入圆方程，得m42524.故点在圆外，故选A.5若x2y24x2y5k0表示圆，则实数k的取值范围是()A

4、R B(，1)C(，1 D1，)答案B解析由方程x2y24x2y5k0可得(x2)2(y1)255k，此方程表示圆，则55k0，解得k0)，又圆与直线4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圆的标准方程为(x2)2(y1)21.故选A.题型一圆的方程典例 (1)(2018届黑龙江伊春市第二中学月考)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24答案C解析AB的中垂线方程为yx，所以由yx，xy20的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x1)2(y1)24，故选C.(2

5、)已知圆C经过P(2,4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为_答案x2y22x4y80或x2y26x8y0解析设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，即(x1x2)24x1x236，得D24F36，由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方

6、程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值跟踪训练 (2017广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_答案x2y26x2y10或x2y26x2y10解析方法一所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)

7、2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，r2a2，又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法三设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切，0，则E24F.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上，D3E0.联立，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y1

8、0.题型二与圆有关的最值问题典例 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.引申探究1在本例的条件下，求的最大值和最小值解可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即

9、1，解得k2或k2，的最大值为2，最小值为2.2在本例的条件下，求的最大值和最小值解，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为，的最大值为1，最小值为1.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最

10、值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题跟踪训练 已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值与最小值解(1)方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24.表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得2，解得k，所以的最大值为，最小值为.(2)设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取得最大值或

11、最小值，如图所示由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为62，最小值为62.题型三与圆有关的轨迹问题典例 (2017潍坊调研)已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为

12、坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等跟踪训练 (2017河北衡水中学调研)已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解(1)方法一设C(x，

13、y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2

14、y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题规范解答解一般

15、解法(代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有解得故圆的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.1已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 ()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24答案A解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|2，圆的方程

16、为x2y22.2已知圆C：x2y22x4y10，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(2,2)的圆的方程是()A(x1)2(y2)25 B(x1)2(y2)225C(x1)2(y2)25 D(x1)2(y2)225答案B解析圆C的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心C(1，2)，故排除C，D，代入(2,2)点，只有B项经过此点也可以设出要求的圆的方程为(x1)2(y2)2r2，再代入点(2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3(2017豫北名校联考)圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24 B(x)2(y)24Cx2(y2)24 D(x1)2(y)24答案D解析

17、设圆(x2)2y24的圆心(2,0)关于直线yx对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a1，b，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.故选D.4(2017福建厦门联考)若a，则方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圆的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1)0，即3a24a40，解得2a.又a，仅当a0时，方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，故选B.5(2018长沙二模)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是()A1 B2C1 D22答案A解析将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(

18、1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2的距离的最大值为d11，故选A.6已知圆O：x2y24及一点P(1,0)，则Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C的方程为_答案2y21解析设M(x，y)，则Q(2x1,2y)，Q在圆x2y24上，(2x1)24y24，即2y21，轨迹C的方程为2y21.7已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表

19、示以(2，4)为圆心，5为半径的圆8若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_答案(x2)22解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)又因为圆与直线y1相切，所以|1m|，解得m.所以圆C的方程为(x2)22.9(2017广州模拟)已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为_答案(0，1)解析圆C的方程可化为2(y1)2k21，所以当k0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，1)10已知点M(1,0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_答案xy10解

20、析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2,1)，kCM1，最短弦所在直线的方程为y0(x1)，即xy10.11在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P点的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x01，即y0x01.当y0x01时，由yx1，得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由

21、yx1，得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.12已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)若P(a，a1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求|MQ|的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值解(1)将P(a，a1)代入圆C：x2y24x14y450，得a4，所以P(4,5)，|PQ|2，kPQ.(2)圆C：(x2)2(y7)2(2)2，圆心C(2,7)，R2，|QC|R|MQ|QC|R，|QC|4，2|MQ|6，|MQ|的最小值为2，最大值为6.(3)由题意知m2n24m

22、14n450，即(m2)2(n7)2(2)2，分析可得k表示该圆上的任意一点与Q(2,3)相连所得直线的斜率，设该直线斜率为k，则其方程为y3k(x2)，又由d2，得2k2.所以k的最小值为2，最大值为2.13已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点记d|PB|2|PA|2，其中A(0,1)，B(0，1)，则d的最大值为_答案74解析设P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy为圆上任一点到原点距离的平方，(xy)max(51)236，dmax74.14(2017运城二模)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x2y0的距离为，

23、且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为_答案(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知或故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.15(2018届四川雅安中学月考)已知动点P(x，y)满足x2y2|x|y|0，O为坐标原点，则的最大值为_答案解析表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离当x0，y0时，x2y2xy0化为22，曲线上的点到原点的距离的最大值为2，当x0，y0时，x2y2xy0化为22，曲线上的点到原点的距离的最大值为2，当x0，y0时，x2y2xy0化为22，曲线上的点到原点的距离的最大值为2，当x0，y0时，x2y2xy0化为22，曲线上的点到原点的距离的最大值为2.综上可知的最大值为.16已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_答案(x2)2(y1)25解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.