2022年湖北省武汉市武昌区2021届高三元月调研考试数学理试题 .pdf

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1、武昌区 2019届高三元月调研考试数学理试题一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的11i3i1i（）AiB2iC13iD1 3i2 已知集合2|log (1)1,|2AxxBxxa， 若AB， 则实数a的取值范围为 （）A(1,3)B1,3C1,)D(,33已知向量(2,1),(2,)abx不平行，且满足2abab，则x（）A12B12C 1 或12D1 或124函数2( )xx ef xx的图象大致为（）5某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s（）A26 B102 C410 D512 6设, x y满足约束条件43029

2、01xyxyx，则2zxy的取值范围为（）A2,6B3,6C3,12D6,127已知函数( )3 sincos(0)f xxx的最小正周期为2，则( )f x的单调递增区间是（）A2,2()66kkkZB22,2()33kkkZ开始1,0ns2nss2nnn8?输出 s结束是否精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页C22,2()33kkkZD52,2()66kkkZ8已知ab、是区间0,4上的任意实数，则函数2( )1f xaxbx在2,)上单调递增的概率为（）A18B38C58D789如图，网格纸上小正方形的边长为1

3、，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（）A323B483C32D4810已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2 3的正三角形，侧棱长为2 5，则球O的表面积为（）A10B25C100D12511已知M为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右支上一点，,A F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，60MFA，则C的离心率为（）A6 B4 C3 D2 12已知函数3211( )232f xxaxx，则( )f x的零点个数可能有（）A1 个B1 个或 2 个C1 个或 2 个或 3 个D2 个或 3个二、填空题：本题共4 小

4、题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上133(1)(2)xx的展开式中2x的系数为 （用数字填写答案）14 已知( )f x是定义域为R的奇函数， 且函数(1)yf x为偶函数， 当01x时，3( )f xx，则52f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页15设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和已知124,SSS成等比数列，且35a，则数列na的通项公式为16过点(,0)M m作直线12ll、与抛物线2:4Eyx相交，其中1l与E交于AB、两点，2l与E交于CD、两点，AD过E的焦点F若ADBC

5、、的斜率12kk、满足122kk，则实数m的值为三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17 （本小题满分12 分）在ABC中，角ABC、 、的对边分别为abc、 、，且2sinsincos2CAB，(3 )sin()(sinsin)cbCabAB（1）求A和B的大小；（2）若ABC的面积为3，求BC边上中线AM的长18 （本小题满分12 分）如图，三棱柱111ABCA B C中，1112,30 ,6ABACAABCACABC（1）求证：平面1ABC平面11AAC

6、 C；（2）求二面角11BACC的余弦值19 （本小题满分12 分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为 l，单位： cm） ，先从中随机抽取100 件，测量发现全部介于85cm 和 155cm 之间，得到如下频数分布表：分组85，95) 95，105) 105，115) 115，125) 125，135) 135，145) 145，155 频数2 9 22 33 24 8 2 已知该批产品的质量指标值服从正态分布2( ,)N，其中近似为样本的平均数x，2近似为样本方差2s（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）（1）求(132.2144.4)Pl；ABCA1B1C1精选学习资

7、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页（2）公司规定： 当115l 时，产品为正品； 当115l时，产品为次品 公司每生产一件这种产品，若是正品， 则盈利 90 元；若是次品， 则亏损 30 元记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望参考数据：15012.2若2( ,)XN，则()0.6826,(22 )0.9544PXPX，(33 )0.9974PX 20 （本小题满分12 分）设12FF、分 别 为 椭 圆22:12xEy的 左 、 右 焦 点 ， 动 点0000(,) (0,1)P xyyy在E上12F P

8、F的平分线交x轴于点(,0)M m，交y轴于点N，过1FN、的直线l交E于CD、两点（1）若12m，求0 x的值；（2）研究发现0 xm始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求2F CD面积的取值范围21 （本小题满分12 分）已知函数2113( )ln424f xxaxx（1）当1a时，求( )f x的单调区间；（2）若( )f x存在两个极值点12,xx，且12xx，证明：1212()()124f xfxaxx（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分）在直角坐标系xO

9、y中，曲线1C的参数方程为3xtyt（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为4cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C相交于AB、两点，求OAB的面积23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分10 分）已知( )11f xxaxa（1）当1a时，求不等式( )3f x 的解集；（2）若1x时，不等式( )2f xx恒成立，求a的取值范围武昌区 2019 届高三年级元月调研考试理科数学参考答案1 2 3 4

10、 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A A B C B D A B B A 13 6 14 1815 21nan16 2 17解析：（1）因为(3 )sin()(sinsin)cbCabAB，所以(3 )()()cb cab ab，所以2223abcbc，即3cos2A，所以30A，因为2sinsincos2CAB，所以1cossinsin2CAB，即sin1 cosBC，因为150BC，所以sin1cos(150)1cos150 cossin150 sinBBBB，即13sincossin60122BBB，所以30B6分（2）,120ab C，因为213sin324ABCSabC

11、a，所以2ab，在ACM中，22212cos120412 1272AMACCMACCM，所以7AM12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页ABCM18解析：（ 1）记11A CACO，连结BO因为1ABBC，所以1BOAC由题意知1ACC为正三角形，求得3CO，在1ABC中求得3BO，又6BC，所以222BCCOBO，所以BOCO因为1COACO，所以BO平面11AAC C因为BO平面1ABC，所以平面1ABC平面11AAC C6 分（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0, 1,0),(3

12、,0,0),( 3, 1, 3)ACCB，1(0, 2,0),( 3, 2, 3)ACAB因为BO平面11AAC C，所以平面11AAC C的法向量为(0,0,3)m设 平 面11AB C的 法 向 量 为( , , )nx y z， 则1203230n ACyn ABxyz， 取1x， 则0 ,1yz，所以(1,0, 1)n所以32cos,232m nm nmn，因为所求二面角的平面角为钝角，所以所求二面角11BACC的余弦值为2212 分ABCA1B1C1Oxyz19解析：（ 1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

13、- - - -第 6 页，共 10 页90 0.02 100 0.09 110 0.22 120 0.33 130 0.24 140 0.08 150 0.02120 x，抽取产品质量指标值的方差为：29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150，因为(120,150),15012.2lN，1()(120132.2)0.68260.3413,21(2)(120144.4)0.95440.4772,2PlPlPlPl(132.2144.4)(120144.4)(120132.2)0.1359PlPlPl6 分（2）由频数分布表得：(115)

14、0.020.090.220.33,(115)10.330.67P lp l随机变量的取值为90,30，且(90)0.67,(30)0.33PP则随机变量的分布列为：90 30P 0.67 0.33 所以900.67300.3350.4E12分20解析：（1）由题意知12( 1,0),(1,0)FF直线1PF的方程为0000(1)1yyxx，即000(1)0y xxyy，直线2PF的方程为0000(1)1yyxx，即000(1)0y xxyy由点1,02M到1PF和2PF的距离相等，得0000222200001122(1)(1)yyyyyxyx（* ）其中22220000012(1)1(1)22

15、2yxxxx，22220000012(1)1(1)222yxxxx，且022x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页所以（ *）式可化为003122xx，解得01x4分（2）定值为2，即02xm直线PM的方程为0000()yyxmxm，令0 x，并考虑02xm，得0yy所 以 点N的 坐 标 为0(0 ,)y， 从 而 过1FN、的 直 线l的 方 程 为000(1)10yyx， 即0(1)yyx，代入2212xy，消去x，得222000(12)20yyy yy设1122(,),(,)C x yD xy，则200121

16、222002,1212yyyyy yyy所以2222200001212122222000248(1)()41 212(1 2)yyyyyyyyy yyyy，所以2220012122208(1)12(12)F CDyySF Fyyy因为22220002222220008(1)2(1 2)112 1(1 2)(1 2)(12)yyyyyy，其中000,1yy，所以220022011601,1123,02 1(1 2)9yyy，所以2403F CDS，所以2F CD面积的取值范围为40,312分DCNMF1OF2P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

17、 -第 8 页，共 10 页21解析：当1a时，2113( )ln424f xxxx，(1)0f21112(2)(1)( )2222xxxxfxxxxx当1x时，( )0fx；当01x时，( )0fx在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减4 分（2）因为2113( )ln424f xxaxx，所以21112( )222axxfxaxxx因为( )f x存在两个极值点，所以220axx在(0,)有两根所以0180aa，所以108a，且121212,xxx xaa因为22121212121212121211(lnln)()()()()lnln1424xxa xxxxf xf xxxxxxxxx要

18、证1212()()124f xf xaxx，只需证121212lnln22xxaxxxx，即证12112221ln1xxxxxx令121xtx，只需证2(1)ln1ttt令2(1)( )ln,(1)01tg ttgt，所以2214(1)( )0(1)(1)tg tttt t，所以( )g t在(1,)单调递增，因为1t，所以( )(1)g tg，即2(1)ln01ttt所以，1212()()124f xf xaxx22解析：（ 1）1C的普通方程为30 xy，由4cos，得24cos，又因为222,cosxyx，所以2C的直角坐标方程为2240 xyx4 分（2）原点O到直线30 xy的距离3

19、2d，2C的标准方程为22(2)4xy，表示圆心为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页2(2,0)C， 半 径2r的 圆 2C到 直 线30 xy的 距 离23 22d， 所 以222214ABrd所以1133 7142222OABSAB d10分432112345246810BAC2O23解析：（ 1）当1a时，不等式( )3fx 化为13xx 当1x时，13xx，解得2x，所以2x；当10 x时，13,13xx，无解；当0 x时，13xx，解得1x，所以1x所以，不等式( )3f x 的解集为(, 21,)4分（2）当1x时，不等式( )2f xx化为112xaxax，即11axa由11axa，得11axa或11axa，即(1)2a x或(1)0a x当x 1时，不等式(1)2a x不恒成立；当1x时，若不等式(1)0a x恒成立，则0a所以，所求a的取值范围为0,)10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页