概率论与数理统计学习知识资料要点.doc

// 知识要点 一 概念： 1 随机事件：用等表示 互不相容： 互逆： 且 ，此时， 互逆 互不相容 ，反之不行 相互独立： 或 2 随机事件的运算律： (1) 交换律 ： (2) 结合律 ： (3) 分配律 ： (4 ) De Morgen 律（对偶律） 推广： 3 随机事件的概率： 有界性 若 则 条件概率 4 随机变量： 用大写表示 . 若与相互独立的充分必要条件是 若与是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是 若与是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是 若与不相关，则 或 独立不相关 反之不成立 但当与服从正态分布时 ，则相互独立 不相关 相关系数： 且当且仅当时，并且 二 两种概率模型 古典概型 ： 所包含的基本事件的个数 ；总的基本事件的个数 伯努利概型 ： 次独立试验序列中事件恰好发生次的概率 次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率 次独立试验序列中事件至少发生次的概率 特别的 ，至少发生一次的概率 三 概率的计算公式： 加法公式： 若互不相容 ,则 推论： 推广： 若，互不相容，则 乘法公式：或 若相互独立 ， 推广： 若它们相互独立，则 全概率公式：若 为随机事件，互不相容的完备事件组，且 则 注： 常用作为互不相容的完备事件组 有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概问题. 用全概率公式解题的程序： （1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题 （2） 若是全概率类型，正确的假设事件及 ，要求是互斥的完备事件组 （3） 计算出 （4） 代入公式计算结果 四 一维随机变量： 1 分布函数： 性质：（1） （2） 若 ，则 （3） 若是离散随机变量，则是右连续的 若是连续随机变量，则是连续的 （有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数） （4） 即 即 （ 此性质常用来确定分布函数中的常数） 利用分布函数计算概率： 一维离散随机变量： 概率函数： （分布律） 性质： （此性质常用来确定概率函数中的常数） 已知概率函数求分布函数 一维连续随机变量： 概率密度 性质： （1） 非负性 （2）归一性： （常用此性质来确定概率密度中的常数） 分布函数和概率密度的关系： （注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用概率密度求概率 五 一维随机变量函数的分布： 离散情形 ： 列表 、整理、合并 连续情形： 分布函数法. 先求的分布函数 ，再求导 六 二维随机变量： 联合分布函数 ： 性质： （1） （2） （3） （4） （此极限性质常用来确定分布函数中的常数） 边缘分布函数： 二维离散随机变量： 联合概率函数 列表 边缘概率函数： 二维连续随机变量： 联合概率密度 性质 （1） （2）（常用此性质来确定概率密度中的常数） 联合分布函数与联合概率密度的关系 （注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率 已知联合概率密度求边缘概率密度 （注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 二维随机变量函数的分布 1 离散情形 2 连续情形： 七 随机变量的数字特征： 若为离散随机变量： 若为连续随机变量： 二维情形 若为二维连续随机变量，则 若为二维离散随机变量，则 随机变量的函数的数学期望： 若为离散随机变量： 若为连续随机变量 方差：定义 方差的计算公式： 注意这个公式的转化： 协方差：，相关系数 关于期望的定理： 关于方差的定理 （1） （1） （2） （2） （3） 相互独立： （注意：反之不成立） 相互独立 （注意：反之不成立） 一般地： 八 要熟记的常用分布及其数字特征： 分布 二项分布 泊松分布 均匀分布： 指数分布： 正态分布： 特别地 （） 若 ，则 九 正态随机变量线性函数的分布； 十 统计部分： 统计量 ，三大分布的定义，无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验 矩估计的步骤：（思路：用样本的k阶原点矩去估计总体的k阶原点矩） 若总体中只含一个未知参数； （1） 计算总体的一阶原点矩 （2） 令，从中解得未知参数的矩估计量。 若总体中含有两个未知参数； （3） 计算总体的一阶原点矩，二阶原点矩 （4） 令，从中解得未知参数的矩估计量。 最大似然估计的步骤： （1） 写似然函数：若总体是连续的随机变量，则 若总体是离散的随机变量，则 （注：离散情形，似然函数就是样本出现的概率） （2） 对似然函数两边取对数； （3） 对参数求导数，并令导数等于0 （4） 由此解得参数的最大似然估计值。 区间估计的步骤： 若已知 ，则的置信水平为的置信区间为 查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。 若未知 ，则的置信水平为的置信区间为 查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。 假设检验的步骤：（对参数） （1） 根据题意提出原假设与备择假设 （2） 根据题意选取统计量； 已知，则应该选择统计量 未知，则应选择统计量 （3） 计算统计量的观察值 （4） 查临界值，判断统计量的观察值是否在拒绝域里，下结论。 例： 甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 . 解： 设：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，：从乙袋中返还甲袋的是红球,: 这一个来回后甲袋中红球数不变，则 从而 . 例 高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为 ，又若敌机中一弹，其坠落的概率为，若敌机中两弹，其坠落的概率为，若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。 解： 设事件表示敌机被击落，事件表示敌机中弹。 则 所以， 例：设的分布函数 求 解： 当时， 当时， 在处导数不存在，但规定为零 例：设连续随机变量的概率密度 求： 解： （1） (对称性质) 由 得： （2）当时， 当时 ， 当 时 ， （3） 或 例： ，求的 密度函数 解 ： 当 时 ， 当 时 ， 例：设随机变量的概率密度为 求：(1) , (2) 解：（1） (2) 设随机变量的概率密度为 求常数的值； ；（3）． 解：（1） 由知 ，解得 . ( 2 ) (3) , 例： 设随机变量的概率密度为， 计算：（1）边缘概率密度 （2）与是否相互独立？为什么？ 解 （1）当时 ， 当时， 所以 当时 ， 当时， 所以 （2）因为 所以 与不相互独立。 例 设随机变量的联合概率密度为： 求：（1）的边缘概率密度 ， （2） 解：（1） 当或时， 当时， 所以， （2） 例： 总体的概率密度为 ，是未知参数 ，求的矩估计量. 解： 令 由此解得 的矩估计量为， 例 设总体的概率密度为， 其中为未知参数 ，如果从该总体中取得简单随机样本观测值，求参数的最大似然估计值。 解 似然函数为 取对数得 对 求导得 令 即 从而得到的最大似然估计值为 例： 设总体，为未知参数． （1）已知从该总体中随机抽取个观测值的平均值为，求的置信水平为的置信区间（结果保留四位小数）． （2）要使的置信水平为的置信区间长度不超过，问样本容量最少应为多少？ 解：（1） 已知 ，则的置信水平为的置信区间为 ，，，，，，于是 ， 又，于是置信区间为 = 即 （2）要使置信区间长度 ，，样本容量最少为 . 例：从一批火箭推力装置中抽取个进行试验，测试其燃烧时间（s），经计算得样本均值（s），样本标准差（s），设燃烧时间服从正态分布，求燃烧时间均值的置信水平为的置信区间。 解 未知 ，则的置信水平为的置信区间为 因为置信水平 ，所以 自由度， 查表 从而置信区间为 例： 设总体服从正态分布，现从中抽取样本容量为的样本。测得样本均值，样本标准差。问在显著性水平下，可否认为总体均值为？ 解 根据题意待检验的假设为 已知，则应该选择统计量 计算统计量的观测值为 查表 因为 ，所以在显著性水平下，接受原假设。 即 即认为总体均值 例： 已知全国高校男生百米跑平均成绩为（秒）．为了比较某高校与全国高校的男子百米跑水平，现从该校随机抽测男生人的百米跑成绩均值为（秒），标准差为（秒）．试问：在显著性水平下，可否认为该校男生的百米跑平均成绩与全国高校男生百米跑平均成绩有显著差异？ 解：待检验的假设为： 显著水平，标准差为，， 未知，故选择统计量 计算统计量的观测值为：， 当时，，拒绝域为： 即 , 在拒绝域内，拒绝原假设，即认为该校男生的百米跑均值与全国高校有显著差异。