2019届高考数学大一轮复习讲义：第九章　平面解析几何 第6讲　抛物线.6 .doc

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1、9.6抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、简单性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与简单性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FF

2、FF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下知识拓展1抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax(a0)的焦点坐标为，准线方程为x.3设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点

3、F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()题组二教材改编2过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，

4、Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A9 B8 C7 D6答案B解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠4设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P

5、作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.5已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22xBy22xCy24xDy24x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选D.6设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案1,1解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l

6、的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.题型一抛物线的定义及应用典例设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.引申探究1若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，

7、即|PB|PF|的最小值为2.2若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径跟踪训练设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点

8、P到直线x1的距离之和的最小值为_答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.题型二抛物线的标准方程和简单性质命题点1求抛物线的标准方程典例 (2017深圳模拟)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay2xBy29xCy2xDy23x答案D解析分别过点A，B作

9、AA1l，BB1l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.命题点2抛物线的简单性质典例已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y

10、22pmyp20.(*)因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可

11、以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此跟踪训练 (1)(2017广西三市调研)若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A.B1C.D2答案D解析由题意得3x0x0，即x0，即A，代入抛物线方程，得2，p0，p2.故选D.(2)(2017郑州二模)过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.B.C.D2答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直

12、线x2的垂线，垂足分别为点D，E.|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题典例已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k_.答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，则抛物线C与直线必有两个交点设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)

13、(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016全国)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程(1)证明由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k

14、1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，所以x11，x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点(设焦点在

15、x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解跟踪训练 (2018届武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程解(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然

16、方程有两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.又x22py得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，则有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，yANx.同理yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离

17、为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由思维点拨(3)中证明0.规范解答解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F.2分(2)|RF|yR，23，得m.4分(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0，得m.6分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P，即P，Q，8分得，.若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即0，10分结合(*)式化简得40，即2m23m20，m2或m，而2，.存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形12分解决直线

18、与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况1点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2答案D解析分两类a0，a0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCx22yDx2y答案C解析由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8

19、p)，则4，得p1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x22y.4(2017赣州二模)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为()A1 B2C3 D4答案B解析不妨设A(x0，y0)在第一象限，由题意可知即A，又点A在抛物线y22px上，2p，即p416，又p0，p2，故选B.5(2018届新余市第一中学模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，则动点P的轨迹方程为()Ay24xBy28xCx24yDx28y答案D解析动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，动点

20、P到点A(0,2)的距离与它到直线y2的距离相等根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y，故选D.6(2017昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若12，则抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCy28xDy24x答案C解析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p21

21、2，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.7(2017河北六校模拟)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_答案y216x解析设满足题意的圆的圆心为M(xM，yM)根据题意可知圆心M在抛物线上又圆的面积为36，圆的半径为6，则|MF|xM6，即xM6，又由题意可知xM，6，解得p8.抛物线方程为y216x.8已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21的右焦点重合，若A为抛物线上x轴上方一点，且|AF|3，则直线AF的斜率等于_答案2解析双曲线y21的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y28x，

22、p4.|AF|3，xA23，xA1，代入抛物线方程可得yA2.点A在x轴上方，A(1,2)，直线AF的斜率k2.9(2017江西九校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案2解析y22px的准线方程为x.由于ABF为等边三角形，因此不妨设A，B，又点A，B在双曲线y2x21上，从而1，又p0，所以p2.10(2017全国)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.答案6解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂

23、足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.11(2018郑州模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，点M(x0，2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x截得的弦长为|MA|.若2，则|AF|等于()A.B1C2 D3答案B解析由题意知M(x0，2)在抛物线上，则82px0，则px04，由抛物线的性质可知，|DM|x

24、0，2，则|MA|2|AF|MF|，圆M被直线x截得的弦长为|MA|，则|DE|MA|，又|MA|ME|r，在RtMDE中，|DE|2|DM|2|ME|2，即222，代入整理得4xp220，由，解得x02，p2(舍负)，|AF|1，故选B.14过点(0,3)的直线与抛物线y24x交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则|AF|BF|的值为_答案6解析设AB的中点为H，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，设A，B，H在准线上的射影为A，B，H，则|HH|(|AA|BB|)，由抛物线的定义可得，|AF|AA|，|BF|BB|，|AF|BF|AA|BB|2|

25、HH|.由题意知直线的斜率必存在，设为ykx3，与y24x联立得k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，计算得出k0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_答案(2,4)解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上将x3代入y24x，得y212，则有2y02.因为点M在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2r4.