2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第7章　立体几何 第5讲　直线、平面垂直的判定及性质 .docx

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1、第5讲直线、平面垂直的判定及性质板块一知识梳理自主学习必备知识考点1直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理3直线与平面垂直的性质定理考点2平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理2平面与平面垂直的性质定理必会结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直考点自测 1判断下列结论的

2、正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行()(2)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(3)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()(4)二面角是指两个相交平面构成的图形()(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018浙江模拟设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m答案C解析对于选项A，B，D，均能举出m的反例；对于选项C，若m，n，则mn，又n，m.故选C.3课本改编若m，

3、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若m，则mB若m，n，mn，则C若m，m，则D若，则答案C解析A中m与的位置关系不确定，故错误；B中，可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中，平行或相交 ，所以D错误故选C.4在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()答案A解析A中，CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与CD成45角；D中，AB与CD夹角的正切值为.故选A.板块二典例探究考向突破考向有关垂直关系的判断 例12017广州模拟设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则C

4、若mn，m，n，则D若，m，n，则mn答案B解析若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；m，mn，n，又n，故B正确；若mn，m，n，则与的位置关系不确定，故C错误；若，m，n，则mn或m，n异面，故D错误故选B.触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明【变式训练1】2018北京东城模拟已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nC，且m Dm

5、n，且n答案B解析因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误故选B.考向直线与平面垂直的判定与性质 命题角度1利用线线垂直证明线面垂直例22018湖北宜昌模拟在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，E，F，M分别为A1C1，AB1，BC的中点(1)求证：EF平面BB1C1C；(2)求证：EF平面AB1M.证明(1)连接A1B，BC1.因为E，F分别为A1C1，AB1的中点，所以F为A1B的中点，所以EFBC1.因为BC1平面BB1C1C，EF

6、平面BB1C1C，所以EF平面BB1C1C.(2)在矩形BCC1B1，BCBB1，所以tanCBC1，tanB1MB.所以tanCBC1tanB1MB1.所以CBC1B1MB.所以BC1B1M.因为EFBC1，所以EFB1M.在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC平面BB1C1C.因为M为BC的中点，ABAC，所以AMBC.因为平面ABC平面BB1C1CBC，所以AM平面BB1C1C.因为BC1平面BB1C1C，所以AMBC1因为EFBC1，所以EFAM.又因为AMB1MM，AM平面AB1M，B1M平面AB1M，所以EF平面AB1M.命题角度2利用线面垂直证明线线垂直例3 2017江苏高考

7、如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平

8、面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质考向面面垂直的判定与性质 例42017全国卷如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(

9、1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.触类旁通判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a)【变式训练2】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，DCBCAB1，点M在线段EC上(1)证明：平面BDM平面ADEF；(2)若AE平面MDB，求三棱锥EBDM的体

10、积解(1)证明：DCBC1，DCBC，BD.在梯形ABCD中，AD，AB2，AD2BD2AB2，ADB90.ADBD.又平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，BD平面ADEF.又BD平面BDM，平面BDM平面ADEF.(2)如图，连接AC，ACBDO，连接MO，平面EAC平面MBDMO，AE平面MDB，AE平面EAC，AEOM.又ABCD，2，SEDMSEDC1.ADEF为正方形，EDAD.又平面ADEF平面ADCB，ED平面ABCD，BC平面ABCD，DEBC.ABCD，ABBC，BCCD.又EDDCD，BC平面EDC.VEBDMVBEDMSEDMBC1.核心规律转化思想：

11、垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决满分策略1.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.板块三启智培优破译高考题型技法系列 12等体积法求点到平面的距离 2018内蒙古模拟如图，在直三棱柱ABCDEF中，底面ABC的棱ABBC，且ABBC2.点G，H在侧棱CF上，且CHHGGF1.(1)证明：

12、EH平面ABG；(2)求点C到平面ABG的距离解题视点(1)证明直线与平面垂直的常用方法为证明直线与平面内的两条相交直线都垂直；(2)等体积法是求解点到平面的距离的常用方法解(1)证明：ABCDEF是直三棱柱，FC平面ABC，而AB平面ABC，FCAB.又ABBC，BCFCC.AB平面BCFE，又EH平面BCFE，ABEH.由题设知EFH与BCG均为直角三角形，EF2FH，BC2CG，EHF45，BGC45.设BGEHP，则GPH90，即EHBG.又ABBGB，EH平面ABG.(2)ABBC2，ABBC，SABCABBC2.CG平面ABC，VGABCSABCCG.由(1)知ABBG，CG2BC

13、，BG2，SABGABBG2.设点C到平面ABG的距离为h，则VCABGSABGhhVGABC，h.即点C到平面ABG的距离为.答题启示(1)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质；(2)用等体积法求点到平面距离时，通过换顶点和底面转化为底面积和高易求的锥体体积是关键.跟踪训练已知三棱锥ABCD中，ABC是等腰直角三角形，且ACBC，BC2，AD平面BCD，AD1.(1)求证：平面ABC平面ACD；(2)若E为AB的中点，求点A到平面CED的距离解(1)证明：因为AD平面BCD，BC平面BCD，所以ADBC，又因为ACBC，ACADA，所以BC平面ACD，BC平面

14、ABC，所以平面ABC平面ACD. (2)由已知可得CD，取CD中点为F，连接EF，由于EDECAB，所以ECD为等腰三角形，从而EF，SECD，由(1)知BC平面ACD，所以E到平面ACD的距离为1，SACD，令A到平面CED的距离为d，有VAECDSECDdVEACDSACD1，解得d.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12016浙江高考已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析l，l，n，nl.故选C.22015福建高考若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分

15、必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由“m且lm”推出“l或l”，但由“m且l”可推出“lm”，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选B.32017天津河西模拟设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l答案B解析对于A，若l，l，则或与相交，故A错误；易知B正确；对于C，若，l，则l或l，故C错误；对于D，若，l，则l与的位置关系不确定，故D错误故选B.4.2018济南模拟已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PAB

16、DCF平面PAD答案D解析A中，因为CDAF，AF平面PAF，CD平面PAF，所以CD平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DFAF，又因为PA平面ABCDEF，所以PADF，又因为PAAFA，所以DF平面PAF成立；C中，因为CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，所以CF平面PAB；而D中CF与AD不垂直故选D.5已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l答案D解析若，则mn，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，与相交将已知条件转化到正方体中，易知与不一定垂直，但与的交线一定平

17、行于l，从而排除B，C.故选D.6已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3解析如图所示PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB.但AB不一定垂直于BC.7设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若a，b，且，则ab；若a，且a，则；若，则一定存在平面，使得，；若，则一定存在直线l，使得l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_答案解析中a与b可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在，使得与，都垂直中只需

18、直线l且l就可以8.2018广东模拟如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有_(写出全部正确命题的序号)平面ABC平面ABD；平面ABD平面BCD；平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE；平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE.答案解析由ABCB，ADCD知ACDE，ACBE，从而AC平面BDE，故正确9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA.又CDAC，PAACA，故

19、CD平面PAC，AE平面PAC.故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故PAAC.E是PC的中点，故AEPC.由(1)知CDAE，由于PCCDC，从而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.10.2018湖南永州模拟如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求四棱锥SABCD的高解(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，DB，则四边形BCDE为矩形，DECB2，ADBD.侧面SAB为等边三角形，AB2，SASBAB2.又SD1，SA2SD2AD2，SB2SD2BD2，DSADSB

20、90，即SDSA，SDSB，SASBS，SD平面SAB.(2)设四棱锥SABCD的高为h，则h也是三棱锥SABD 的高由(1)，知SD平面SAB.由VSABDVDSAB，得SABDhSSABSD，h.又SABDABDE222，SSABAB222，SD1，h.故四棱锥SABCD的高为.B级知能提升12018青岛质检设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是()Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，答案C解析对于C项，由，a可得a，又b，得ab.故选C.22018河北唐山模拟如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个

21、正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确故选B.3.如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面P

22、BC，其中真命题的序号是_答案解析AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确；AEPC，AEBCAE平面PBC，PB平面PBCAEPB，AFPB，EF平面AEFEFPB，故正确；若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误；由可知正确42018江西九江模拟如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.(1)证明：平面ACF平面BEFD.(2)若cosBAD，求几何体ABCDEF的体积解(1)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，BE平面ABCD，AC平面ABCD，BEAC.AC平面BEFD，AC平面ACF.平面ACF平

23、面BEFD. (2)设AC与BD的交点为O，ABa(a0)，由(1)得AC平面BEFD，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF2(DFBE)28，BD2，S四边形BEFD(BEDF)BD3，cosBAD，BD2AB2AD22ABADcosBADa28，a，OA2AB2OB23，OA，VABCDEF2VABEFDS四边形BEFDOA2.52017全国卷如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，又BD平面DOB，故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.