专题03 导数与应用-各类考试必备素材之高三数学（文）全国各地优质金卷 .doc

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1、【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专题三 导数与应用一、选择题1【2018全国统一考试高三二调】已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.2【2018东莞高三二模】已知函数若不等式恒成立，则

2、实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相切于点，因为，所以该切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象，得.故选C. 3【2018贵州高三适应性考试】设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D直线y=axa恒过定点（1，0）且斜率为a，故ag（0）=1且g（1）=3e1aa，g（2）= 解得： a故选：D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数

3、法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解4【2018北京师范大学附中高三二模】设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D5【2018陕西咸阳高三二模】已知定义在上的函数的导函数为，且，设， ，则， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】令，则.即在上为增函数.所以，即，整理得： ，即.故选A.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有： ，构造xf(x)；2xf(x)+x2f(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.

4、等等. 6【2018河南商丘高三二模】定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式 (其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了这个技巧，先构造函数g(x)=,再分析函数g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答.7【2018重庆高三二诊】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，得，曲线在点处的切线方程为令，得；令得切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为选B8【2018东北三省四市高三一模】已知过曲线上一点作曲线的

5、切线，若切线在轴上的截距小于0时，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C9【2018广东茂名高三二模】若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知可得对任意的恒成立，设 则 当时在上恒成立， 在上单调递增，又 在上 不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使 在在上恒成立，只要 ，令 可知在上单调递增，在在上单调递减，又故选A.10【2018安徽马鞍山高三质监二】已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中

6、档题；构造函数，利用导数证得在上单调递增，且为奇函数，原不等式等价于，由此解得的范围.11【2018云南昆明高三二模】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数，可得， 有唯一极值点有唯一根， 无根，即与无交点，可得，由得， 在上递增，由得， 在上递减， ，即实数的取值范围是，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，

7、在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .12【2018陕西榆林高三二模】设函数，若，使得直线的斜率为0，则的最小值为（ ）A. -8 B. C. -6 D. 2【答案】C当x（，2）和（1，+）时，g（x）0，则g（x）是递增函数当x（2，1）时，g（x）0，则g（x）是递减函数x1，2g（1）min=7mg（1）=13m，g（2）=4mg（x）值域N：7mN13m由题意，MN则，解得：2m6m的最小值为6故选：C点睛：考查曲线的斜率为0的理解

8、和值域的关系利用导函数研究最值的问题和二次函数的最值的求法13【2018新疆乌鲁木齐质监二】已知函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D二、填空题14【2018湖南衡阳高三二模】函数的图象与二次函数的图象恰有两个不同的交点，则实数的值是_【答案】【解析】当x0时，函数的图像与二次函数的图象恰有一个交点，设当x0时， 的图像与相切于点，因为故填.点睛:解答与曲线切线有关的问题,如果不知道切点，一般都要设切点,再求切线的方程. 再利用其它条件转化求解.本题就是按照这种技巧解答的. 三、解答题15【2018湖南益阳高三4月调研】已知函数（，为自然对数的底

9、数）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.试题解析：（1）由题知，函数的定义域是.，当时，对任意恒成立，所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，令，得；令，得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当时，恒成立，即为恒成立，即为恒成立.设，则.显然在区间上单调递增，且，所以当时，；当时，；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，解得.即实数的最小值是.点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，

10、也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调区间.16【2018广东东莞高三二模】已知函数.()求曲线在处的切线方程；()设，若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】().().试题解析：()由题易知,在处的切线方程为.()由题易知.当时，在上单调递增，不符合题意.当时，令，得，在上，在上,在上单调递减，在上单调递增，.有两个零点，,即,解得,实数的取值范围为.17【2018江西新余高三二模】已知函数， .（1）讨论函数的单调区间；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)

11、.解析：（）. （i）若，则当时， ；当时， ；故函数在单调递减，在单调递增 （ii）当时，由，解得： 或. 若，即，则， ，故在单调递增 若，即，则当时， ；当时， ；故函数在， 单调递增，在单调递减 若，即，则当时， ；当时， ；故函数在， 单调递增，在单调递减（）（i）当时，由（）知，函数在单调递减，在单调递增，取实数满足且，则，所以有两个零点 （ii）若，则，故只有一个零点 （iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时， ，故不存在两个零点； 当，则函数在单调递增；在单调递减又当时， ，故不存在两个零点 综上所述， 的取值范围是点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉

12、及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.18【2018广东惠州高三4月模拟】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .即可求得，从而可得实数的取值范围；法二：要使恒成立，只需，对进行和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求出，即可实数的取值范围.试题解析：（1）由题知： , 当时, 在时恒成立在上是增函数. 当时, ,令，得 ；令,得

13、.在上为增函数，在上为减函数. （2）法一：由题知： 在上恒成立， 即在上恒成立. 令，所以 令得；令得. 在上单调递增，在上单调递减. , . 法二：要使恒成立，只需, 当时， 在上单调递增.,即，这与矛盾，此时不成立. 当时,（i）若即时， 在上单调递增，即，这与矛盾，此时不成立.（ii）若即时， 在上单调递增，在上单调递减 .即，解得.又 , （iii） 即时， 在 递减，则, 又； 综上所述可得： . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为; （3

14、）若恒成立，可构造新函数，转化为.19【2018北京师大附中高三二模】已知函数，其中，为自然对数底数（1）求函数的单调区间；（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）【试题解析】（1）因为，因为，由得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）因为，由函数对任意都成立，得，因为，所以 所以，设，所以， 由，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减 所以，即的最大值为，此时，【点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义

15、域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.20【2018陕西咸阳高三二模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2） 若函数有最小值，记为，关于的方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）当时， 在上递减，当时， 在上递减，在上递增；（2）.试题解析：（1）， ，当时， ，知在上是递减的；当时， ，知在上是递减的，在上递增的.（2）由（1）知， ， ，即，方程，即，令，则，知在和是递增的， 是递减的， ，依题意得.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于

16、参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数（）.若是的极值点.（I）求,并求在上的最小值；（II）若不等式对任意都成立，其中为整数， 为的导函数，求的最大值.【答案】（I），最下值2；(II）2.试题解析：（I），由是的极值点，得，.易知在上单调递减，在上单调递增，所有当时， 在上取得最小值2.（II）由（I）知，此时，令（），（）令， ，在单调递增，且， ，在时， ，由，又，且，所以的最大值为2

17、.点睛：本题的难点在求出（）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果不方便解出，一般要考虑二次求导.22【2018江西高三质监】已知函数.（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若关于的方程， 有实数解，求整数的最大值.【答案】(1) ;(2)0.试题解析：(1) ,则, 得方程有两个不等的正实数根,即, (2)方程,即,记函数,， , 令 , 单调递减, , 存在,使得,即, 当, 递增, , 递减,即, 故,整数的最大值为 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方

18、法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解23【2018安徽宣城高三二调】已知函数 (， 为自然对数的底数).（）求函数的极值；（）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（1）见解析（2）的最大值为1.试题解析：（） ，当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.当时，令，得， .， ； ， .所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极小值

19、；当， 在处取得极小值，无极大值.（）当时， .直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程： 在上没有实数解.当时，方程可化为，在上没有实数解.当时，方程化为.令，则有令，得，当变化时， 的变化情况如下表：-1-0+当时， ，同时当趋于时， 趋于，从而的取值范围为.所以当时，方程无实数解，解得的取值范围是.综上，得的最大值为1.24【2018河南商丘高三二模】已知函数，其中为常数且.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增，在上单

20、调递减；（3）.试题解析：(1)当时，= 切线的斜率，又， 故切线的方程为，即.（2）且,()当时,当时,;当时,.故在区间上单调递减,在区间上单调递增； ()当，有两个实数根，且,故时,；时，时,.故在区间上均为单调增函数,在区间上为减函数. 综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在、上单调递增，在上单调递减. （3）当时，由（2）知，又 ，在上为增函数. .依题意有 故的取值范围为.点睛：存在，使成立，即,因为不等式两边的自变量不同.如果是存在x使得f(x)g(x)恒成立，就不能等价于，因为不等式两边的自变量都是x，这种情况一般移项转化成f(x)-g(x)的最小值小于零.这两种

21、命题要学会区分.25【2018重庆高三4月二诊】已知函数（，）（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，判断关于的方程的解的个数【答案】（1）；（2）只有一个解.试题解析：（1），由题意得在恒成立，即在恒成立，设，则，在上单调递增，在上单调递减，实数的取值范围为（2）由题意得， ，令，则，令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 又，存在，使得 时， 单调递减；当 时，单调递增，又，时，当，时，方程有一个解，当时，方程只有一个解点睛：利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的

22、位置，通过数形结合的思想去分析问题，这样可以使得问题的求解有一个直观的整体展现26【2018河南衡阳高三二模】已知函数(1)若,函数的极大值为,求实数的值；(2)若对任意的在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）试题解析：（1），当时， ，令，得； ，得，所以在上单调递增， 上单调递减所以的极大值为，不合题意 当时， ，令，得； ，得或，所以在上单调递增， 和上单调递减.所以的极大值为，解得符合题意综上可得 （2）令，当时， ， 在上是增函数则对恒成立等价于，即对恒成立.即对恒成立 令 在上单调递减。所以实数的取值范围为.点睛：本题的难点在于要反复地转化，令，转化成证明g(a)的最大值小于等于在上恒成立，再分离参数对恒成立，再利用导数求右边函数的最大值得解.转化的思想是高中数学最常用的数学思想，大家遇到复杂的问题，都要理解掌握和灵活运用.27【2018吉林长春高三质监三】已知函数，（）（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）令，有，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则即.（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，即证令，有在上单调递增，所以.