2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第7章 第05节 直接证明与间接证明 .doc

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1、第五节直接证明与间接证明考点高考试题考查内容核心素养直接证明与间接证明未单独考查命题分析对直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等综合考查.1直接证明综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法.思维过程由因导果执果索因证题步骤P(已知)P1P2PnQ(结论)Q(结论)Q1Q2QnP(

2、已知)文字语言因为，所以或由，得要证，只需证，即证符号语言2间接证明反证法定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法证明步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情

3、况很少.提醒：辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()(5)用反证法证明结论“ab”时，应假设“

4、ab”()(6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()答案：(1) (2)(3)(4)(5)(6)2用分析法证明：欲使AB，只需C0，求证： a2.证明：要证 a2，只要证 2a.a0，故只要证22，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立综合法的应用明技法综合法证题的思路提能力【典例】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b.证明： (1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2 B，因

5、为sin B0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以5a3b.刷好题(2018聊城模拟)已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)(1)解：f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1.(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)则h(x)x2x1.所以h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数故h(x)

6、maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)反证法的应用明技法用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾(3)否定反设，得出原命题结论成立提能力【典例】 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列(1)解：当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pqr，所以rq，rpN.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证刷好题已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x32(x)233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.