2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第1讲 椭圆（考题帮.数学理） .docx

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1、第一讲椭圆题组1求椭圆的标准方程1.2015广东,8,5分已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2 B.3 C.4D.92.2013新课标全国,10,5分理已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1 C.x227+y218=1D.x218+y29=13.2014安徽,14,5分理设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0b3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,

2、其中O为原点,e为椭圆的离心率.()求椭圆的方程;()设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.5.2014新课标全国,20,12分理已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.()求E的方程;()设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程.题组2椭圆的几何性质问题6.2017浙江,2,4分椭圆x29+y24=1的离心率是()A.133B.53 C.23 D.597.20

3、16全国卷,11,5分理已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13 B.12 C.23 D.348.2015福建,11,5分已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.(0,32 B.(0,34 C.32,1)D.34,1)9.2013新课标全

4、国,5,5分设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.3310.2014江西,15,5分理过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.11.2016浙江,19,15分理如图10-1-1,设椭圆x2a2+y2=1(a1).图10-1-1()求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);()若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围

5、.A组基础题1.2018湖北八校联考,6如图10-1-2,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()图10-1-2A.x236+y216=1 B.x240+y215=1 C.x249+y224=1 D.x245+y220=12.2018长郡中学选拔考试,5已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)与圆D:x2+y2-2ax+316a2=0交于A,B两点,若四边形OADB(O为原点)是菱形,则椭圆C的离心率为()A.13 B.12 C.32D.623.2018惠州市二调,10设F1,F2为椭圆x29+y25=1

6、的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为()A.514 B.513 C.49D.594.2017合肥市高三二检,8已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,满足PF2F1F2,点Q在线段PF1上,且F1Q=2QP.若F1PF2Q=0,则e2=()A.2-1B.2-2C.2-3D.5-25.2018长春市高三第一次质量监测,20已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E(3,32).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若A

7、F1=F1B,且2b0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON=54,求原点O到直线l的距离的取值范围.B组提升题7.2018南宁市摸底联考,10已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,且弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A.12 B.22 C.32 D.558.2018贵阳市高三摸底考试,12椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线交C于P,Q两点,若cosPAQ=35,则椭圆C的离心率e为()A

8、.12 B.22 C.33 D.239.2017石家庄二模,11已知动点P在椭圆x236+y227=1上,若点A的坐标为(3,0),点M满足|AM|=1,PMAM=0,则|PM|的最小值是()A.2B.3C.22D.3 10.2017甘肃二诊,20已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的顶点到直线l:y=x的距离分别为62,22.(1)求椭圆C的离心率;(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN分别与圆O交于点M,N,求PMN面积的最大值.答案1.B由4=25-m2(m0),得m=3,故选B.2.D因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程

9、为y=12(x-3),将代入椭圆方程x2a2+y2b2=1并消去y,得(a24+b2)x2-32a2x+94a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为32a22(a24+b2)=1,即a2=2b2.因为a2=b2+c2,所以b=c=3,所以a2=18.故选D.3.x2+3y22=1设点A在点B上方,F1(-c,0),F2(c,0),其中c=1-b2,则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,可得AF1=3F1B,故-2c=3(x0+c),-b2=3y0,即x0=-53c,y0=-13b2,代入椭圆方程可得25(1-b2)9+19b2=1,解得b2=23,故椭圆方程为

10、x2+3y22=1.4.()设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以椭圆的方程为x24+y23=1.()设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由()知,F(1,0).设H(0,yH),则FH=(-1,yH),BF=

11、(9-4k24k2+3,12k4k2+3).由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化简得xM1,即20k2+912(k2+1)1,解得k-64或k64.所以直线l的斜率的取值范围为(-,-6464,+).5.()设F(c,0),由条件知,2c=233,得c=3.又ca=32

12、,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为x24+y2=1.()当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0,当=16(4k2-3)0,即k234时,x1,2=8k24k2-34k2+1.从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+14k2-34k2+1.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1 ,所以OPQ的面积SOPQ=12d|PQ|=44k2-34k2+1 .设4k2-3=t,则t0,SOPQ=4tt2+4=4t+4t .因为t+4t4,当且仅当t=2,即k=72时等号成立,

13、且满足0.所以当OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.6.B根据题意知,a=3,b=2,则c=a2-b2=5,所以椭圆的离心率e=ca=53,故选B.7.A设E(0,m),则直线AE的方程为-xa+ym=1,由题意可知M(-c,m-mca),(0,m2)和B(a,0)三点共线,则m-mca-m2-c=m2-a,化简得a=3c,则C的离心率e=ca=13. 故选A.8.A设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a

14、,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于45,即4b545,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c3,所以00,k1k2.由()知,|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,所以(k12-k22)1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0.由于k1k2,k1,k20,所以1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,因此(1k12+1)(1k22+1)=1+a2(a2-2),因为式关于k1

15、,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a2.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2,由e=ca=a2-1a,得所求离心率的取值范围为0b0),则2a=|EF1|+|EF2|=4,a2=b2+c2,c=1,解得a=2,c=1,b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)根据题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k0),联立方程,得y=k(x+1),x24+y23=1,消去x,得(3k2+4)y2-6ky-9=0,=144k2+1440.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6k3+4k2,y1y2=-9k23+4k2

16、,又AF1=F1B,所以y1=-y2.把代入得y1=-6k(1-)(3+4k2),y2=6k(1-)(3+4k2),并结合可得y1y2=-(6k)2(1-)2(3+4k2)2=-9k23+4k2,则(1-)2=43+4k2,即+1-2=43+4k2.因为23,所以12+1-243,即1243+4k20,解得00,化简得m24k2+1,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=54,则y1y2x1x2=54, 即4y1y2=5x1x2,4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2

17、=5x1x2,(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km(-8km4k2+1)+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=54,由得0m265,120k254.原点O到直线l的距离d=|m|1+k2,d2=m21+k2=54-k21+k2=-1+94(1+k2).又120k254,0d287,0d2147.原点O到直线l的距离的取值范围是0,2147).B组提升题7.C设直线x-y+5=0与椭圆x2a2+y2b2=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,因为AB的中点是M(-4,1),所以x1+x2=-8,y1+y2=2.易知直

18、线AB的斜率k=y2-y1x2-x1=1.因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,所以y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2,所以b2a2=14,于是椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=32,故选C.8.A根据题意可取P(c,b2a),Q(c,-b2a),所以tanPAF=b2aa+c=b2a2+ac=a2-c2a2+ac=a-ca=1-e.因为cosPAQ=cos 2PAF=cos2PAF-sin2PAF=cos2PAF-sin2PAFcos2PAF+sin2PAF=1-

19、tan2PAF1+tan2PAF=1-(1-e)21+(1-e)2=35,所以5-5(1-e)2=3+3(1-e)28(1-e)2=2(1-e)2=14.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),所以1-e=12,解得e=12.故选A.9.C由|AM|=1可知点M的轨迹是以点A为圆心,1为半径的圆,过点P作该圆的切线PM,则PMAM=0,|PA|2 =|PM|2 +|AM|2,得|PM|2 =|PA|2 -1,所以要使|PM|取得最小值,需使|PA|取得最小值,而|PA|的最小值为6-3=3,此时点P为椭圆右顶点,且|PM|=22,故选C.10.(1)由直线l的方程知,直线l与两坐标轴的夹角均为

20、45,故长轴端点到直线l的距离为2a2,短轴端点到直线l的距离为2b2,由2a2=62,2b2=22,得a=3,b=1,所以c=2.所以椭圆C的离心率e=ca=23=63.(2)设点P(xP,yP),则xP2+yP2=4.(i)若两条切线中有一条切线的斜率不存在,则xP=3,yP=1,另一条切线的斜率为0,从而PMPN.此时,SPMN=12|PM|PN|=12223=23.(ii)若切线的斜率均存在,则xP3,设过点P的椭圆的切线方程为y-yP=k(x-xP),代入椭圆方程,消去y并整理得(3k2+1)x2+6k(yP-kxP)x+3(yP-kxP)2-3=0.依题意=0,得(3-xP2)k2+2xPyPk+1-yP2=0.设切线PM,PN的斜率分别为k1,k2,从而k1k2=1-yP23-xP2=xP2-33-xP2=-1,即PMPN,线段MN为圆O的直径,则|MN|=4.所以SPMN=12|PM|PN|14(|PM|2+|PN|2)=14|MN|2=4,当且仅当|PM|=|PN|=22时,SPMN最大,最大值为4.综合(i)(ii)可得,PMN面积的最大值为4.