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椭 圆
【教学目标】（1）掌握椭圆的定义
（2）掌握椭圆的几何性质
（3）掌握求椭圆的标准方程
【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题
（2）椭圆焦点三角形面积的求法
【教学过程】
一、知识点梳理
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形。
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意：
1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
讲练结合：
（2）范围
椭圆上所有的点都位于直线x=a和y=b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），
A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
，
，
注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
二、考点分析
考点一：椭圆的定义
【例1】方程化简的结果是 。
【例2】已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为（ ）
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线
【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 。
考点二：求椭圆的标准方程
【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为 。
【例4】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
【例5】求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程．
【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 。
2、焦点在轴上，，椭圆的标准方程为 。
3、已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
考点三：利用标准方程确定参数
【例6】若方程+=1
（1）表示圆，则实数k的取值是 .
（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .
【例7】椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 。
【变式训练】1、椭圆的焦距为，则= 。
2、椭圆的一个焦点是，那么 。
考点四：离心率的有关问题
一、求离心率
1、用定义（求出a,c或找到c/a）求离心率
（1）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.则椭圆的离心率 。
（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
（3）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为 。
2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。
（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
（2）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_______.
（3）设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。
二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）
1、直接根据题意建立不等关系求解.
（1）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是 。
（2）已知为椭圆的焦点，为椭圆短轴上的端点，，求椭圆离心率的取值范围 。
2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立不等关系求解
设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 。
3、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）
（1）椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值范围为 。
（2）已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围 。
（3）椭圆和圆（其中为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围 。
考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用
【例14】已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．
【变式训练】1、若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.
2、已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
课后作业：
一、选择题
1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=25，则点P的轨迹为( )
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线
3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( )
A -1
0 C k≥0 D k>1或k<-1
17、椭圆＋=1与椭圆＋=l(l>0)有（ ）
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对
18、椭圆与（0
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