2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第10章 第03节 模拟方法（几何概型）——概率的应用 .doc

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1、第三节第三节 模拟方法模拟方法(几何概型几何概型)概率的应用概率的应用 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T45 分 属于面积之比的几何概型数学运算 几何概型 2016全国卷T85 分 属于长度之比的几何概型数学运算 命题分析 几何概型的考查主要是几何概型概念的理解以及如何把一个实际问题转 化为几何概型，几何概型所涉及的几何度量一般是长度、面积、体积、 角度等，难度不大，一般出现在选择题中. 1模拟方法 对于某些无法确切知道概率的问题，常借助_模拟方法_来估计某些随机事件发生的 概率用_模拟方法_可以在短时间内完成大量的重复试验 2几何概型 (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地

2、投掷点 M，若点 M 落在_子区域 G1G_的概 率与 G1的_面积_成正比，而与 G 的_形状_、_位置_无关，即 P(点 M 落在 G1) ！ #，则称这种模型为几何概型 G1的面积 G的面积 (2)几何概型中的 G 也可以是_空间中_或_直线上_的有限区域，相应的概率是_体 积之比_或_长度之比_ 3几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果_有无限多个_； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有_等可能性_ 4几何概型的概率公式 P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 提醒： 辨明两个易误点 (1)几何概型中，线段的端点

3、，图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 (2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处 是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域 中的每一点被取到的机会相等( ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体( ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( ) (4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限( ) 答案：(1) (2

4、) (3) (4) 2在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为( ) A B 1 2 1 3 C D1 1 4 解析：选 B 为几何概型，属于长度之比，长度为 3，本事件对应长度为 1，概率 为 1 3 3(2017全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则 此点取自黑色部分的概率是( ) A B 1 4 8 C D 1 2 4 解析：选 B 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S正 方形4 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称

5、，得 S黑S白 S圆 ， 1 2 2 所以由几何概型知所求概率 P .故选 B S黑 S正方形 2 2 2 8 4(教材习题改编)在四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小 球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：选 A 由几何概型知识可求得四个选项的概率分别为 ，A 中奖机会最 3 8 1 4 1 3 1 3 大 与长度(角度)有关的几何概型 明技法 1与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求 解 2与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域

6、度量来计算 概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 提能力 【典例】 (1)(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持 续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 率为( ) A B 7 10 5 8 C D 3 8 3 10 解析：选 B 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ，故选 B 4015 40 5 8 (2)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30角的终边上，任作一条射线 OA，则 射线 OA 落在yOT 内的概率为_ 解析：如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA

7、落在yOT 内的 概率为 60 360 1 6 答案： 1 6 刷好题 1(2017江苏卷)记函数 f(x)的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 6xx2 x，则 xD 的概率是_ 解析：由 6xx20，解得2x3，D2,3 如图，区间4,5的长度为 9，定义域 D 的长度为 5， P 5 9 答案： 5 9 2如图所示，在ABC 中，B60，C45，高 AD，在BAC 内作射线 3 AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率为_ 解析：因为B60，C45，所以BAC75 在 RtABD 中，AD，B60， 3 所以 BD1，BAD30， AD tan 60 记事件 N 为“在BAC

8、内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1” ，则可得 BAMBAD 时事件 N 发生 由几何概型的概率公式得 P(N) 30 75 2 5 答案： 2 5 与体积有关的几何概型 明技法 与体积有关的几何概型的求法 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积 (事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解 提能力 【典例】 已知在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形， PAAB2，在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则三棱锥 O PAB 的体积不小于 的概率 2 3 为_ 解析：如图所示，设 AD，BC，PC，PD 的中

9、点分别为 E，F，G，H，当点 O 在几何 体 CDEFGH 内部或表面上时，VOPAB ，在几何体 CDEFGH 中，连接 GD，GE，则 2 3 VCDEFGHVGCDEFVGDEH ，又 VPABCD ，则所求概率为 5 6 8 3 5 6 8 3 5 16 答案： 5 16 刷好题 1一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADFBCE 内自由飞翔，则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为( ) A B 3 4 2 3 C D 1 3 1 2 解析：选 D 因为 VFAMCD S四边形 AMCDDF a3，VADFBCE a3， 1 3 1 4 1

10、 2 所以它飞入几何体 FAMCD 内的概率为 1 4a3 1 2a3 1 2 2在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中点，在正方体 ABCD A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) A B1 12 12 C D1 6 6 解析：选 B 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球 外记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 M，则 P(M)1 231 2 4 3 13 23 12 与面积有关的几何概型 析考情 在高考中与面积有关的几何概型是高考常考考点，常以选择题

11、、填空题形式出现，难 度属于中等，分值 5 分 提能力 命题点 1：与平面图形面积有关的几何概型 【典例 1】 已知菱形 ABCD 的边长为 4，ABC150，若在菱形内任取一点，则该 点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率为( ) A B1 4 4 C D1 8 8 解析：选 D 由题设菱形 ABCD 的边长为 4，ABC150，知菱形的面积 S菱形 ABCD2 ABBCsin 15044 8， 1 2 1 2 设事件 M 为“该点到菱形的四个顶点的距离大于 1” ，则事件 M 对应的区域是菱形内 部且在以顶点为圆心，半径为 1 的圆外的部分，如图所示，根据几何概型的概率计算公式 得 P(

12、M)1 8 8 8 命题点 2：与线性规划知识交汇命题的几何概型 【典例 2】 (2018郑州模拟)若不等式 x2y22 所表示的平面区域为 M，不等式组 Error!Error!表示的平面区域为 N，现随机向区域 N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率 为_ 解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域 N 的面积为 3(62)12，区域 M 在区域 N 内的面积为 ()2 ，故所求概率 P 1 2 1 42 2 2 12 24 答案： 24 悟技法 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要时可根 据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试

13、验全部结果构成的平面图形，以便求 解 刷好题 某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到 校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概 率为_(用数字作答) 解析：设小张与小王的到校时间分别为 7：00 后第 x 分钟，第 y 分钟根据题意可画 出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早 5 分钟到校 表示的事件 A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示， 阴影部分所占的面积为 1515，所以小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 1 2 225 2 P(A) 225 2 400 9 32 答案： 9 32