空间向量与立体几何整章教案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间向量与立体几何一、学问网络：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间向量的加减运算空间空间向量的数乘运算向空量间及向空间向量的数量积运算其量运与算立体空间向量的坐标运算几立何体几直线的方向向量与平面的法向量何中用空间向量证平行与垂直问题的向量求空间角方法求空间距离共线向量定理共面对量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二考纲要求：（ 1）空间向量及其运算 经受向量及其运算由平面对空间推广的过程。 明白空间向量的概念，明白空间向量

2、的基本定理及其意义，把握空间向量的正交分解及其坐标表示。 把握空间向量的线性运算及其坐标表示。 把握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直。（ 2）空间向量的应用 懂得直线的方向向量与平面的法向量。 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的运算问题，体会向量方法在讨论几何问题中的作用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借

3、助空间向量求夹角和距离。猜测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，特殊是求夹角、求距离，教可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时空间向量及其运算一、复习目标： 1 懂得空

4、间向量的概念。把握空间向量的加法、减法和数乘。2 明白空间向量的基本定理。3把握空间向量的数量积的定义及其性质。懂得空间向量的夹角 的概念。把握空间向量的数量积的概念、性质和运算律。明白空间向量的数量积的几何意义。能用向量的数量积判定向量的共线与垂直。二、重难点： 懂得空间向量的概念。把握空间向量的运算方法三、教学方法： 探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情形，促使积极参加。同学阅读复资P128 页，老师点评，增强目标和参加意识。（二）、学问梳理，方法定位。 （同学完成复资P128 页填空题，老师准对问题讲评） 。1空间向量的概念向量：在空间，我们把具

5、有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法： 用有向线段表示， 并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原先的向量相等，用同向且等长的有向线段表示。平面对量仅限于讨论同一平面内的平移，而空间向量讨论的是空间的平移。2向量运算和运算率OBOAABabBCBAOAOBabOPaRb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法交换率： abba.OaA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合率： a

6、b cabc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘安排率： ab ab.说明：引导同学利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的如干向量之和。向量加法的平行四边形法就在空间仍成立。3平行向量 共线向量 ：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合， 就这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于 b 记作 a b 。留意：当我们说 a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同始终线，也可能是平行直线。当我们说a 、 b 平行时，也具有同样的意义。共线向量定理： 对空间任意两个向量a（ a 0 ）、b ，a b 的充要条件是存在实数使b a（1）对于确定的和 a ，

7、 b a 表示空间与 a 平行或共线，长度为|a | ，当0 时与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -a 同向，当0 时与 a 反向的全部向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）如直线 l a ， AOP 的表达式。l ，P 为 l 上任一点， O为空间任一点，下面依据上述定理来推导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

8、归纳总结推论：假如l为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O，点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 在直线 l上的充要条件是存在实数t ，满意等式OP其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。OAta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 l 上取 ABa ，就式可化为OP1t OAtOB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t1 时，点 P 是线段 AB的中点，就2OP12OAOB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。留意： 表示式 、 既是表示式 , 的基础， 也是常用的直线参数方程的表示形式。推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法就记忆方程。4向量与平面平行：假如表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 平行或 a 在 平面内，我们就说向量 a 平行于平面 ，记作 a 。留意：向量 a 与直线 a 的联系与区分。共面对量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面对量。共面对量定理假如两个向量 a 、b 不共线，就向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y，使 pxayb . 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：

10、空间一点P 位于平面 MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使MPxMAyMB, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或对空间任肯定点O，有 OPOMxMAyMB. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在平面 MAB内，点 P 对应的实数对（ x, y）是唯独的。式叫做平面MAB的向量表示式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 MAOAOM ,. MBOBOM ,. 代入，整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OP1xy) OMx OAyOB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

11、总结由于对于空间任意一点P，只要满意等式、之一（它们只是形式不同的同一 等式），点 P 就在平面 MAB内。对于平面 MAB内的任意一点P，都满意等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P 四点共面的充要条件。5空间向量基本定理：假如三个向量a 、 b 、 c 不共面，那么对空间任一向量，存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个唯独的有序实数组x,y,z,使 pxaybzc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：由上述定理知，假如三个向量a 、 b 、c 不共面，那么全部空间

12、向量所组成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的集合就是p | pxaybzc , x、y、zR ，这个集合可看作由向量a 、 b 、c 生成的，所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以我们把 a ， b ， c 叫做空间的一个基底，a ， b ， c 都叫做基向量。空间任意三个不共

13、面对量都可以作为空间向量的一个基底。一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同的概念。由于 0 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0 。推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，就对空间任一点P，都存在唯独的有序实数组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x、y、z ，使 OPxOAyOBzOC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6数量积（ 1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O，作OAa ， OBb ，就可编辑资料

14、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a， b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：规定 0a ， b, 因而a， b= b ， a。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如a， b=，就称 a 与 b 相互垂直，记作 a b 。2OB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在表示两个向量的夹角时，要使有向线段留意图（ 1）、（2）中的两个向量的夹角不同，（ 1）A的起点重

15、合，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图（ 1）中 AOB=OA, OB ，O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图（ 2）中 AOB=AO,OB,B（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而有OA,OB= OA,OB =OA, OB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）向量的数量积：a b cosa, b叫做向量 a 、b 的数

16、量积，记作 ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ab= a bcosa, b，B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 AB在 e方向上的正射影:eBAlA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ae| AB | cos a, eA B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）性质与运算率 aecosa, e。 a ba b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三）典例解析 a b

17、| | a 2aaa.b =0 a ab =b a bca ba c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 1：空间向量的概念及性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、有以下命题：假如向量a ,b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的可编辑资料 - - -

18、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系是不共线。O, A, B , C 为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 O, A, B ,C 肯定共面。已知向量a,b ,c 是空间的一个基底，就向量ab, ab, c ，也是空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间的一个基底。其中正确的命题是（）。 A B C D 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 对于“假如向量a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那

19、么a ,b 的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系肯定共线”。所以错误。正确。题型 2：空间向量的基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、如图：在平行六面体ABCDA1 B1C1D1 中，D1C1MM为 A1C1 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1D1 的交点。如 ABa ， ADb ，A1AA1c ，DB1就 下 列 向 量C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中与 BM 相等的向量是（）AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A1 a1 bcB 1 a1 b

20、cC 1 a1 bcD 1 a1 bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：明显 BMBB1B1 M1 ADABAA1 a1 bc 。答案为 A。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222点评：类比平面对量表达平面位置关系过程，把握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，此题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 . 考查同学的空间想象才能。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、已知： a的值.3m2n

21、4 p0,b x1m8n2 yp, 且m, n, p 不共面 . 如a b , 求 x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：a b , 且 a0,ba , 即 x1 m8n2 yp3 m2n4 p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又m, n,p 不共面 ,x1382 y ,x2413, y8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：空间向量在运算时，留意到如何实施空间向量共线定理。例 4、底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1 中， D 为 AC的

22、中点，求证： AB1平面 C1BD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：记 ABa, ACb, AA1c, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1ac, DBABADa1 b, DC12DCCC11 bc DB2DC 1acAB1 , AB1 ,DB , DC 1共面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1平面 C1 BD, AB1/ 平面 C1BD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 28 页 - - - -

23、- - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（四）强化巩固导练1、已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，如 AF y 的值.ADx ABy AA1，求 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：易求得 xy1 ,xy02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在平行六面体2、ABCDA1 B1

24、 C1 D1 中， M为 AC与 BD的交点，如A1 B1a， A1 D1b， A1 Ac，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下向量中与B1M相等的向量是 A。AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1 a 1 bcB1 a 1 b cB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2C 1 a2221 b cD1 a2221 bc2ADC B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、（ 2021 四川卷理） 如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等， M 是侧 棱CC1可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品名师归纳总结的中点，就异面直线AB1和BM所成的角的大是。解析：不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结妨设棱长为 2，挑选基向量 BA , BB1, BC ，就AB 1BB 1BA , BM1BCBB 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosAB 1 , BM BB 1BA . BC1 BB1202200 ，故填写90 o 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结225225（五）、小结： 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运

26、算来证明对于垂直，一般是利用 abab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明 2 运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后运算这个向量对应的模而运算过程中只要运用好加法法就，就总能利用一个一个的向量三角形， 将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果 3 利用向量求夹角 线线夹角、线面夹角、面面夹角 有时也很便利其一般方法是将所求的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角就可以利用公式cosa b 4 异ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面直线间的距离的向量求

27、法：已知异面直线l 1、l 2，AB为其公垂线段， C、D分别为 l 1、l 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的任意一点， n 为与 AB 共线的向量，就 AB | CD| n |n | .5 设平面 的一个法向量为 n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P 是平面 外一点，且 Po ，就点 P 到平面 的距离是 d| Po P| n |n | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6

28、页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次课时空间向量的坐标运算一、复习目标： 1、懂得空间向量坐标的概念。2、把握空间向量的坐标运算。3 把握用直角坐标运算空间向量数量积的公式。把握空间两点间的距离公式二、重难点： 把握空间向量的坐标运算。把握用直角坐标运算空间向量数量积的公式。把握空间两点间的距离公式三：教学方法： 探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基础学问过关（同学完成以下填空题）1、空间直角坐标系：（1）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直

29、，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i , j , k 表示。（2）在空间选定一点 O 和一个单z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位正交基底 i ,j, k，以点 O 为原点，分别以i , j, k 的方向为正方Ax,y,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫坐标轴我们称ki O jy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，点 O 叫原点， 向量i , j , k 都x叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为

30、xOy 平面， yOz 平面， zOx平面。 2、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任一点 A ，存在唯独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的有序实数组 x,y, z ，使 OAxiy jzk ，有序实数组 x,y, z叫作向量 A 在空间直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标系 Oxyz 中的坐标，记作Ax,y, z， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、设 a a1 , a2 , a 3 ，b b1 , b2 , b3 1ab

31、。2a3a b4ab。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）模长公式：如 aa , a,a ， 就| a |222a aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）夹角公式：a bcosa ba1b1a2b2

32、a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | | b |222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）两点间的距离公式：如Ax , y , z ， Bx , y ,z ，就 | AB|2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111222ABx2x1y2y1z2z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8设 Ax1 , y1 , z1 , B x2 , y 2 , z2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

33、师归纳总结就 AB ， ABAB的中点 M的坐标为4、直线的方向向量的定义为。如何求直线的方向向量？5、平面的法向量的定义为。如何求平面的法向量？（二）典型题型探析题型 1：空间向量的坐标例 1、（1）已知两个非零向量a =（a1， a2 ，a3）， b =（b1，b2， b3），它们平行的充要条件是（）A. a ：| a |= b ：| b |B.a 1 b1=a2 b2=a3 b3C.a1 b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数 k，使 a =kb（ 2）已知向量 a =（ 2，4，x），b =（2，y，2），如| a |=6 ，a b ，就 x+y 的值是（ ）A. 3 或 1B.

34、3 或 1C. 3D.1（ 3）以下各组向量共面的是（ ）A. a =1 ，2， 3 ， b =3， 0， 2 ， c =4 ， 2， 5 B. a =1 ，0， 0 ， b =0， 1， 0 ， c =0 ， 0， 1 C. a =1 ，1， 0 ， b =1， 0， 1 ， c =0 ， 1， 1 D. a =1 ，1， 1 ， b =1， 1， 0 ， c =1 ， 0， 1解析：（1）D。点拨：由共线向量定线易知。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） A点拨：由题知2416x3644 y2x0x4,x y3 或y4,1.。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

35、总结（ 3） A点拨：由共面对量基本定理可得。点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情形。例 2、已知空间三点A（ 2，0，2），B（ 1，1，2），C（ 3，0， 4）。设 a = AB ， b = AC ，（1）求 a 和 b 的夹角。（2）如向量 k a +b 与 k a 2 b 相互垂直，求 k 的值.思维入门指导：此题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解： A 2，0，2 ， B（ 1，1， 2），C 3，0，4 ， a = AB ， b = AC ， a =1 ，1，0 ， b =（ 1，0，2）.可编辑资料 - - - 欢