导数在经济学中的应用.doc

-! 引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建立起来的。 设函数在点的某领域内有定义，若极限存在，则称在点处可导，并称该极限为函数在处的导数，记作。[1] 于是，导数的定义从数量关系上看，所反映的是函数的自变量的变化对相应的函数值变化快慢影响的程度，即变化率，也被称为瞬时变化率；对数学表达式而言，所表达的是函数增量和自变量增量之比的极限问题。[2] 2、 经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为，其中，为商品的价格，为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数与价格是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为： 则； 解得； 所以需求函数为。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用表示，其中，为商品的价格，为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为： 则； 得； 所以供给函数为为： 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成本可以分为固定成本和变动成本两部分，固定成本和可变成本是相对于某一个特定的过程而言的，并不是唯一确定的。固定成本是指在一定的时间内不会随着产量的变动而多支出费用，例如设备、厂房设施等的固定费用和其他管理费用等。可变成本是指当产品产量变动时随之变动的支出费用，如电力燃烧材料、原材料支出、税收等。一般来说，以货币形式计值得（总）成本是产量的函数，用，表示，称该公式为（总）成本函数。当产量时，对应的成本函数值就是成品的固定成本。在短期生产活动过程当中，固定成本是不变的，所以可变成本被看成是关于产量的函数，即（总）成本函数表示为；在长期生产过程中支出都是可变的，此时。 例3：假设某厂商的短期成本函数为,分别指出该短期成本函数中的可变成本部分与固定成本部分。 解：当时， 所以固定成本为44，可变成本部分为 2.4收入函数 在贸易活动过程当中，一定时期内销售该商品后所获得的收入总额即为该时期内的总收入，记为。而售出某商品所能获得的收入的多少则取决于该商品的销售数量和价格。所以，收入函数可以表示为，其中表示商品得销售价格，表示商品销售总量。 例4：由于橙子的批发价格过低，农户决定将橙子全部运往市场自行销售，一个星期内，以6元一斤的价格售出了全部的橙子，共计3000斤，求该农户这星期的收入为多少？ 解：（元） 所以该农户这星期收入18000元。 2.5利润函数 利润函数是指生产问题中的价格函数，也就是是生产中所获得的纯收入的数额，为收入总额与成本总额之间的差值，常用来表示，。 例5：某企业生产销售个单位的产品，总收入函数为，总成本函数，求利润函数、最大产出水平与最大利润。 解：利润函数 当时有最大值（解题过程要详细，须进一步完善） 所以利润函数为，最大产出水平为4，最大利润为43。 3、 导数在经济学中的应用 随着市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题已成为经济学的一个重要部分,用数学知识来解答经济活动中的一些现象对很多经营决策起到了非常重要的作用。导数是微积分中的一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率。[4]在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题、弹性问题和优化问题。 3.1边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率,它的提出不仅为人们作出决策提供了一个有用的工具，而且使得数学工具能应用于经济学,利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法。[5] 早在19世纪70年代就出现边际分析的身影，边际分析主要用于研究自变量的单位增加量对因变量产生的影响，偏重于自变量的最后一个单位增加量与因变量之间的数量关系的考察。在经济学中，把函数的导数称为的边际函数，在点的值称为在处的边际值。 3.1.1边际成本 边际成本的定义是指每增加一单位的产量随即产生的总成本增加量即称为边际成本，假设生产某种产品单位时所需要的总成本函数可导，则其边际成本定义为；边际成本是总成本函数关于产量的导数，其经济含义是：当产量为时，再生产一个单位（即）所增加的总成本,因此可以近似的记为。[6] 例6：若厂商要生产某种商品，生产件数为件时的总成本函数为（百元），求产量为20件时的边际成本。 解：边际成本函数为 （百元/件）=160（元/件） 它的经济意义是：在产量为20时的基础上再生产一个单位商品，总成本增加160元。 3.1.2边际收入 边际收入与边际成本类似，边际收入定义为，即边际收入是总收入函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为时，再销售一个单位（即）所增加的总收入。[6] 例7：某商店新进了一种商品，当该商品的销售量为件时收益函数为（元），求销售400件时的边际收益为多少？ 解：边际收入函数为（元/件） (元/件) 它的经济意义是：当该商品的销售量为400时，销售量若再增加一个单位，则收益可增加600元。 3.1.3边际利润 边际利润指的是销售该产品所获得的收入总额与相应的可变成本之间相差的数额，能够反映出当该产品的销售量增加或降低时企业增加或减少的收益额。与边际成本类似，边际利润定义为总利润函数关于销售量的导数，其经济含义是:当销售量为时，再销售一个单位（即）所增加的总利润。[7] 例8: 某工厂将要生产一种商品，该商品的产量与总利润之间的函数关系为：,求产量为20时的边际利润。 解：边际利润函数为 （元） 它的经济意义是：在每天生产20个单位的基础上，再多生产1个单位，总利润将增加50元。 3.2弹性分析 弹性问题是供求原理的深化。弹性概念描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度。对于任何存在函数关系的经济变量之间都可以建立二者之间的弹性关系或是进行弹性分析。假设与存在函数关系, 函数在点处可导，函数的相对该变量与自变量的相对改变量之比，当时的极限被称为函数在点处的相对变化率，也称为弹性函数。记为。[8] 3.2.1需求价格弹性 需求的价格弹性通常简称为需求弹性，需求弹性是用来表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。表示为：需求的价格弹性系数=-（需求量变动率/价格变动率），为方便起见，一般取绝对值。 需求价格的弧弹性表示某种商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格变动的反应程度。简单来说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。假定需求函数为，表示需求量的变动量、表示价格的变动量，以表示需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性的公式为:。[9] 例9：厂商生产某种产品，假设定价为5元/件时市场需求量为400件，定价为4元/件时市场需求量为500件，求该产品的价格弧弹性。 1　 2　 由计算可知，两种计算方式所得的结果不同。这是由于两种计算所代表不同有理量（涨价与降价），所以产生的需求价格弹性系数就不同。 为了避免上述算法带来的结果不同，一般采用中点公式来计算。 公式表示为：。 当需求曲线上两点之间的变化量趋于无穷小时，需求的价格弹性要用点弹性来表示。也就是说，她表示需求曲线上某一点上的需求量变动对于价格变动的反应程度，则需求的价格点弹性公式可表示为:。 在现实生活中常常有这样的一些情况出现:有的商店将商品的价格提高了之后所获得的收入比提价前更多了，而有的商店将提高价格之后所获得的收入不但没有增加反而还减少了。这可用商品的需求价格弹性大小和销售收入两者之间的相互关系来进行解释。 例10：假设某商店新到一种商品，该商品的需求函数为。(1)确定该商品的需求弹性函数；（2）当时需求弹性是多少？（3）当时，如果价格上涨，那么销售该商品总收益是增加还是减少？ 解：（1）需求弹性函数为 （2） （3） 因为，所以可以知道该商品的收益函数是递增的，即价格上涨，销售该商品所获得总收益将增加。 3.2.2供给价格弹性 供给的价格弹性简称为供给弹性，供给弹性是表示在一定时期内一种商品的供应量变动对于该商品的价格变动的反应程度，是商品的供应量变动率与价格变动率之比。假设供给函数为，以表示供给的价格弹性系数，则供给的价格弧弹性的公式为：，供给的价格点弹性的公式为：。 供给价格弹性的情况与需求价格弹性情况类似，在此就不再赘述了。 3.2.3理论运用 1) 容易腐坏的商品的售卖该如何定价才合理？ 答：新鲜容易腐坏的商品的需求价格弹性比较大，应该采取低差率的定价策略能加快售卖。 2) OPEC组织为何要对石油实施限产策略？ 答：石油生产大国的限产行为在国际市场中经常能看到。第一，石油属于稀缺性资源，它们的供给弹性往往趋于零，价格放开时，增减价格无法刺激供给量的大幅度增减；第二，为了抵御通货膨胀的损失，OPEC组织常常联手限产以形成供不应求的势态，达到高价销售的目的，维护生产国的利益；第三，在长时期内，作为生产方的非OPEC组织会为了能增加产量而改进石油生产与提炼技术，作为需求方的消费者会寻找替代产品，OPEC组织限产引发提价引发收益增加的目标会大打折扣。 3) 中国政府为什么要对农产品实施价格支持？ 答：第一，几乎所有的农产品都是生活必需品，需求弹性往往都小于1，价格的涨跌对需求的影响不大；第二，农业技术进步造成农产品的产量与市场供给量大幅度的增加，供给价格反而下降；第三，在中国，农场品一般是个体组织生产的，农产品市场几乎是完全竞争市场，单个农户无法决定市场价格，只能被动接受，政府如果不出面保护，容易形成“谷贱伤农”的现象，农民就会离地而去。 3.3优化分析 从古至今，企业的追求利润最大化的目标重来不曾动摇。一个企业要想在这个以竞争性生产为原则的经济大环境中生存和发展只有以利润最大化为目标才行，否则最终逃不过因亏损过重而被淘汰的结果。因此，每一个参与竞争生产的企业无一不以利润最大化为基本准则。那么，企业如何才能实现利润最大化的目标呢？优化分析不仅能够帮助企业管理者寻求企业收益的最大化，并尽可能降低生产的成本支出和管理费用，对企业管理者来说意义十分深远。优化分析使用导数和线性规划等数学分析工具来探求如何才能使经济活动效果达到最好或者代价最小，为企业管理者的决策提供精确的依据。经济学中的优化问题有很多，如成本最小化、利润最大化、贮存最优化、资源配置最佳化以及经济效率最大化等等。 企业的利润最大化原则就是边际收益等于边际成本，如果边际收益大于边际成本，即每增加一单位产量所增加的收益大于所增加的成本，企业会增加产量以增加利润；如果边际收益小于边际成本，即每增加一单位产量所增加的收益小于所增加的成本，企业会减少产量以减少亏损。0因此，最大利润一定处于边际收益与边际成本相等的点上,即。 边际收益与边际成本相等的利润最大化原则也可以用数学来证明。设为利润，为厂商产量，为厂商总收益，为厂商总成本，即：,利润最大化的必要条件是对的一阶导数为零，即：,利润最大化的充分条件还要求的二阶导数为负数，它表示，利润最大化要求边际成本函数的斜率要大于边际收益函数的斜率，即：，其中是边际收益函数的斜率，是边际成本的斜率。即可得出利润最大化的原则是边际收益等于边际成本。 例11：已知某厂商商品的需求函数,总成本函数为：。求（1）利润最大时的产量和价格是多少？（2）最大利润是多少？ 解：（1）由可以得出 则 由 得出 令，得,求出 将代入，得 因此利润最大化时产量的价格分别是1500和105。 （2） 最大利润,将、的值代入上式得 4、结语 综上所述,对企业经营者来说,对经济环节进行定量分析是十分有必要的。将导数作为分析工具，可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角。通过对实际问题进行边际分析、弹性分析和优化分析，衡量出如何确定最优价格，从而获得最大利润，为企业经营者提供精确的数值信息，帮助其作出科学有效的决策，以提高企业的科学管理水平。 参考文献 [1] 华东师范大学数学系编；数学分析（第四版）；高等教育出版社.1998. [2] 周晓晖.浅论导数在经济学中的应用.科技信息.2008.09:268-269. [3] 高鸿业.经济学基础；中国人民大学出版社 [4] 陈昆.导数在经济学中“边际”和“弹性”方面的应用.考试周刊.2009.18:38-39 [5] 丁瑶；(格式不一致,对照样本修改)导数的经济意义及教学探讨.重庆电子工程职业学院学报.2010.19（4）:148-150 [6] 臧忠卿.导数在经济分析中的应用.商场现代化.2006.30:42 [7] 唐玉霞；论导数在经济分析中的应用.科教文汇.2009.19:220 [8] 刘云，王阳；经济分析中导数的应用探讨.科技创新导报.2008.04:96-97 [9] 高春涛.浅议需求价格弹性.经济研究导刊.2010.20:08-09 [10]刘荣花;杨春艳;孙艳伟.导数理论在经济分析中的应用.高师理科学刊.2010.30（4）:34-36