华中科技大学复变函数与积分变换练习进步册规范标准答案.doc

*- 练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）； 解： = （2） 解： 2．将下列复数写成三角表示式。 1） 解： （2） 解： 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1） 解： （2） 解： z3 z2 z1+z2 0 4．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。 证：因所以都在圆周又因=0 则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的张角是，同理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与，与之间的张角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。 5．解方程 6．试证：当时，则。 证： 7．设是Z的辐角），求证 证： 则 当时 故 当时，同理可证。 *8 .思考题： （1）复数为什么不能比较大小？ 答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。 （2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，是模为零，辐角无定义的复数。 练 习 二 0 i y 1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？ （1） 解：设 则 则点Z的轨迹为： （2），其中为实数常数； 解：设 则： y 则： 0 b 若： 则轨迹为： 若： 则 轨迹： 若： 则无意义 （3），其中为复数为实常数。 解：由题设可知： 即： 若：，则Z的轨迹为一点-， 若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为 若：，无意义 0 y (1,1) (-1,-4) 2．用复参数方程表示曲线，连接与直线段。 解： 则 3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。 0 y （1） 解：由，得 又，得 有界，单连域 0 x y -1 1 （2） 解：令 由 即： 无界，单连域 y （3） 3/5 x 解：令 则： 无界，多连域 v 4．对于函数，描出当在区域内变化时，的变化范围。 解：令 则 0 u 则 的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴 5.试证不存在。 证：= 令 则：上述极限为不确定，因而极限不存在。 *6.思考题 （1）怎样理解复变函数？ 答：设就是 即 因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。 （2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关系？ 答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。 练 习 三 1．用导数定义，求的导数。 解： 当时，导数不存在， 当时，导数为0。 2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ （1） 解： 当且仅当时， 满足条件，故当时可导，但在复平面不解析。 （2） 解：令 则 因在复平面上处处满足条件，且偏导数连续，故可导且解析。 3．设为解析函数，试确定的值。 解：由条件可知： 所以 又 所以 即 4.设在区域内解析，试证明在内下列条件是彼此等价的。 （1）=常数； （2）； （3）常数 （2）常数； （5）解析； （6）常数。 证:由于在且域内解析，则可得方程成立，即 且 1）→2）由则在内成立，故（2）显然成立， 2）→3）由是常数 即 常数 3）→4） 常数 由条件 是常数 常数 4）→5）若因在内解析 即 一阶偏导连续且满足条件在内解析 5）→6） 因解析，则由条件 ， 对在内解析， 为常数 6）→1） 常数=常数，令 分别对求偏导数得 若 则，因而得证 若，则，故常数，由条件为常数 常数 *5.思考题： （1）复变函数在一点可导与在解析有什么区别？ 答：在解析则必在可导，反之不对。这是因为在解析，不但要求在可导，而且要求在的某个邻域内可导，因此，在解析比在可导的要求高得多，如在=0处可导，但在处不解析。 （2）函数在区域D内解析与在区域D内可导有无区别？ 答：无，（两者等价）。 （3）用条件判断解析时应注意些什么？ 答：是否可微。 （4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。 答：一是定义。 二是充要条件。 三是可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数 练 习 四 1．由下列条件求解析函数： （1） 解：由解析可知： 而 则 所以 由可知 （2） 解：因 由解析 可知： 即 2．设，求的值使v为调和函数，并求出解析函数。 解：要使为调和函数，有：，即： 时，为调和函数，要使解析，则 即： 3．如果为解析函数，试证是的共轭调和函数。 证：因解析，有： 所以，均为调和函数， 且亦为调和函数 故是v的共轭调和函数 4．如果是一解函数，试证：也是解析函数。 证：因解析，则 且均可微，从而也可微。 而 可知： 即满足条件 也是解析函数。 5．试解方程： （1） 解： （2） 解：由题设可知： 6．求下列各式的值： （1） 解： （2） 解： （3） 解： *7.思考题 （1）为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？ 答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当取实数时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变，但不能保持所有的性质不变。 复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数，一般没有。而复变指数函数的周期性，仅当周期是复数（）时才显现出来。所谓实变指数函数没有周期，是指其没有实的周期。 （2）实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？ 答：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。 最大的区别是，实变三角函数中，正弦函数与余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中，与不再成立。因为 当时，。故 （3）怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同？并理解复变对数函数的运算性质。 答：因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数， 的主值即，是单值函数，当，而时，就与高等数学中的值一致了。 在复变对数函数的运算性质中，注意到等式 要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的，但在复变指数函数中，例如， 而 ， 应理解为：任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的（即不能只考虑某一单值支）。后一式也同样理解，但对等式 和 它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对，取时，设，得而从，得 两者的实部是相同的，但虚部的可取值不完全相同。 （4）调和函数与解析函数有什么关系？ 答：如果是区域内的解析函数，则它的实部和虚部的二阶偏导数必连续，从而满足拉普拉斯方程，所以是调和函数。 由于解析函数的导函数仍是解析函数，所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是的相应阶导数的实部和虚部，所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出：、的任意阶偏导数仍是调和函数。 （5）若是的共轭调和函数，可以说是的共轭调和函数吗？ 答：不行，两者的地位不能颠倒。因为，若是的共轭调和函数，则应有 而是的共轭调和函数，要求两者一般不能同时成立，所能推知的是是的共轭调和函数。 练 习 五 1．计算积分，积分路径：自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i。 0 (1,i) 解： 2．计算积分的值，其中C为（1）（2） 解：令 则 当时，为 当时，为 C1 D C2 3．求积分的值，其中C为由正向圆周与负向圆周所组成。 解： y 2 1 4．计算，其中C为圆周 解： 5．计算下列积分值： （1） 解： （2） 解： 6．当积分路径是自沿虚轴到i，利用积分性质证明： 证： *7.思考题 （1）在积分的定义中为什么要强调积分“沿曲线由到的积分”？它与“沿曲线由到的积分”有什么区别？ 答：在定积分中已有，即积分是与区间的方向有关的，这里在上的积分也与的方向有关。这从积分和式中的因子 可直接看出，若改变的方向，即是沿曲线由到积分，则积分与原积分反号： 其中表示的反向曲线。 （2）复函数的积分与实一元函数定积分是否一致？ 答：若是实轴上的区间，由定义知 即为一个实函数的积分，如果是实值的，则为一元实函数的定积分，因而这样定义复变函数积分是合理的，而且可以把高等数学中的一元实函数的定积分当作复积分的特例看待。 应当注意的是，一般不能把起点为，终点为的函数的积分记作，因为这是一个线积分，要受积分路线的限制，必须记作 （3）应用柯西——古萨定理应注意些什么？ 答：必须注意定理的条件“单连域”，被积函数虽然在内处处解析，但只要不是单连的，定理的结论就不成立。例如在圆环域：内解析，为域内以原点为中心的正向圆周，但，就是因为不满足“单连域”这个条件。 还要注意定理不能反过来用，即不能因为有，而说在内处处解析，例如,但在内并不处处解析。 练 习 六 1．计算下列积分 （1） 解：为奇点： （2） 解： （3） 解：=0 （4），其中为负向。 解： 或 2．若是区域内的非常数解析函数，且在内无零点，则不能在内取到它的最小模。 证：设， 因为非常数解析函数，且 则为非常数解析函数 所以在内不能取得最大模 即不能在内取得最小模 3.设在上解析，且在上有试证。 证：因 （在上） 所以 上 4．设与在区域内处处解析，为内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于，如果=在上所有点处成立，试证在内所有的点处=也成立。 证：设，因均在内解析，所以在内解析。 在上，，有： 所以 由的任意性可知：在内 *5．思考题 （1）复合闭路定理在积分计算中有什么用处？要注意什么问题？ 答：由复合闭路定理，可以把沿区域外边界线的回路积分转化为沿区域内边界线的积分，从而便于计算。特别地，如果积分回路的内域中含有被积函数的有限个奇点，我们就可以挖去包含这些点的足够小的圆域（包括边界），函数在剩下的复连域解析，由复合闭路定理，就可以将大回路的积分换成分别沿这些小圆周的回路积分。 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法。 使用复合闭路定理时，要注意曲线的方向，边界曲线由所围， ，即，这时取逆时针方向，而取顺时针方向，而公式 中都取逆时针方向。 （2）柯西积分公式成立的条件是什么？柯西积分公式说明了什么问题？ 答：柯西积分公式是建立在柯西积分定理基础上的，以柯西定理成立为前提条件，因此柯西定理的条件也是柯西积分公式成立的条件。即函数在以为边界的闭区域上解析，当然也可以放宽到在内解析，在上连续。 柯西积分公式反映了解析函数值之间很强的内在联系，在区域内点的值，可以用在边界上的值通过积分来表达。这就是说，函数在区域中任一点的值，完全由它在区域边界上的值所确定，这是实变量的可微函数所不具有的。 （3）解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同？ 答：高阶导数公式说明，函数只要在闭区域中处处可微，它就一定处处无限次可微，并且它的各阶导数均为闭区域上的解析函数。这一点与实变量函数有本质的区别。我们知道，对于实函数而言，即使它在某一区间上一次可导，导数不一定仍然可导，甚至可能是不连续的。 练 习 七 1．序列是否有极限？若有，求出其极限。 解：因 故级数收敛，则其通项 即序列有极限，亦即 2.级数是否收敛？是否绝对收敛？ 解：因收敛，因而绝对收敛，故原级数收敛。 3．试确定下列幂级数的收敛半径。 （1） 解： （2） 解： 当时 当时 当时 4．将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域。 （1） 解： R=1，收敛域为 （2） 解：，令，则 对此求导 故 （3） 解：= 5．讨论级数的收敛性。 解：级数的部分和为 当时 ,级数收敛。 当时 ,不存在，级数发散。 当时 ,级数收敛。 当时 ,不存在，级数发散。 6．证明在内解析。 证：当时，显然，令，则 ，此级数在是收敛的。 故在是解析的，此即，亦即在 内，解析。 *7.思考题 （1）如何判定级数的绝对收敛性与收敛性？ 答：由于级数的各项都为非负实数，故级数的绝对收敛性可依正项级数的定理判定之。又由于级数可表示为，其中及均为数项级数，故级数的收敛性可依赖于数项级数的定理判定之。 （2）判定级数收敛的必要条件是什么？绝对收敛的充要条件又是什么？ 答：如同实级数一样，收敛的必要条件是而绝对收敛的充要条件是与都是绝对收敛级数。 （3）为什么说函数能展为幂级数与函数为解析函数是等价的？ 答：因为在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数。同时，在某点邻域内解析的函数在其邻域内必然可以展成幂级数。 练 习 八 1．求下列函数在指定点处的Taylor展式。 （1） 解：只有一个奇点，其收敛半径为 则 ， （2） 解： 或： 故 2．将下列各函数在指定圆环域内展为Laurent级数。 （1） 解：= （2） 解：奇点为，故可在中展开为洛朗级数。 = 3．将在的去心邻域内展为级数。 解：= 所以 4．证明在以z的各幂表出的Lanrent展开式中的各系数为： 提示：令C为单位圆，在C上取积分变量，则。 证明：在上解析，令 在c上取则 而 *5.思考题 （1）实变函数中函数展成Taylor级数和复变量函数中函数展开为Taylor级数的条件有什么不同？ 答：在实变量函数的情形下，即使的各阶导数都存在，欲把函数展开成幂级数也未必可能。这是因为在实变量函数里，函数展开成Taylor级数的条件既要求具有各阶导函数，还要求所展成的Taylor级数的余项趋向于零，对于一个具体的函数来说，要证明其各阶导数都存在，已不容易，要证明其级数的余项趋近于零就更困难了。而对复变函数来讲，只要函数在的邻域内处处解析，不仅有一阶导数，且有各阶导数。而实函数的可导性不能保证导数的连续性，因而不能保证高阶导数的存在。 （2）确定的Taylor级数的收敛半径时，应注意什么？奇点为什么在收敛圆周上？ 答：一般地，在解析区域内一点的Taylor级数的收敛半径，等于到的边界上各点的最短距离。但在内有奇点时，是的距最近的一个奇点。因此，在确定的Taylor级数的收敛半径时，要确定在内有无奇点，并找出距距离最近的一个奇点。 奇点总是落在收敛圆周上，因为若在收敛圆内，则在圆内出现的不解析点；若在圆外，则收敛圆还可扩大。 （3）Laurent级数与Taylor级数有何关系？ 答：Laurent级数与Taylor级数的关系是：当已给函数在点处解析时，中心在，半径等于由到函数的最近奇点的距离的那个圆域可以看成圆环域的特殊情形。在其中就可以作出罗伦级数展开式，根据柯西积分定理，这个展式的所有系数都等于零。在此情形下，计算罗伦级数的系数公式与Taylor级数的系数公式相同，所以罗伦级数就转化为Taylor级数。因此，Taylor级数是罗伦级数的特殊情形。 练 习 九 1．找出下列各函数的所有零点，并指明其阶数。 （1） 解：，所以 为一阶零点 （2） 解：（法一）令 则 为4阶零点 为一阶零点。 （法二） 令 为4阶零点。 为1阶零点。 （3），问是的几阶零点。 解： 是的15阶零点。 2．下列各函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）。 （1） 解：= 为可去奇点，是简单极点。 （2） 解：=，令，得， 而 为可去奇点 当时， 而 为一阶极点 （3） 解： ， 为本性奇点 （4） 解：， 时为1阶极点。 （5） 解：为奇点 为二阶极点 （6） 解：为奇点 而 为三阶极点 为简单极点 3．若与是以为零点的两个不恒为零的解析函数，则 （或两端均为）。 证明：且≡0，是解析函数 则 其中为解析函数 且各为某一正整数 （1） (2) (3) 4．问是否为下列各函数的孤立奇点？ （1） 解：令 在除的根的内解析，而根为有限个。 所以 是的孤立奇点， （2） 解：令 在即上不解析 不是的孤立奇点。 5．思考题 （1）解析函数的零点、极点、多项式的根及使有理函数的分母为零的点有什么关系？ 答：若为的级零点，则 它是多项式的重根的推广。因为当多项式展为Taylor级数时，只有有限多项，而现在有无穷多项。 若为的级极点，则 它是有理函数的分母在有重零点的推广。当有理函数在展成部分分式时也有以上形式。 （2）怎样确定极点的级？ 答：1）若，而在内解析且，则是的级极点。或，则是的级极点。 2）若是的级零点，是的级零点。则 当时，为的级零点。 当时，为的级极点。 3）若是的级零点，则是的级极点。 （3）怎样来确定点函数的性态？ 答：若函数在点的去心邻域内解析，当点为的孤立奇点时，我们可以作变换，则变换把扩充复平面的点映射成平面上的点，扩充复平面上点的去心邻域变为平面上原点的去心邻域。而。从而把在内对的研究，化为在内对的研究，因为在 内解析，所以在内解析，为孤立奇点。 我们规定，如果是可去奇点、级极点或本性奇点，则称是可去奇点、级极点或本性奇点。