电荷和静电场课后习题答案.pdf

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1、第十章第十章电荷和静电场电荷和静电场10-110-1 当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。试解释之。当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。试解释之。答：答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。10-210-2 当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以

2、断定软木小球带有正电荷？答：答：不能。软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。可以10-310-3 两个相同的小球质量都是两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷并带有等量同号电荷q，各用长为各用长为l的丝线悬挂于同一点。的丝线悬挂于同一点。由于电荷的由于电荷的斥力作用，使小球处于题图所示的位置。如果斥力作用，使小球处于题图所示的位置。如果q角很小，试证明两个小球的间距角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为：可近似地表示为：q lx 40mg213q2证：证：由库仑定律得 ：F 40 x21q2而：mg tan f mg tan240 x11x角很小tan sin2lq lx1q1

3、q l3故：mg即得：x x 证毕证毕4mg2l40 x220mg010-410-4 在上题中，在上题中， 如果如果 l = 120 cml = 120 cm，m = kgm = kg，x = cmx = cm，问每个小球所带的电量，问每个小球所带的电量 q q 为多大？为多大？1212222130.0109.85.010 20mgx 解：解：由上题得：q l21.28.99109323 2.4108c10-510-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半11

4、2731径是径是r0 5.2910m。质子的质量。质子的质量M 1.6710kg，电子的质量，电子的质量m 9.1110kg，它们的电量，它们的电量为为e 1.601019c。(1)(1)求电子所受的库仑力；求电子所受的库仑力；(2)(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)(3)求电子绕核运动的速率。求电子绕核运动的速率。8.991.62e9382289 108.2210N解：解：Fe 2 8.991022115.2940r05.2910121.6010192e2291928.9910 1.6108.991.62Fe40r010938

5、113127113127Mm6.679.111.676.67109.11101.6710FmG2r01 2.261039mv2Fe F向r08.225.29Fer08.221085.291011106 2.18106m sv 31319.1110m9.111010-610-6 边长为边长为 a a 的立方体，每一个顶角上放一个电荷的立方体，每一个顶角上放一个电荷 q q。解：解： 由对称性可知，任一顶角的电荷所受合力的大小是相等的。如图示，求其中任一顶点A 上电荷所受的力。建立直角坐标系q21Fx240a40111q22asin45 2o140q22acos45 2o140q23a213q22

6、111 2140a2233q2189 2 2 3240a181.90 q2240a1.90 q2Fy Fz Fx240aq26 33 2 20.26q2F 3Fx2240a60a1与 x 轴夹角为cos111与 y 轴夹角为cos与 z 轴夹角为cos 333即：合力的方向为立方体的对角先方向=5444=10-710-7 计算一个直径为计算一个直径为 cm cm 的铜球所包含的正电荷电量。的铜球所包含的正电荷电量。144 d 13解：解：V R3d3m v d633261d3mQ ne N029e 66.021023291.61019m063.533.148.961031.5610210336

7、63.536.021023291.61019 7.83105c（注：铜的密度 8.9610kgm2， 原子序数为 29，原子量m0 63.5）10-810-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度 E，我，我们就把一个带正电的试探电荷们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点，引入该点， 测定测定 F/q0F/q0。 问问F等于还是大于该点的电场强度等于还是大于该点的电场强度 E E？q0是小于、是小于、答：答：若考虑电荷在电场力的作用下会在小球内产生移动（如图所示）同性相斥

8、，rrrrFF则由于试探电荷q0的引入， 则该点的电场强度E比要大。 即E ，q0q0在没有q0引入时，小球内的电荷分布是均匀的。10-910-9 根据点电荷的电场强度公式根据点电荷的电场强度公式E q0q40r2当所考查的点到该点电荷的距离当所考查的点到该点电荷的距离 r r 接近零时，接近零时， 则电场强度趋则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？答：答：这里是将电荷当作点电荷来处理，而实际情况当r 接近零时电荷就不能认为是点电荷了。因此此时公式E q40r2不成立。10-1010-10 离点电荷离点电荷 50 cm50 cm

9、 处的电场强度的大小为处的电场强度的大小为2.0N c。求此点电荷的电量。求此点电荷的电量。解：解：E 1q40r20.50q 40r2E 10-1110-11 有两个点电荷，电量分别为有两个点电荷，电量分别为2.05.61011c98.99101010 C C 和和7 721010 C C，相距，相距 15 cm15 cm。求：。求：8 8(1)(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)(2)作用在每个电荷上的力作用在每个电荷上的力781已知已知：点电荷q1 5.010 c;q2 2.810 c;r 15cm 1.510 m求求：E1;E2;F1

10、;F2解：解：E1q140rq240r225.010178.991091.5101.51011219.98104NC（方向沿两电荷联线向外）E22.81088.9910921.12104NC（同上）8443F21 F12 q2E1 2.81019.9810 56.9410N 5.6910N（方向沿两电荷联线相互排斥）10-1210-12 求由相距求由相距l l的的q q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)(1)轴的延长线上距轴心为轴的延长线上距轴心为r r处，并且处，并且r rl l；(2)(2)轴的中垂

11、面上距轴心为轴的中垂面上距轴心为r r处，并且处，并且r rl l。解： （1）E E1E2q40r l22q40r l22q2rl40r l2r l222r ? lql40r3rE r2p40r3（2）如图示：E 2E1cos 2ql2322 r2l222l40r 2l2240r 2ql rrrr ? l, p qlE rp40r310-1310-13 有一均匀带电的细棒，长度为有一均匀带电的细棒，长度为L L，所带总电量为，所带总电量为q q。求：。求：(1)(1)细棒延长线上到棒中心的距离为细棒延长线上到棒中心的距离为a a处的电场强度，并且处的电场强度，并且a aL L；(2)(2)细

12、棒中垂线上到棒中心的距离为细棒中垂线上到棒中心的距离为a a处的电场强度，并且处的电场强度，并且a aL L。解：解： （1）取细棒的一线元dx，则dx中的电荷为qdx。可视为点电荷lqdxldE 方向沿轴线方向240a xl2l2故：E q2dxld a xql2l2240l2a x40a xl12|l40la x2q1140l alal22 qql40l(a2l)42u rE qll40l(a )422riqqdxdxll（2）dEdE40(a2 x2)40(a2 x2)qdxldE 2dEsin 22240(a x )1a2 x122E l2dE0l20q2adxl2a40(a2 x )

13、322ql40l20dx(a2 x )3222qlq a2alxl2l240a2a2 x240a2a2 x2q40a a2l42rE ql40aa24212rj10-1410-14 一个半径为一个半径为R R的圆环均匀带电，的圆环均匀带电，线电荷密度为线电荷密度为一点的电场强度。一点的电场强度。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a a的的解：解：如图：圆环上一线元Rd上产生的电场强度为：dERd40(a2 R2)与其对称的一线元Rd产生的电场强度为 ：dERd40(a R )22，两个电场强度的合成为：dE 2dEsin2Rda12222240(a R

14、 )(a R )3E 2Rd40(a R )122202Ra40(a R )rk2232Ra20(a R )2232故：E 2Ra40(a2 R2)3210-1510-15 一个半径为一个半径为 R R 的圆盘均匀带电，的圆盘均匀带电， 面电荷密度为面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的的P P 点电场强度。点电场强度。解：解：由上题知，圆环上电场强度E环40(a2 R2)32112Rark2RadRrk32240(a R )2ru rrR12RadR12akRE盘k 33042222240(a R )20(a R )ra6a2k1122

15、402a R a2 R201rk10-1610-16 一个半径为一个半径为 R R 的半球面均匀带电，面电荷密度为的半球面均匀带电，面电荷密度为 s s。求球心的电场强度。求球心的电场强度。解：解：由题 9-14 知：圆环的电场强度为：E环40(r2 z2)3212rzri2R2 z2gzRdrgi40R31r2sincosdi40u rrr1r2E半球面isindicos2i0440240010-1710-17 回答下列问题回答下列问题: :(1)(1)处于高斯面内的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都有贡献？是否只要电量相同，贡献就相处于高斯面内的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否

16、都有贡献？是否只要电量相同，贡献就相等？等？(2)(2)处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都无贡献？处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都无贡献？(3)(3)假设一个点电荷正好处于高斯面上，那么这个点电荷对该高斯面的电通量是否有贡献？假设一个点电荷正好处于高斯面上，那么这个点电荷对该高斯面的电通量是否有贡献？答：答： （1）是的。高斯面内的任何位置上电荷对高斯面的电通量都有贡献。只要电量相同，电性相同，贡献就相同。（2）处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量无贡献。（3）点电荷正好处于高斯面上，则这个点电荷对高斯面的电通量是有贡献的。10-1810-

17、18 在高斯定理在高斯定理 su rrqEgds 中，高斯面上的中，高斯面上的 E 是否完全由式中的是否完全由式中的 q q 所产生？如果所产生？如果 q = 0q = 0，是否，是否0必定有必定有E 0？反之，如果在高斯面上？反之，如果在高斯面上 E 处处为零，是否必定有处处为零，是否必定有q 0？ru rru ru rrqu r答答: :否，高斯面上的E不完全由式 sEgds 0中的q所产生.q 0不一定E 0（只需E与ds垂直，u r即可） 。而高斯面上的E处处为零，则必有：q 0。10-1910-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面如果把电场中的所有电荷分为两类，一类

18、是处于高斯面 S S 内的电荷，其量用内的电荷，其量用 q q 表示，它们共同在高表示，它们共同在高uu r斯面上产生的电场强度为斯面上产生的电场强度为E，另一类是处于高斯面，另一类是处于高斯面 S S 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为uu ru ruu ruu rE，显然高斯面上任一点的电场强度，显然高斯面上任一点的电场强度E E E试证明：试证明：uu rrqEgds (1) s0uu rr；(2) Egds 0su rr解：解：高斯面的电通量可以表示为：e乙Egds ssuu ruu rruu rrE E gds 乙Egds ssu

19、u rrEgds显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以00，而与S以外的电荷无关。”可见，高斯面S以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为：uu rr Egds 0 (1)suu rr所以，关系式 Egds 0的成立是高斯定理的直接结果。suu rru ruu ruu r因为：E E E于是可以把高斯定理写为：乙Egdsssuu rrqEgds 0将式(1)代入上式，即得： suu rrqEgds (2)010-2010-20 一个半径为一个

20、半径为 R R 的球面均匀带电，面电荷密度为的球面均匀带电，面电荷密度为 s s。求球面内、外任意一点的电场强度。求球面内、外任意一点的电场强度。解: 如图示.（1） 取高斯面S1 (r R) (半球为r)由高斯定理:2 s1u r rEds 04r 0故E 0Eg（2） 取高斯面为S2 (r R)由高斯定理: s2u r rqEds 0u r4R2R2E E的方向沿半径向外.(垂直于球面)224r00r9-219-21 一个半径为一个半径为 R R 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。解

21、解: :据题意.电场分布具有轴对称,以对称轴为 x 轴(如图示)取高斯面半径为 r.轴为 x 轴的柱面S1 (柱长为l) (r R)则，由高斯定理: s1u r rqgr2lEds 00侧u r ru r ru r rEdsEdsEds Eg2rg l00底顶r2lrE内方向垂直于 x 轴沿径向向外.2rg l020当 rR 时.取高斯面为s2(如图)则，由高斯面定理: s1u r ru r ru r ru r rqgR2lEdsEdsEds Eg2rg l00Eds 00侧底顶22R lRE外方向垂直 x 轴沿径向向外.2rg l020r10-2210-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，

22、面电荷密度为两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 s，两板相距s，两板相距 d d。当。当 d d 比平板自身线度小得多比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)(1)求两板之间的电场强度；求两板之间的电场强度；(2)(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.510 s的时间撞击在对面的正电板上，若的时间撞击在对面的正电板上，若8d 2.0cm，求电子撞击正电板的速率。，求电子撞击正电板的

23、速率。解解: : （1） 如图示:据题意,Q d 比平板的线度小得多.电场强度的方向垂直于平行平板,取如图示的柱面为高斯面(半径为 r)则，由高斯定理: 顶s1u rrgr2Egds 0E侧u v uu vu v uu vu v uu vEdsEdsEds 2r2E底6方向如图示,由上指向下.206方向由上指向下206方向由上指向下同理EE里 E+ E-0在平板以外,取高斯面包括两个平板(仍为柱面).则，由高斯定理： s2u v uu vEds 0 E外 0（2） 电子在电场中受电场力作用加速：d v0vtt22d22.010261 2.710 msvtt1.510810-2310-23 电势

24、为零的地方，电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电势是否一定为零？分别举例说电势是否一定为零？分别举例说明之。明之。答：答：电势为零的地方，电场强度不一定为零电场强度为零的地方，电势也不一定为零如平行板电容器，当一个板接地时这个板的电势为零但此时的电场强度不为零10-2410-24 一个半径为一个半径为 R R 的球体均匀带电，电量为的球体均匀带电，电量为 q q，求空间各点的电势。，求空间各点的电势。解：解：3r0E=3R230r当 rR 时：V r R方向沿往向向外r RrR3R31R3q；dr 230r30r r30r40r

25、3RR312Rrdr dr r R3r2r303R30002当 rR 时：dV 140(r Rcos)2 R2sin2122(Rsin)RdR2sind20(r 2rRcos R )2212V R2sind20(r22rRcos R2)120R2d cos 102220(r 2rRcos R )21R2R24R2222(r 2rRcos R ) 0r02rR04r0Q40r当 rR 时：E V r40ru v当 rR 时：E V 010-2910-29 什么是导体的静电平衡？金属导体处于静电平衡时具有哪些性质？什么是导体的静电平衡？金属导体处于静电平衡时具有哪些性质？答：答： 在金属导体中，

26、自由电子没有定向运动的状态称为静电平衡。 金属导体处于静电平衡时具有以下性质：（1）整个导体是等势体，导体的表面是等势面。（2）导体表面附近的电场强度处处与表面垂直。（3）导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都必须在导体表面上。10-3010-30 如题图所示，金属球如题图所示，金属球A A 和金属球壳和金属球壳 B B 同心放置，它们原先都不带电。设球同心放置，它们原先都不带电。设球A A 的半径为的半径为R R0 0，球壳，球壳B B 的的内、外半径分别为内、外半径分别为R R1 1和和R R2 2。求在下列情况下。求在下列情况下 A A、B B 的电势差：的电势差：(1)(1)使使 B B

27、 带带+ +q q； (2) (2)使使 A A 带带+ +q q；(3)(3)使使 A A 带带+ +q q，使，使 B B 带带q q； (4) (4)使使 A A 带带q q，将，将 B B 的外表面接地。的外表面接地。解：解： （1）B 带+q则导体 B 是一个等势体内部的电场强度为零。UAB 0（2）A 带+q 则导体 B 产生静电感应静电平衡时：VA140(qqq1q(q)1q);VBR0R1R240R140R2q40(11)R0R1UAB（3）A 带+q B 带q B 球壳电荷全部部分布在内表面，则VA140(qq1q(q);VBR0R140R1q40(11)R0R1UAB（4）

28、A 带q B 的外表面接地即：VB 0VA q1q40R040R1q1qq11 ()40R040R140R0R111UAB 10-3110-31 两平行的金属平板两平行的金属平板a和和b，相距，相距d 5.0 mm，两板面积都是，两板面积都是S 150 cm，带有等量异号电荷，带有等量异号电荷2Q 2.66108C，正极板，正极板a接地，如图所示。忽略边缘效应，问：接地，如图所示。忽略边缘效应，问：(1)(1)b板的电势为多大？板的电势为多大？(2)(2)在在a、b之间且距之间且距a板板 mm mm 处的电势为多大？处的电势为多大？已知：已知：d 5.0 mm 0.510 mS 150 cm

29、1.5010 mQ 2.661083222CVa 0求：求：VbVp（如图示）Q2.6610851解：解：E 2.0010 V m12200S8.85101.5010Qd2.661085.01033Uab1.0010 V1220S8.85101.5010QUabVaVb VbVaUab 01000 1000VUapVaVbpau rr uEgdl Eap 2.001051.00103 200V VpVaUap 200V10-3210-32 三块相互平行的金属平板三块相互平行的金属平板 a a、b b 和和 c c，面积都是，面积都是200cm，a a、b b 相距相距 mm mm，a a、c

30、c 相距相距 mm mm，b b、c c 两两板都接地，如图所示。若使板都接地，如图所示。若使 a a 板带正电，电量为板带正电，电量为3.010 C，略去边缘效应，求：，略去边缘效应，求：72(1)(1) b b、c c 两板上感应电荷的电量；两板上感应电荷的电量；(2)(2) a a 板的电势。板的电势。3222已知：已知：S 200cm 2.0010 mdab 4.0mm 4.010 m37dac 2.010 mVbVc 0q 3.010 C求：求：Qb、Qc、Va解：解：a板上电量q分布于它的两个侧面上，设右侧面电量为q1，左侧面的电量q2，则q1 q2 q用高斯定理可证，b板上感应电

31、量为q1，c板上感应电量为q2，均匀分布于与a板相对的侧面上，因此a、b两板间场强及a、c两板间场强分别为：EabEabq11q1qEac22（1）00S00SEacq2a、b两板间及a、c两板间电势差分别为：Uab EabdabUac Eacdacb、c都接地，电势都为零，所以：UabUac即：Eabdab EacdacEabdac2.01031所以：3Eacdab4.0102（2）77由（1） （2）式得：q11.010 Cq2 2.010 Cb板上感应电荷即为：q1 1.0107Cc板上感应电荷即为：q2 2.0107Cq11.01074.01033a板的电势为：VaUab Eabdab

32、dab 2.2610 V1240S8.85102001010-3310-33 如图所示，空气平板电容器是由两块相距如图所示，空气平板电容器是由两块相距 mm mm 的薄金属片的薄金属片 A A、B B 所构成。若将此电容器放在一个金所构成。若将此电容器放在一个金属盒属盒 K K 内，金属盒上、下两壁分别与内，金属盒上、下两壁分别与 A A、B B 都相距都相距 mm mm，电容器的电容变为原来的几倍？，电容器的电容变为原来的几倍？解解 将电容器 AB 放入盒中，在 A、K 间形成电容CAK；B、K 间形成电容CBKCAK CBKS 2CABd02而CAK、CBK成串联关系，然后再与CAB并联（

33、如图示） C CABCAkgCBk CABCAB 2CABCAkCBk可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2 倍。10-3410-34 一块长为一块长为l、半径为、半径为 R R 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为 P，求轴线上任意一点，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。由极化电荷产生的电势。rrn P解：解：建立如图示的坐标系，极化电荷密度为： Pg1g2rdr40r x22dV 半径为 R 的圆面，电荷面密度为 P的面电荷产生的电势为：VR140Pg2rdrr2 x20P2r x2 x20对于均匀极化，极化电荷只出现在电介质的

34、表面上V VVP2022ll2 l l2R x x R x x2222P2022l2 l2R xR x2x2210-3510-35 厚度为厚度为 mm mm 的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为 2 2。求当电容器充电至电压。求当电容器充电至电压为为 400 V400 V 时，云母片表面的极化电荷密度。时，云母片表面的极化电荷密度。解：解：E U400 2.00105V m13d2.0010D 0rE 0E P P 0r1E 故：0r1E 8.851012212.001051.77106Cm210-3610-36 平行板电容器

35、两极板的面积都是平行板电容器两极板的面积都是3.010 m，相距，相距d 3.0mm。用电源对电容器充电至电压。用电源对电容器充电至电压22U0100V， 然后将电源断开。现将一块厚度为然后将电源断开。现将一块厚度为b 1.0mm、相对电容率为、相对电容率为r 2.0的电介质，平行地的电介质，平行地插入电容器中，求：插入电容器中，求：(1)(1)未插入电介质时电容器的电容未插入电介质时电容器的电容C0； (2) (2)电容器极板上所带的自由电荷电容器极板上所带的自由电荷q；(3)(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度E1； (4) (4)电介质内

36、的电场强度电介质内的电场强度E2；(5)(5)两极板之间的电势差两极板之间的电势差U； (6) (6)插入电介质后电容器的电容插入电介质后电容器的电容C。22已知：已知：平行板电容器S 3.010 md 3.0mmU0100V断开电源 Q 不变，b 1.0mmr 2.0qDCB求：求：C0、q、E1、E2、U、CqAS03.01028.8510128.851011F88.5pF解：解：(1)C03d3.010（2）q C0U08.8510111008.85109C（3）插入介质后：E1D0DE200r0ru rr udd1d1d d1d1U Egdl E1gdl E2gdl 0000rq8.8

37、510915141E110 V m 3.310 V m2120S3.0108.851038.85109（4）E21.7104V m12120rS3.01028.8510q（5）U E1d d1E2d13.310421031.710411038.3Vq8.851091.071010C（6）C U8310-3710-37 半径为半径为 R R 的均匀电介质球，电容率为的均匀电介质球，电容率为 e e，均匀带电，总电量为，均匀带电，总电量为 q q。求：。求：(1)(1)电介质球内、外电位移的分布；电介质球内、外电位移的分布； (2) (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；电介质球内、外电场强度

38、和电势的分布；(3)(3)电介质球内极化强度的分布；电介质球内极化强度的分布； (4) (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。球体表面和球体内部极化电荷的电量。解：（1）由高斯定理：当r R时：ur uu rq43 SDgdS 43g3rR 3rurqrqr1qrD D 3g方向沿半径向外，即：4R3R4r24R33R当r R时： Sur uu rDgdS qrurqrqD 方向沿半径向外，即：D 324r4ruru rD（2）当r R时：E rqr4R3V pu r u u rqR2r2qdrRqrdrqq 12 qr2Egdl 33R4r2r4R340R4R8R08R0uru rD当r

39、R时：E rqr40r30V pu r u u rqdrqEgdl r4r24r00uru ru ru ruru r（3）D 0E P P D0Errru ruru r0qrqrqr当r R时：P D0E 03334r4R4Ru r当r R时：P 0u r u r0q 10q2q PgS P4R （4）球体内部极化电荷的电量为： S而球休表面极化电荷的电量为：q q10q10-3810-38 一个半径为一个半径为 R R、电容率为、电容率为的均匀电介质球的中心放有点电荷的均匀电介质球的中心放有点电荷 q q，求：，求：(1)(1)电介质球内、外电位移的分布；电介质球内、外电位移的分布； (2)

40、 (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)(3)球体表面极化电荷的密度。球体表面极化电荷的密度。rurur uu rqrD DgdS q解：（1）无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。S4r3uru rD（2）当r R时：E rqr34rV pu r u u rqdrRqdrq 11 qEgdl R4r2r4r24R04r0uru rD当r R时：E rqr40r30V pu r u u rqdrqEgdl r4r240r0（3）rrru ruru r0qrqrqr0P D0E 13334r4r4r0q1u r u r02qg4R q由：得

41、：PgS q1S4R2q10qq0 所以，球体表面极化电荷的密度为： 4R24R24R210-3910-39 如图示中如图示中 A A 是相对电容率为是相对电容率为r的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为为 E，其方向与界面法线，其方向与界面法线 n 的夹角为的夹角为，求：，求：(1)(1) A A 点的电场强度；点的电场强度； (2) (2)点点 A A 附近的界面上极化电荷密度附近的界面上极化电荷密度解：（1）求解点A的电场强度EA可以分别求出点A电场强度的切向分量Et和法向分量En，而这两个分量可以根据边界条

42、件求得。根据电场强度的切向分量的连续性可得：Et Et Esin根据电位移矢量的法向分量的连续性可得：EnEnrEcosr点A的电场强度的大小为：EAEt2 En2Ercos2r2sin2电场强度的方向与表面法向n n的夹角满足下面的关系：tan EtrtanEn(2)点A附近的界面上极化电荷密度为： Pn0eEn0r1Ecos010-4010-40 一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为r1 4.0和和r2 2.0，厚度分别为，厚度分别为d1 2.0mm和和d2 3.0mm，极板面积为，极板面积为S 5.0103m2，两板间的电势

43、差为，两板间的电势差为U0 200V。(1)(1)求每层电介质中的电场能量密度；求每层电介质中的电场能量密度； (2) (2)求每层电介质中的总电场能；求每层电介质中的总电场能；(3)(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。解：（1）U0 E1d1 E2d2（1）而：D1n D2n（两种介质分界面上只有法向电位移矢量）U0E1E20r1E10r2E2即：r1E1r2E2（2）由（1）（2）式解得：E1r2U0r1U0E2r1d2r2d1r1d2r2d122128.851044200U11122r20we11E1r10E1r101.110

44、2J m362222432210r1d2r2d18.851012242200r1U01112223we22E2r20E2r20 2.210J m6222d d2 4322 10r12r21（2）We1 we1V1 we1d1S 1.110 2.010 5.010233221.1107JWe1 we1V1 we2d2S 2.21023.01035.01033.3107J（3）C 21SQSddU0122d11d212 W 1121S10r2r1SCU02U02U02222d11d22r2d1r1d21 8.851012425.01032002322234108.854254108216 4.4107J两种计算结果是一致的。