相似三角形复习课.doc

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1、相似三角形复习课一. 本周教学内容： 相似三角形和相似三角形的判定。学习目标： 1. 理解相似三角形和相似比的概念，会找相似三角形的对应边和对应角； 2. 掌握两个三角形相似的判定定理，理解定理的证明方法，并且会用定理来解决问题； 3. 会用尺规作两个三角形相似 4. 进一步学习和体会用分析法、代换法（换比、换积、换线段）解决有关相似三角形的问题重点： 1. 相似三角形概念的理解和应用 2. 三角形相似的判定定理及应用难点： 1. 有关三角形相似的判定定理的证明 2. 灵活运用判定定理，判定两三角形相似二、主要知识点分析 1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，它们

2、对应边的比叫做相似比。 如图：若 ，若AB：AB=BC：BC=AC：AC=1：2，那么ABC与ABC的相似比，ABC与ABC的相似比。 2. ABC与ABC的相似比R1和ABC与ABC的相似比R2有关系：R1R2=1，当且仅当全等时有R1=R2=1。 3. 相似三角形的判定定理 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如图：ADEABC （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 （3）两角对应相等的两个三角形相似 （4）两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似 （5）三边对应成比例的两个三角形相似 （6）一条直角边

3、和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 3. 寻找相似三角形中的对应元素 （1）对顶角一定是对应角 （2）公共角一定是对应角，最大或最小角一定是对应角 （3）对应角所对的边一定是对应边 （4）对应边所对的角一定是对应角，对应边所夹的角一定是对应角三、典型例题分析： 例1：如图，ABCDCA，ADBC，B=DCA （1）写出对应边的比例式 （2）写出所有相等的角 （3）若AB = 10，BC= 13，CA = 8，求AD、DC 分析：由ABCDCA及其他条件找出对应边和对应角，再由比例式求出AD、DC。 解：（1） （2）ABC=DCA，DAC=BCA，BAC=D。 （3） 例2：已知：如图，直线

4、BE、DC交于A，E=C，求证 分析：欲证等积式，先化为比例式，而比例式由三角形相似可得，另外，此题找对应角的特殊方法是对顶角相等。 证明：在ADE和ABC中 E=C，DAE=BAC ADEABC(两角对应相等，两三角形相似） 例3：ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E、F分别在AB、AC上，BDE=CFD，求证： 分析：欲证等积式先化为比例式，然后找相似三角形，再找出比例式。 证明：在EBD和FDC中，B=C，BDE=CFD， EBDDCF 例4：已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，求：AD的长。 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应选用“两

5、边对应成比例得夹角相等”来求解，计算得出，再结合B=ACD，证明ABCDCA，再由相似得出关于AD的比例式，从而求出AD的长。 解：AB=6，BC=4，AC=5，CD=， 又B=ACD ABCDCA， 例5：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC边上两点，E为DC中点，BF=3FC，求证：AE=2EF。 分析：由正方形可知D=C，再由E为中点和BF=3FC得出可证得ADEECF，于是得到比例式，可得AE=2EF。 证明：四边形ABCD为正方形 D=C，BC=DC=AD，E为DC中点， DE=EC 又BF=3FC BC=4FC ADEECF AE=2EF 例6：已知：如图，ACB

6、D，垂足为C， 求证：（1）DFAB，（2） 分析：由已知得到比例式发现这四条线段分别为RtABC和RtDEC的斜边和直角边，因此由直角三角形相似的判定定理得到ABCDEC，再进一步证明所要结论。 证明：（1） 又ACBD，ECD=ACB=Rt, RtABCRtDEC， A=D， 又AEF=CED DECAEF AFE=DCE=Rt DFAB （2）在AEF和DBF中 A=D，AFE=DFB=Rt, RtAEFRtDBF 小结：此类题的典型思路，见等积化比例，去证他们所在两个三角形相似，而证得ABCDEC，提供了第二次相似证明RtAEFRtDBF所需的对应角相等。像这种需证明两次相似的题目可采

7、用“两头凑”的方法。 例7：已知：如图，ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和AB延长线上的点，2=3，求证：AB是AD和AE的比例中项。 分析：此题适合运用分析法探求解题方向，欲证AB，AD，AE在同一条直线上，而且无法用三角形一边的平行线的性质，故需将其中一条代换到其他位置，而由AB=AC，只需证，它们又分别在ACD和AEC中，故设法证ACDAEC，又A=A，因此只需再证一对角相等即可。 证明：AB=AC 1+2=ABC 又ABC=3+E 1+2=3+E 又2=3 1=E 又A=A ACDAEC 又AC=AB 即AB是AD和AE的比例中项。 例8：如图，ABC中，AB=AC，ADBC于D

8、，DEAC于E，M为DE中点，AM与BE交于N，AD与BE交于F。 求证：（1） （2）BCEADM （3）AMBE。 分析：此题有三个结论，通常在证明后面的结论时要用到前面已证明的结论，第一小问可由证ADCDEC得出，第二问可用夹角相等，夹角两边成比例证ADMBCE，第三问由前两问的结论得出。 证明：（1）ADC与DEC中，ADC=CED=Rt，C=C ADCDEC （2），且BC=2DC，DE=2DM 在ADM与BCE中 ADMBCE （3）ADMBCE CBE=DAM 又AFN=BFD ANF=BDA=Rt BEAM【模拟试题】（一）选择 1. 下列判断正确的是（ ） A）任意两个等腰三

9、角形都相似 B）任意两个直角三角形都相似 C）有一个角相等且有两边对应成比例的两三角形相似 D）任意两个等腰直角三角形都相似 2. ABCDEF，若ABC三边长为，2，DEF的两边长为1和，则第三边是（ ） 3. 如图，ABDE，AFC=E，则BC：AC等于（ ） A）AC：CE B）CD：AC C）AC：CD D）AC：CF 4. 若三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一三角形最短边为6cm，则这个三角形周长为（ ） A）12cm B)18cm C)24cm D)30cm（二）填空： 1. RtABC中，CD是斜边AB上高，DEAC于E，在这个图中共有相似三角形_对。 2. RtABC中

10、，CD是斜边AB上高，若CD=6，BD=3，则AD=_，AC=_，BC=_。 3. 若，则_。 4. 四边形ABCD是平行四边形，CE交BD于F，_。（三）证明 1. 如图：ABC是正三角形，DAE=120，求证：。 2. 如图，ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC中点，ED交AB延长线于F。求证：。 3. ABC中，A=90，ADBC于D，M是AD中点，延长BM交AC于E，过E作EFBC于F，求证：。【试题答案】（一）1. D 2. B 3. D 4. C（二）1. 10 对， RtAEDRtDECRtADCRtCDBRtACB 共组成10对 2. AD= 12 ，AC=，BC=。 3. 18， 4. （三）1. 提示：欲证的等积式化为比例式 比例式中的线段分别是ABD，AED的边 由ABD=EAD=120，ADB=ADE 证得ABDEAD。 2. 证明：BAC=FAD+DAC=90 ADBC，DAC+C=90 C=FAD， ADBCAB 又ED=EC，C=EDC 而EDC=FDB FDB=FAD 又F=F FDBFAD 由（1）（2）得 3. 分别延长BA、FE交于Q，构造相似三角形AEQ与CEF， 证明：延长BA、FE交于Q ADBC，QFBC，ADQF 又M为AD中点，E是QF中点，而QE=EF，RtEFC和RtEAQ中，CEF=QEA EFCEAQ