怎样学会解题.doc

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1、怎样学会数学解题陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062电话 029-85308872 13609297766E-mail：zrluo案例1 三视图的研究例1-1 如图1，给出正方体（为了避免相关方向的线被重合（比如与重合），图形作了一些技术性的调整）（1）请画出正方体的三视图（三个正方形，请保留）（2）若在正方体中截去一个三棱锥，得到如图2的几何体，请画出图2的三视图（在保留图上继续，结果为图3：三个正方形都加上一条对角线） 图1 图2 图3（3）若在图2的基础上再截去一个三棱锥得到如图4的几何体，请画出图4的三视图图4结果：图2、图4的三视图均为图3，因为三视图中与 重合，与 重合，

2、与 重合（不同的几何体有相同的三视图） 例1-2 （2010年宝鸡第二次质检题）如图3，是某几何体的三视图，其中三个视图的轮廓都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为 讲解：配套答案给出的几何体正是图2，体积为但由上面的讨论知，几何体并不惟一，如图4，还可以体积为并且，是否不会有更多情况亦有待证明例1-3 （4）若在图2的基础上再截去两个三棱锥,得到如图5的几何体，请画出图5的三视图 图5（5）再从图5几何体中截去三棱锥得到如图6的正四面体，请画出图6的三视图图6 图7结果：图5、图6的三视图均为图7，因为图5中三棱锥的三视图完全被图6的三视图重合： 正视图中，图6的重合了图7 的，图6的重合

3、了图5的；左视图中，图6的重合了图5的，图6的重合了图5的；俯视图中，图6的重合了图5的，图6的重合了图5的结论：一个几何体摆法不同可以有不同的三视图；一个几何体的位置确定之后，它的三视图是唯一的，但反过来，相同的三视图可以对应不同的几何体因为：视图上的线可能是直观图上两根线的重合，斜线与垂线可能有相同的投影线，三个方向投影相同也可以其他方向投影不同在三视图课题上存在创新的空间（概念理解、技能熟练）例1-4 （2010年高考数学福建卷文科第3题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图8所示，则其侧面积等于（ ）（A） （B） （C） （D） 图8解 由正视图知，三棱柱是以底面边长为2，高为1

4、的正三棱柱，所以侧面积为，选（D） 对不对？图9 复原 图10 左视图？ 主视图为矩形的三棱柱不唯一，（1）左视图可以是一般平形四边形（并非矩形）；（2）底面是正三角形的三棱柱其俯视图可以不是正三角形；就是说，题目给的三棱柱可以是斜三棱柱题目无解（6）下面，我们来看一个较为深刻的题目例1-5 某几何题的三视图如图11所示，求该几何题的体积（或表面积）讲解 由图11可知，三视图均为四分之一的全等扇形，半径，从而，几何体为单位球在第一卦限部分，体积为 表面积为 图11但是，这个题目的编拟存在两个“潜在假设”： （1）“潜在假设”每一视图均为四分之一的全等扇形 确实，单位球在第一卦限部分的三视图类似

5、于图11，但题目没有说每一视图均为四分之一的全等扇形，这就存在其它可能比如，将半径稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三个面各切去一层平面薄片，可以使其三视图为图11，这时，直角顶点不是圆心，各个视图相等但不是扇形另外，对球面，过点分别作三个平行于坐标平面的截面，取所截得的第一个卦限部分（记为几何体），则由 知几何体的三视图形如图11，但体积不是单位球在第一卦限部分 （2）其二，“潜在假设”三视图（如图11所示）均为四分之一全等扇形的几何体必为单位球在第一卦限部分其实，曲面 所围成的几何体不是单位球，但它“同时成立”，分别取，都得出单位圆，并且对任意的，都有；从而，三视图均为四分之一全等扇形的几何

6、体未必为球的一部分可见，反思这两个“潜在假设”可以导致三视图认识的深化例1-6 （2013高考数学陕西卷文科第11题）某几何体的三视图如图12所示，则其表面积为 解 该几何体是半径为1的半球，底面是半径为1的圆，所以表面积为评析：中学生这样做，没有理由不给满分，但是，仅主视图就不能保证曲线部分为半圆，简单说，过三点 图12是不是只有一条曲线？其实，还有，（）等也经过该三点，并且凭肉眼很难看出中与的区别。科学严谨的命题应该排除歧义比如例1-5（例1-6）可以明确为： 例1-7 某几何体是球体的一部分，其三视图如图11（或图12）所示，则该几何体的体积（或表面积）为 （参见吴燃、罗增儒三视图问题要

7、防止消极的“潜在假设”，中学数学杂志，2014，9 ；吴燃、罗增儒反思一个漏洞 获得两组题目，中学数学杂志，2015，4）这个引例体现了解题教学是解题活动的教学，体现了我们所倡导的解题分析和通过解题分析学会解题的想法我们认为学解题的关键是学会解题分析，主要包括解题思路的探求和解题过程的反思解题思路的探求，把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个认知过程思路探求）而解题过程的反思，则继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提

8、高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程回顾反思）1 学会解题的四步骤程式回顾我们从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师的30多年），我们看到了一条清晰的学解题线路：由“简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉分析”的阶段我们将其作为“一个中国解题者的学习案例”，或“一个中国学习者的解题案例”总结为学会学解题的四步骤程式：记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析1-1 记忆模仿（1）模仿：通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似行为的过程（2）解题模仿：即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题这是对解题基本模式

9、加以认识并开始积累的过程其本身会有体验性的初步理解学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始每节数学课后的作业基本上是模仿性练习波利亚在数学的发现序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在帮你学数学P46中说“摹仿是学习的开始”（3）记忆：在这一阶段中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性(记得快)；记忆的持久性(记得牢或忘得慢)；记忆的准确性(记得准)；记忆的准备性(便于提取)而要真正做到、做好这4点，还需要进入第2阶段1-2 变式练习（1）变式练习的含义：即在记忆模仿的基础上迈出主动实践的一步，主

10、要表现为做数量足够、形式变化的干扰性习题，本质上是进行操作性活动与初步应用（2）变式练习的作用：首先是通过变换方式或添加次数而增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这一传统在解题教学上的重要体现；数学概念具有“过程”与“对象”的二重性，牢固掌握相应的运作是实现由“过程”向“对象”转变的必要条件有的学生只会做课本作业题，稍作变化就不会了，很大程度上是第2步训练不足或未能跨越这两步而产生理解学习数学不能缺少这两个阶段又不能单靠这两个阶段没有亲身

11、的体验、没有足够的过程、没有过硬的“双基”，数学理解就被架空了，模仿和练习应是学生获得本质领悟的基础或必要前提人们常常听到“不要死记硬背”的告诫，其实这有两层含义，首先是承认记忆，其次是强调不要“死”，更要理解知识的本质含义，更要沟通新旧知识之间的联系因此，对学解题而言，更重要的是跨越模仿和练习而产生领悟没有理解的练习是傻练，越练越傻；没有练习的理解是空想，越想越空1-3 自发领悟（1）自发领悟的含义：即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解解题知识的内化(包括结构化、网络化和丰富联系)，主要表现为从事实到规律的领悟、从实践到理论的提升但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大

12、悟，而又“只可意会，不可言传”（默会学习），表现为潜意识与显意识交错、内隐与外显双兼（2）领悟的内容：这实际上是一个各人自己去体会解题思路的探求，解题能力的提高，解题策略的形成，解题模式的提炼，从而获得能力的自身性增长与实质性提高的过程（生成个体经验）对于认知结构的改变而言，这一步具有形成新认知结构的功能由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由“双基”到能力的升华，而这种飞跃或升华又需要一个长期的积累，因而，这是一个漫长而又不可逾越的必由阶段（会存在高原现象）目前的很多学生就被挡在了这一阶段（停留在模仿与练习上），很多优秀学生也就停留在这一阶段，我们自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：

13、为了缩短被动、自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题学习还应有第4阶段（吃3个饼的笑话：吃第1个饼没饱，吃第2个饼还没饱，吃第3个饼饱了，由此得出“应该已开始就吃第3个饼”。 吃第1个饼相当于“模仿”，吃第2个饼相当于“练习”，吃第3个饼相当于“理解”，不应该得出“不打好基础，直接理解”）1-4 自觉分析（1）反思：就是从自身的认识活动中“脱身”出来，作为一个“旁观者”来看待自己刚才做了些什么事情，使自己的活动成为了思考的对象（2）自觉分析的含义：即对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自

14、觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础到创新、从内隐到外显的飞跃阶段 就是说解题不仅关注“答案”，而且还要把解答问题看作是设计和发明的目标；把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程；提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建“数学解题学”的前景）（3）自觉反思的基本内容：解题中用到了哪些知识？用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法?命题能够推广吗？洞察问题的深层结构了吗？（4）自觉分析的操作：通常要经历整体分解与信息交合两个步骤整体分解：就是把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看

15、用到了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起的，从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程等有两个基本的思考方向方向1：正面思考看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解题通道这需要我们重新审视每一个知识点的发散度，特别是要从知识链上对知识内容作多角度的理解看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤，提高整个解题的观点和思维的层次看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤，以体现解题的奇异美 看解题过程中哪一个是最实质性的步骤，抓住这一步既可简化过程又可迅速推广 综合、全面看条件与条件、条件与结论之间的联系，洞察问题的

16、深层结构，体现数学的整体性与统一美 还要看到，分析解题过程时，“结论也是已知信息”，这会使我们对题目的认识更加深刻和全面 具体进行时，可以画逻辑结构图、信息过程图来帮助思考 方向2：反面思考可以使用否定假设法来提出问题使用否定假设法的步骤是：确定出发点（已知命题、问题或概念）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个属性就所列举的属性进行思考；如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？依据上述对于各种可能性的分析提出新问题信息交合：就是抓住整体分解中提炼出来的新认识或本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些新信息块的有序化，使认识更接近问题的深层结构于是，一个新的解法就诞生了，所储存的数学

17、知识之间的非人为的、实质性的联系就加强了，怎样学会解题的体验就生成了，提炼解题理论的基础也奠定了整体分解与信息交合既是收集证据、解释证据，又是随时报告结果的过程在人类认识总是不断深化的背景下，解法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中间过程事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向大脑的线性输入，只不过是为进一步的结构化、网络化和丰富联系准备了基本素材，更加有价值的、体现学习者的主动创造性工作的是：将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑

18、结构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成果的扩大，解题模式的积累，解题经验的生成这就像登上山顶后居高临下的俯瞰(当然山外还有山)，也像是经过黑夜摸索之后拉开黑房间的电灯，整个境界已焕然一新如果说，探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的话，那么继续进行解题分析的思维活动就带有较多自觉的、理论提炼性的特征了“自觉分析”的心理学基础是元认知理论，学习论基础是内隐学习与外显学习的有机结合与联系转化，当然也是一种案例分析的学习谁也无法教会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智这四个步骤与数学学习的一般过程是吻合的，但由于数学解题是一种创造性

19、活动，因而，它只是符合“钥匙原理” 而非打开一切题目大门的万能钥匙当前的重点是加强第4步的教学2 解题教学是解题活动的教学2-1 基本含义我们说“解题教学是解题活动的教学”至少有三方面的含义：（1）解题活动是一种思维活动，思维活动既有过程又有结果，解题答案主要反映思维活动的结果，而获得答案的实质是发现与发明的过程（2）解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程暴露数学解题的思维活动没有过程的结果是现成事实的外在灌输，没有结果的过程是学习时间的奢侈消费，解题教学不仅要获得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程与结果结合起来（3）暴露数学解题的思维活动有两个关

20、键过程，其一是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程（我们叫做第一过程的暴露），其二是对初步思路反思的元认知过程（我们叫做第二过程的暴露），解题教学不仅要有第一过程的暴露（已经引起注意），而且还要有第二过程的暴露（想知道很多而又有很多不知道）但是，数学解题的思维过程到底是什么样的呢？目前还没有统一的理论认识，因而也就没有明确的实践指南，这直接导致了三个后果： 其一，很多愿意暴露数学解题思维过程的老师常常面临“不知暴露什么”或“不知如何暴露”的尴尬；其二，更多教师的解题教学停留在“题目这样解”的层面，更多学生的解题学习停留在“简单模仿、变式练习”的阶段上；其三，以解题为载体的数学考试常有大量数学

21、不及格的学生（产生差生、慢生，或称为学困生、后进生、困难生、潜能生、希望生）可喜的是，人们已经对数学解题的思维过程提出了很多看法，百花齐放的解题观点（如解题推理论、解题化归论、解题信息论、解题差异论、解题坐标系等），其实就是人们对数学解题思维过程的努力描述 2-2 解题教学分析（1）数学解题的教学分析就是从教学的角度分析数学解题，既帮助学生学会解题，又增强教师的解题教学能力它的表层目标是通过解题学会“数学地思维”，深层目标是通过数学学会思维（2）怎样进行数学解题的教学分析？主要是分析解题、编题、答题首先是怎样解题的分析，同时，对于教师和考试，还可以有怎样编题和怎样答题的分析 怎样解题的分析这是

22、数学解题教学分析的基本工作，每道题都可以做，重点在暴露数学解题的思维过程这当中，难免会有弯路与曲折，因此，还应有解题困难的分析（知识因素、逻辑因素、策略因素、心理因素等方面），解题错误的分析（错误的内容、错误的性质和纠正错误的办法等）怎样编题的分析对于教师而言，不应只会等着做别人出的题，还应懂得编题的科学性要求、逻辑性要求，熟悉编拟各类题型的基本方法、能够根据教材和学生编拟出各个层次的题目怎样答题的分析对于考试题，教师应该洞察考查目标（考查什么知识、什么能力、什么思想、什么方法等），熟悉考试技术，对学生作出有力而高效的指导（不是一味的题海战术）3 学解题的案例分析3-1 几个简单的例子例2 解

23、方程解法1 按照解方程的程序（或按照小学逆运算的道理），有 解题分析 这个解法原理无可挑剔，结论也正确，但依然有开发解题智慧的空间我们曾不动声色地请学生继续解方程： ， ，学生立即反应过来，如其除以不如乘以4，如其除以不如乘以8，如其做复杂的小数除法不如做简单的整数乘法 解法2 两边乘以2，得 说明 两种解法用到的原理是一样的，但运算量不一样、思维的灵活性也不一样，式的除法难保无人算错，式的乘法想算错都难事实上，解一元一次方程程序的实质是：在保持方程同解的前提下，通过变形把只含未知数的项、及只含已知数的项分别集中到方程的两边，合并后把未知数的系数变为1求出未知数的值解题教学应既教程序步骤、又教

24、思想实质，既掌握程序、又灵活变通例3 证明：对于任何实数方程有实数根解法1 由于方程的判别式，所以方程有实数根解题分析用判别式去判别二次方程是否有实根是一种通用方法，这种解法对任何二次方程都适用，更细致的审题可以看到，已知方程有点特殊，其系数和恰好等于0，即方程有一个实根这就不仅证实了方程有实数根，而且具体求出了实根，即用较少的力量取得较大的成果解法2 把代入，因为 方程左边方程右边，所以是方程的实根，得证方程有实数根解法3 原方程即，有实数根，得证方程有实数根说明 作为解题分析的经验积累，此处是用一个更切合题目特殊条件的技巧去代替现存的常规步骤解题教学应该把一般与特殊结合起来例5 已知是方程

25、的两个根，不解方程求的值分析先整理求值式 可见，只需求出的值，这由二次方程“根与系数的关系”（韦达定理）可以完成，思路打通了解由二次方程“根与系数的关系”，有 代入得 解题分析 仔细阅读从分析到求解的全过程，我们看到分析是正确的，求解也是正确的但是，我们别忘了，解题前的分析是在思路未明朗、结论未得出的情况下进行的（如同在黑房间里摸索）；而解题后的分析是在思路已明朗、结论已得出的情况下进行的（如同拉开了房间的电灯），后者比前者多了很多信息，其中“结论也是已知信息”由结论知 ， 即 ，即 这就表明，求出是多余的，回过头来看式也会发现，不需要求出的值也能分子分母同时约去解法2由韦达定理有 ，得 由此

26、又可演变出很多解法和作出很多推广3-2 一个定理的教学例5 求证：等腰三角形的两个底角相等这是初中课本上的一条定理，让我们从解题思路的探求说起 第1、解题思路的探求.记得传统的教学是这样进行的，作图，写出已知、求证，然后分析：(1) 如图13，为了证明两个角相等，我们来找这两个角所在的三角形(2)由于已知条件只有一个三角形，所以作辅助线 (的平分线，也可以是的中线等)，产生与 (3)证明(4)由三角形全等的性质便可得出所求证明1 如图13 ，在等腰中，作的角平分线得与，有，（已知） ，（公共边） 图13又 ，（辅助线作法）得 ，（） 从而 （全等三角形的对应角相等） 这个处理有分析、有启引，已

27、经注意了知识的发生过程，模仿这里的分析与证明，我们能够完成课本的作业，几何论证能力也会在这潜移默化中获得提高通常的定理教学进行到这里就基本告一段落了（转入练习），我们的建议是继续暴露数学解题的思维过程至少可以这样说，我们虽然解出了一道题，但还没有弄清到底是怎么解的，还没有对自己的认识活动进行再认识记得笔者初为人师时，对这样的讲授就曾留下过很多困惑如困惑1，我不能说清本定理证明中用到了哪些知识，哪些方法，这些知识与方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的困惑2，我不能显浅地指出本定理证法的一般认识与基本困难困惑3，我不能用一句很简明的话让学生把握这个定理并终生难忘困惑4，我还感到，“分析”中“由于已

28、知条件只有一个三角形”，马上就推出“所以作辅助线”有点理由不足如果把定理比作一首古诗，那么上述证明确实向学生解释了诗的写作背景、生词生字，也有表情地朗读了一遍；作为学生，已经听懂了，甚至经过努力也背熟了但是教师如果没有接下来对诗中层次结构的分析、写作技巧的剖析、中心思想的揭示等，那么学生的“自发领悟”必然还会有一批人领悟不到诗中深刻的思想、精妙的意境、优美的文笔与传颂千古的内在魅力，更谈不上理解诗人的气质与培养出有气质的诗人了这使我想到，解题教学是不是也应该有一个类似于语文“课文分析”那样的数学“解题分析”，把定理与定理证明的本质思想向学生作适合他们认识水平的剖析 第2、解题过程的分解. 分解

29、上面的证明我们可以看到有4个步骤（解题过程的结构分析），每一个步骤又有一些信息的获取与加工，共由8条信息组成（叫做解题过程的信息流程分析）：第1步：作的角平分线，把分成两个三角形：与这本身是一个形象信息（从图形中获得，记为信息1），同时，又从记忆储存中提取了一条信息：角平分线的作法（数学技能，记为信息2）第2步：验证与满足全等的条件这使用了3条信息(1) 从已知条件中提取符号信息（记为信息3）(2) 从所附图形中提取形象信息（记为信息4）(3) 从记忆储存中提取符号信息：角平分线的定义（记为信息5），从而得（符号信息，记为信息6） 第3步：得出这从记忆储存中提取了三角形全等的判别定理作为依据（

30、记为信息7）第4步：得这从记忆储存中提取了三角形全等的性质定理作为依据（记为信息8）这4个步骤和8条信息可以组成一个和谐的逻辑结构（图14）： 图14 于是，我们就弄清了：定理证明中用到了哪些知识、哪些方法，它们又是怎样组成一个和谐的逻辑结构、逐步推进的 第3、本质步骤的提炼上面的初步分析可以解决我们的第（1）个困惑，并且还显化了定理证明的最本质步骤：三角形全等法的应用很多人不理解，为什么最本质步骤不是“作辅助线”而是“三角形全等法的应用”，我们说本质步骤有两个基本特征：使解题产生实质性的进展；更反映问题的深层结构因为作辅助线是根据全等的需要并为全等服务的，而全等三角形一旦得出，对应角相等是直

31、接的三段论推理，所以证三角形全等能使解题产生实质性的进展，也更反映等腰三角形的自对称特征“作辅助线”只是技术措施，后面的证明2就没有作辅助线这个最本质步骤在操作上是这样一个“由一找三” 的过程，为了证明一个等式（），我们去找三个等式（，），如果两个三角形和三个等式都很现成，那问题就解决了；否则，我们就要作辅助线（角平分线），产生一对三角形，并且继续进行“由一找三” 的步骤（可能会出现个等式）由此可以看到“全等法”证几何题的两个主要难点：难点1：数量上，欲证等式会按几何级数飞快增长，就可以是一道很难的题目难点2：作辅助线，这对思维素质提出了很高的要求，也没有固定的程序从证明1中找出“全等法”，并

32、对“全等法”的操作与基本困难作出分析，可以认为是对第（2）个困惑的思考与回应 现在让我们回到证明1，看看从本质步骤（三角形全等法的应用）出发，作解题分析还能获得点什么？首先，抓住解题的实质步骤提出问题：什么是全等形? 是的，能够完全重合的两个图形叫做全等形在图13中，与可以重合，从而呈现一种对称性的美感就是说，绕旋转会与重合(图15)，绕旋转会与重合(图16)；让这两个直角三角形一齐旋转(图17)你看到了什么? 这里的 图15 图16 图17情景设计是想通过显意识的暗示来营造一个直觉发现的氛围，让人看到：图17中有两个三角形，一个是原来的，一个是旋转中的，它们能够重合在一起 (与 重合，与重合

33、)，从而，一个无需作辅助线的新思路就会在突然的领悟中产生： 证明2 如图18，在与中，有 ， ，又 （或）， 得 ， 图18从而 说明1 这个证明相当于对证明1作了一个“加法”，由 ，有 ，相加 (SAS或SSS)有趣的是，我们那么熟练地将线段看成两条重合的线段，将看成两个重合的角，可就是不习惯将一个三角形看成两个三角形的重合说明2 这个证明的可靠直觉是，把等腰纸片拿起来作一个空中的翻转后，仍与原来的位置能够重合（既是直接合同又是镜面合同），这个情景有可能让学生对证明终生难忘于是，从图13到图18的返璞归真，从原证明到现证明的解题分析，使我们对定理获得了更多的理解作辅助线只是一个途径、不作辅助

34、线也是一个途径设想等腰三角形是一块木板（或蛋糕），那么沿方向把它切下去当然 是一个平分的办法（图13），但是，沿水平方向把它切成两块相等的薄片也是一个平分的办法（图19）这可以认为是对第（）、（）个困惑进行思考的部分结果 图19第4、学解题的初步收获 上面，我们实践了解题分析，既改进了解法又提高了对本例的认识，这些都是具体而重要的收获下面，我们再从学解题的认识层面提出3点看法（1）解题分析包括认知与元认知两个阶段上述过程表明，解题分析包括解题思路的探求分析与探求结果的反思分析解题思路的探求分析这主要是在还没有思路时，努力找出思路的认知过程，在本例中表现为证明1的探求与获得证明1的得出体现了“把

35、题作为认识对象，把解作为认识目标”的解题活动，更多的是第一、第二步骤（记忆模仿、变式练习）的解题学习探求结果的反思分析这主要是在获得初步思路后，对初步思路进行反思的元认知过程，在本例中表现为对证明1的反思与证明2的获得，即继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象，继续暴露数学解题的思维过程，已经是第三、第四步骤（自发领悟、自觉分析）的解题学习了如果把揭示“思路探求”叫做“第一过程”的数学思维暴露，那么继续揭示“解题活动”就可以叫做“第二过程”的数学思维暴露了解题思路初步获得是开始“第二过程”暴露的最好时机，错过这个机会是“进宝山而空还”（2）弄清了数学解题的信息流程解题过程的分析中，

36、我们既进行逻辑结构的分析又进行信息流程的分析，弄清了证明中用到哪些知识、哪些方法，这些知识和方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的证明1的分析已如图14所示，下面我们再分3步对证明2作出分解： 第（1）步，从已知条件为等腰三角形出发去捕捉有用的信息 从题目的文字叙述中获取代数“符号信息”一条： 信息1：;进而（提取了信息2：等式的对称性）从题目的图形中获取几何“形象信息”两条： 信息3：在图18中，我们看到与重叠在一起，把它们拆开就成为图19信息4：我们还看到这两个三角形有（或）第（2）步，根据上面的理解，我们提取三角形全等的判别定理“”，可得（信息5）据此，再提取三角形全等的性质定理，得对应角

37、相等，（信息6）第（3）步，把这些知识信息（一共6条）组成一个和谐的逻辑结构，可得解题的信息过程：图20 这样我们就弄清了证明这个定理的知识基础、逻辑结构、信息流程（3）解题教学应该既有证明1又有证明2.即既吃第一、二块饼、又吃第三块饼不要只吃第一、二块饼（不吃第三块饼），也不要只吃第三块饼（不吃第一、二块饼）然而，事情并没有结束 第5、一个质疑的释疑. 中小学数学2004年第9期对上述证明2的逻辑合理性提出了质疑，理由是把看成两个三角形不妥因为在平面几何内，不共线三点惟一确定一个三角形，也就是说是的另一种表示方式，是指同一个三角形，考虑“与”的先决条件已经是两个全等三角形了，即把一个三角形偷

38、换成两个全等三角形，以下证明已多余错误的性质是违反了同一律“偷换论题” 更早的时候已有教师问过笔者：证明“与全等”只不过是说自己与自己全等，等于什么也没证可见，这些质疑的实质涉及全等知识的深入理解是的，能重合的图形叫全等形，但重合有两种方式，几何学上称为直接合同（仅经平面上的平移、旋转即可重合）与镜面合同（须有空间的翻转才能重合）不共线三点给定之后，三角形的形状和大小的确已完全确定，但对作一个空间的翻转得出的，已经是另一种位置的三角形了，如图21，一般情况下，只作平移、旋转不能保证这两个三角形重合（直观说，是不能保证的边与的边为对应边），即不能保证这两 图21个三角形直接合同；当我们说这两个三

39、角形全等时，只是说这两个三角形经过空间翻转能够重合，即镜面合同而非直接合同 正确理解上述关于等腰三角形性质定理的证明，说的是，将作一个空间翻转得出后，这两个三角形还能直接合同这是等腰三角形的特殊性质，与既直接合同又镜面合同（既，又）所以，“质疑”是把两种不同的全等混为一谈了，把永远成立，当作永远成立（通常是不成立的），也忘了三角形全等有对应边、对应角等元素对应的严格要求3-3 解题教学的一个示例例6 若实数满足，求的取值范围（2010，10，新疆） 第一、解题思路的探求（扩元）解法1 设，有，与联立，消去，得关于的二次方程 由为实数，有判别式非负 ，即 ，解得 得的取值范围为解法2 设，有，与

40、联立，消去，得关于的二次方程 由为实数，有判别式非负 ，解得 得的取值范围为第二、解题过程的第一次反思（1）的取值范围中是包括0的，当时能肯定、必定为二次方程吗？（2）你怎么知道、中的能够取到呢？方程中的不能取全体实数，判别式能否取等号要不要验证？（3）消去与消去哪个稍好一些？学生看出消去稍好一些，让学生在原解答的基础上修订解答解法3 （解法1的修订）设，当时，知，且由有，故满足题设条件 当时，让与联立，消去，得关于的二次方程 由为实数，有 ，即 解得 当时，相应的合并、得的取值范围为解法4 （解法2的修订）设，当时，知，且由有，故满足题设条件 当时，让与联立，消去，得关于的二次方程 由为实数

41、，有 ，解得 当时，相应的合并、得的取值范围为第三、解题过程的第二次反思解法3、4完善了解法1、2，但还有反思的余地：（1），既讨论又合并，有无多余的思维回路？（2）除了引进还有什么思路？ 注意到，判别式与配方法是相通的，改用配方法可以避开讨论请看：由求根公式，只需 ， 只需 ，只需 ，只需方程两边乘以4a 这时，式揭示了判别式的实质，它是一个完全平方式，并且在方程的观点之下它是配方的结果，因而就具有配方法与实数平方的双重功能解法5 （配方法）设，与联立，消去，得 ，两边乘以后，配方 ，有 ， 得 当时，由知，从而；当时，由知，从而所以的取值范围为第四、解题过程的第三次反思以上引进是扩元，这道题只有扩元的思路吗？否定扩元，可以保元也可以消元先说消元，可以消去也可以消去，消去好一些解法6 把代入，有 ，得的取值范围为解法7 把代入，有 ，得的取值范围为（还有一个不易想到的消元见解法10）第五、解题过程的第四次反思（1）做分母，要不要讨论的情况？分情况讨论是不是必要的？（2）要不要验证不等式取等号?改分母缩小为分子放大，便可以避免分母为0解法8 把代入，有，等号当，从而时等式成立，得的取值范围为第六、解题过程的第五次反思（命题