北京高考近5年三角-数列考题.doc

\\ 2017数列 （2017年文科数列1道大题）（2017年理科数列1小题、1大题） 2017年北京高考文科第15题 15. 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，． （1）求 的通项公式； （2）求和：． 15. （1） 等差数列 ，，， 可得：，解得 ， 所以 的通项公式：． （2） 由（Ⅰ） 可得 ， 等比数列 满足 ，， 可得 （等比数列奇数项符号相同）， 所以 ， 是等比数列，公比为 ，首项为 ， ． 2017年北京高考理科第10题 （10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______. 【答案】1 【解析】 2017年北京高考理科第20题 20. 设 和 是两个等差数列，记 ， 其中 表示 ，，， 这 个数中最大的数． （1）若 ，，求 ，， 的值，并证明 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时，； 或者存在正整数 ，使得 ，，， 是等差数列． 20. （1） ，，，，，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 下面证明：对 ，且 ，都有 ， 当 ，且 时， 则 由 ，且 ， 则 ，则 ， 因此，对 ，且 ，，， 又 ， 所以 对 均成立， 所以数列 是等差数列． （2） 设数列 和 的公差分别为 ，，下面考虑 的取值， 由 ，，，， 考虑其中任意 （，且 ）， 则 下面分 ，， 三种情况进行讨论， ①若 ，则 ， 当 ，， 则对于给定的正整数 而言，，此时 ， 所以数列 是等差数列； 当 ，， 则对于给定的正整数 而言，， 此时 ， 所以数列 是等差数列； 此时取 ，则 ，，，是等差数列，命题成立； ②若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数， 故必存在 ，使得 时，， 则当 时， 因此当 时，， 此时 ，故数列 从第 项开始为等差数列，命题成立； ③若 ，此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在 ，使得 时，， 则当 时， 因此，当 时，， 此时 令 ，，， 下面证明： 对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ，， 若 ，取 ， 表示不大于 的最大整数， 当 时， 此时命题成立； 若 ，取 ， 当 时， 此时命题成立， 因此对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时，； 综合以上三种情况，命题得证． 2017三角 （2017文科一小题一大题）（2017理科一小题一大题） 2017年北京高考文科第9题 9. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则 ． 9. 2017年北京高考文科第16题 16. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期； （2）求证：当 时， 16. （1） 所以 ， 所以 的最小正周期为 ． （2） 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 2017年北京高考理科第12题 （12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________. 【答案】 【解析】 2017年北京高考理科第15题 （15）（本小题13分） 在△ABC中， =60，c=a. （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积. 【答案】 （1）根据正弦定理 （2）当时，， △ABC中 2016数列 （2016文科一大题）（2016理科一小题一大题） 2016年北京高考文科第15题 15. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，，，． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和． 15. （1） 等比数列 的公比 ， 所以 ，． 设等差数列 的公差为 ． 因为 ，， 所以 ，即 ． 所以 ． （2） 由（1）知，，． 因此 ． 从而数列 的前 项和 2016年北京高考理科第12题 12. 已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ，，则 ． 12. 【解析】 为等差数列，，所以 ，，解得 ．所以 ． 2016年北京高考理科第20题 20. 设数列 ：，，，．如果对小于 的每个正整数 都有 ，则称 是数列 的一个“ 时刻”．记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合． （1）对数列 ：，，，，，写出 的所有元素； （2）证明：若数列 中存在 使得 ，则 ； （3）证明：若数列 满足 ，则 的元素个数不小于 ． 20. （1） 的元素为 和 ． （2） 因为存在 使得 ， 所以 ． 记 ， 则 ，且对任意正整数 ，． 因此 ． 从而 ． （3） 当 时，结论成立． 以下设 ． 由（2）知 ． 设 ，． 记 ， 则 ． 对 ，记 ． 如果 ，取 ， 则对任何 ，． 从而 且 ． 又因为 是 中的最大元素， 所以 ． 从而对任意 ，，特别地，． 对 ，． 因此 ． 所以 ． 因此 的元素个数 不小于 ． 2016三角 （2016文科一小题一大题）（2016理科一小题一大题） 2016年北京高考文科第13题 13. 在 中，，，则 ． 13. 【解析】在 中，由正弦定理知 ，又 ，，所以 ，解得 ，又 为锐角，所以 ，，所以 ． 2016年北京高考文科第16题 16. 已知函数 的最小正周期为 ． （1）求 的值； （2）求 的单调递增区间． 16. （1） 因为 ， . 所以 ． （2） 由 可知 ， ，， ， ． 所以单调递增区间是 ． 2016年北京高考理科第7题 7. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图象上，则 A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 7. A 【解析】因为点 在 的图象上， 所以 ． 点 向左平移 个单位长度得到 ． 因为 在 的图象上， 所以 ．所以 ， 所以 ．又 ，所以 ． 2016年北京高考理科第15题 15. 在 中，． （1）求 的大小； （2）求 的最大值． 15. （1） 因为 ， 所以 ，所以 ． （2） 在 中，， 所以当 时， 的最大值为 ． 2015数列 （2015文科一大题）（2015理科一小题一大题） 2015年北京高考文科第16题 16. 已知等差数列 满足 ，． （1）求 的通项公式； （2）设等比数列 满足 ，，问： 与数列 的第几项相等? 16. （1） 设等差数列 的公差为 ． 因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ，故 ． 所以 （）． （2） 设等比数列 的公比为 ， 因为 ，， 所以 ，， 所以 ． 由 得 ， 所以 与数列 的第 项相等． 2015年北京高考理科第6题 6. 设 是等差数列，下列结论中正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6. C 【解析】数列 是等差数列，如数列 ，满足 ，则 ；如数列 ，满足 ，则 ；所以A，B不正确；对于等差数列 ，所以D不正确；等差数列若 ，则数列 是单调递增数列，有 ，所以C正确． 2015年北京高考理科第20题 20. 已知数列 满足：，，且 记集合 ． （1）若 ，写出集合 的所有元素； （2）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明： 的所有元素都是 的倍数； （3）求集合 的元素个数的最大值． 20. （1） ，，． （2） 因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数． 由 可归纳证明对任意 ， 是 的倍数． 如果 ，则 的所有元素都是 的倍数． 如果 ，因为 或 ，所以 是 的倍数，于是 是 的倍数． 类似可得 ，， 都是 的倍数． 从而对任意 ， 是 的倍数，因此 的所有元素都是 的倍数． 综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则 的所有元素都是 的倍数． （3） 由 ， 可归纳证明 （）． 因为 是正整数， 所以 是 的倍数． 从而当 时， 是 的倍数． 如果 是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 是 的倍数． 因此当 时，，这时 的元素个数不超过 ． 如果 不是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 不是 的倍数． 因此当 时，，这时 的元素个数不超过 ． 当 时， 有 个元素． 综上可知，集合 的元素个数的最大值为 ． 2015三角 （2015文科一小题一大题）（2015理科一小题一大题） 2015年北京高考文科第11题 11. 在 中，，，，则 ． 11. 2015年北京高考文科第15题 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期； （2）求 在区间 上的最小值． 15. （1） 因为 ， 所以 的最小正周期为 ． （2） 因为 ，所以 ． 当 ，即 时， 取得最小值． 所以 在区间 上的最小值为 ． 2015年北京高考理科第12题 12. 在 中，，，，则 ． 12. 【解析】因为 中，，，， 所以 ，， 所以 ，， 所以 ． 2015年北京高考理科第15题 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期； （2）求 在区间 上的最小值． 15. （1） 由题意得 ， 所以 的最小正周期为 ． （2） 因为 ，所以 ． 当 ，即 时， 取得最小值． 所以 在区间 上的最小值为 ． 2014数列 （2014文科一大题）（2015理科两小题一大题） 2014年北京高考文科第15题 15. 已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列． （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 15. （1） 设等差数列 的公差为 ，由题意得： 所以 设等比数列 的公比为 ，由题意得： 解得 ．所以 从而 （2） 由（1）知， 数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 所以数列 的前 项和为 2014年北京高考理科第5题 5. 设 是公比为 的等比数列，则 “ ” 是" 为递增数列"的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. D 2014年北京高考理科第12题 12. 若等差数列 满足 ，， 则当 时， 的前 项和最大． 12. 【解析】根据等差数列的性质，得 ，， 于是 ，，即 ，， 故 为 的前 项和中的最大值． 2014年北京高考理科第20题 20. 对于数对序列 ，记 ，，其中 表示 和 两个数中最大的数． （1）对于数对序列 ，，求 ， 的值； （2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 ， 组成的数对序列 ， 和 ，，试分别对 和 时两种情况比较 和 的大小； （3）在由 个数对 ，，，， 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 最小，并写出 的值．（只需写出结论） 20. （1） （2） 当 时， 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 当 时， 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 综上，这两种情况下都有 ． （3） 数对序列 （不唯一）对应的 最小，此时 ． 2014三角 （2014文科一小题一大题）（2014理科一小题一大题） 2014年北京高考文科第12题 12. 在 中，，，，则 ； ． 12. ， 2014年北京高考文科第16题 16. 函数 的部分图象如图所示． （1）写出 的最小正周期及图中 ， 的值； （2）求 在区间 上的最大值和最小值． 16. （1） 的最小正周期为 ，，． （2） 因为 ，所以 于是，当 ，即 时， 取得最大值 ； 当 ，即 时， 取得最小值 ． 2014年北京高考理科第14题 14. 设函数 （ ，， 是常数，， ）．若 在区间 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为 ． 14. 【解析】记 的最小正周期为 ．由题意知 ， 又 ，且 ， 可作出示意图如图所示（一种情况）： 所以 ， ， 所以 ，所以 ． 2014年北京高考理科第15题 15. 如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ， ． （1）求 ； （2）求 的长． 15. （1） 因为 所以 （2） 在 中 ， 即 解得 在 中， 所以 ． 2013数列 （2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题） 2013年北京高考文科第11题 11. 若等比数列 满足 ，，则公比 ；前 项和 ． 11. ， 2013年北京高考文科第20题 20. 给定数列 ，，，，对 ，，，，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 ，，， 的最小值记为 ，． （1）设数列 为 ，，，，写出 ，， 的值； （2）设 ，，， 是公比大于 的等比数列，且 ，证明：，，， 是等比数列； （3）设 ，，， 是公差大于 的等差数列，且 ，证明：，，， 是等差数列． 20. （1） ，，． （2） 因为 ，公比 ，所以 ，，， 是递增数列． 因此，对 ，，，，，．故 ，，，， 因此， 且 ，即 ，，， 是等比数列． （3） 设 为 ，，， 的公差． 对 ，因为 ，，所以 又因为 ，所以 从而 ，，， 是递增数列．因此 又因为 所以 因此 ，所以 所以 因此对 ，，， 都有 即 ，，， 是等差数列． 2013年北京高考理科第10题 10. 若等比数列 满足 ，，则公比 ；前 项和 ． 10. ， 2013年北京高考理科第20题 20. 已知 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 的最小值记为 ，． （1）若 为 ，是一个周期为 的数列（即对任意 ），写出 的值； （2）设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 是公差为 的等差数列； （3）证明：若 ，则 的项只能是 或者 ，且有无穷多项为 ． 20. （1） ． （2） （充分性）因为 是公差为 的等差数列，且 ，所以 因此 （必要性）因为 ，所以 又因为 ，所以 于是，．因此 即 是公差为 的等差数列． （3） 因为 ，所以 故对任意 ． 假设 中存在大于 的项． 设 ，并且对任意 ．又因为 ，所以 于是， 故 与 矛盾． 所以对于任意 ，有 ，即非负整数列 的各项只能为 或 因为对任意 ，所以 ．故 因此对于任意正整数 ，存在 满足 ，且 ，即数列 有无穷多项为 2013三角 （2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题） 2013年北京高考文科第5题 5. 在 中，，，，则 A. B. C. D. 5. B 【解析】由正弦定理： 及已知得 ． 所以 ． 2013年北京高考文科第15题 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及最大值； （2）若 ，且 ，求 的值． 15. （1） 因为 所以 的最小正周期为 ，最大值为 ． （2） 因为 ，所以 因为 ，所以 所以 故 ． 2013年北京高考理科第3题 3. " "是"曲线 过坐标原点"的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. A 2013年北京高考理科第15题 15. 在 中，，，． （1）求 的值； （2）求 的值． 15. （1） 因为 ，，， 所以在 中，由正弦定理得 ． 所以 ．故 ． （2） 由（1）知 ，所以 ． 又因为 ，所以 ．所以 ． 在 中，．所以 ．