八年级数学平方根练习进步.doc

.- 第六章 实数 知识网络： 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现） 判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。 3、有理数与无理数的区别 （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 （1）若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质 有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数 （1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） （2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值 （1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。 （2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。 （3） 3、倒数 （1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a（a≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()。 3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。 （4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方． 考点六、实数的运算 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 （3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 （4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。 6.1平方根同步练习（1） 知识点： 1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根。A叫做被开方数。 1． 平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 2． 平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 一、基础训练 1．9的算术平方根是（ ） A．-3 B．3 C．3 D．81 2．下列计算不正确的是（ ） A．=2 B．=9 C．=0.4 D．=-6 3．下列说法中不正确的是（ ） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是2 C．27的立方根是3 D．立方根等于-1的实数是-1 4．的平方根是（ ） A．8 B．4 C．2 D． 5．-的平方的立方根是（ ）A．4 B． C．- D． 6．的平方根是_______；9的立方根是_______． 二、能力训练 7．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ） A．x+1 B．x2+1 C．+1 D． 8．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1 9．已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy的值是（ ） A．4 B．-4 C． D．- 10．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______． 三、综合训练 11．利用平方根、立方根来解下列方程． （1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0； （3）x3-2=0； （4）（x+3）3=4． 平方根第2课时 要点感知1 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的__________或__________,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的__________. 预习练习1-1 (2014梅州)4的平方根是__________. 1-2 36的平方根是__________，-4是__________的一个平方根. 要点感知2 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.正数有__________个平方根,它们__________；0的平方根是__________；负数__________. 预习练习2-1 下列各数：0，(-2)2，-22，-(-5)中,没有平方根的是__________. 2-2 下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明为什么？ (1)(-3)2； (2)-42； (3)-（a2+1）. 要点感知3 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根可以用表示__________,正数a的平方根可以用表示__________,读作“__________”. 预习练习3-1 计算：=__________，-=__________，=__________. 知识点1 平方根 1.6的平方根是( ) A.4 B.4 C.8 D.8 2.下面说法中不正确的是( ) A.6是36的平方根 B.-6是36的平方根 C.36的平方根是6 D.36的平方根是6 3.下列说法正确的是( ) A.任何非负数都有两个平方根 B.一个正数的平方根仍然是正数 C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根 4.填表： a 2 -2 a2 81 225 5.求下列各数的平方根： (1)100； (2)0.008 1； (3). 知识点2 平方根与算术平方根的关系 6.下列说法不正确的是( ) A.21的平方根是 B.的平方根是 C.0.01的算术平方根是0.1 D.-5是25的一个平方根 7.若正方形的边长为a,面积为S,则( ) A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a= D.S= 8.已知25x2-144=0，且x是正数，求2的值. 9.下列说法正确的是( ) A.因为3的平方等于9，所以9的平方根为3 B.因为-3的平方等于9，所以9的平方根为-3 C.因为(-3)2中有-3，所以(-3)2没有平方根 D.因为-9是负数，所以-9没有平方根 10.|-9|的平方根是( ) A.81 B.3 C.3 D.-3 11.计算：=__________,-=__________,=__________. 12.若8是m的一个平方根，则m的另一个平方根为__________. 13.(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，这个非负数是多少？ (2)已知a-1和5-2a是m的平方根，求a与m的值. 挑战自我 14.已知2a-1的平方根是3,3a+b-1的平方根是4,求a+2b的平方根. 6.2 立方根 要点感知1 一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________的立方根. 预习练习1-1 -8的立方根是( ) A.-2 B.2 C.2 D.- 1-2 -64的立方根是__________,-是__________的立方根. 要点感知2 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数的立方根是__________；负数的立方根是__________；0的立方根是__________. 预习练习2-1 下列说法正确的是( ) A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 要点感知3 一个数a的立方根可以用表示,读作“__________”,其中__________是被开方数,__________是根指数. 预习练习3-1 计算：=__________. 知识点1 立方根 1.的立方根是( )A.-1 B.0 C.1 D.1 2.若一个数的立方根是-3,则该数为( )A.- B.-27 C. D.27 3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15的立方根是；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.立方根等于本身的数为__________. 5.的平方根是__________. 6.若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是__________. 7.求下列各数的立方根： (1)0.216； (2)0； (3)-2； (4)-5. 8.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)-. 9.下列说法正确的是( ) A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根比这个数平方根小 C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D.与互为相反数 10.计算的正确结果是( ) A.7 B.-7 C.7 D.无意义 11.正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是正方体B的棱长的( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍 12.-27的立方根与的平方根之和是__________. 13.计算：-=__________，=__________. 14.已知2x+1的平方根是5，则5x+4的立方根是__________. 15.若与(b-27)2互为相反数，求-的立方根. 挑战自我 16.请先观察下列等式： =2， =3， =4， … (1)请再举两个类似的例子； (2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式. 6.3 实数 第1课时 实数 要点感知1 无限__________小数叫做无理数,__________和__________统称为实数. 预习练习1-1 下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数，正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 1-2 实数-2，0.3，17，2，-π中，无理数的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 要点感知2 实数可以按照定义和正负性两个标准分类如下： 预习练习2-1 给出四个数-1，0，0.5，，其中为无理数的是( ) A.-1 B.0 C.0.5 D. 要点感知3 __________和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个__________. 预习练习3-1 和数轴上的点一一对应的是( )A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3-2 如图，在数轴上点A表示的数可能是( ）A.1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 知识点1 实数的有关概念 1.下列各数中是无理数的是( )A. B.-2 C.0 D. 2.(2013安顺)下列各数中，3.141 59，-，0.131 131 113…，-π，，-，无理数的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.写出一个比-2大的负无理数__________. 知识点2 实数的分类 4.下列说法正确的是( ) A.实数包括有理数、无理数和零 B.有理数包括正有理数和负有理数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数 5.实数可分为正实数，零和__________.正实数又可分为__________和__________，负实数又可分为__________和__________. 6.把下列各数填在相应的表示集合的大括号内. -6，π，-，-|-3|，，-0.4，1.6，，0，1.101 001 000 1… 整数：{ ,…}， 负分数：{ ,…}， 无理数：{ ,…}. 知识点3 实数与数轴上的点一一对应 7.下列结论正确的是( ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间还有无数个点 8.若将三个数-，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________. 9.如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O′,点O′所对应的数值是__________. 10.下列实数是无理数的是( ) A.-2 B. C. D. 11.下列各数：，0，，，，0.303 003…(相邻两个3之间多一个0)，1-中，无理数的个数为( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 12.有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-是17的平方根.其中正确的有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 13.若a为实数，则下列式子中一定是负数的是( )A.-a2 B.-(a+1)2 C.- D.-(a2+1) 14.如图,在数轴上表示实数的点可能是( ) A.点P B.点Q C.点M D.点N 15. 下列说法中,正确的是( ) A.，，都是无理数 B.无理数包括正无理数、负无理数和零 C.实数分为正实数和负实数两类 D.绝对值最小的实数是0 16. 有一个数值转换器,原理如下：当输入的x为64时,输出的y是( ) A.8 B. C. D. 17.在下列各数中,选择合适的数填入相应的集合中. -，，，3.14，-，0，-5.123 45…，，-. 有理数集合：{ ,…} 无理数集合：{ ,…} 正实数集合：{ ,…} 负实数集合：{ ,…} 18.有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值. 挑战自我 19.小明知道了是无理数,那么在数轴上是否能找到距原点距离为的点呢？小颖在数轴上用尺规作图的方法作出了在数轴上到原点距离等于的点,如图.小颖作图说明了什么？