八年级数学培优资料整理汇编(全年级全章节培优,保证经典编辑).doc

,. 第01讲 全等三角形的性质与判定 考点方法破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典考题赏析 【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ） B A C D E F A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90. 在△ABC和△DCB中 ∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D ⑵在△ABE和△DCE中 ∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE ⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中 ∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C. 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 A F C E D B 02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）. ⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC； A B C D O F E ⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE. 【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件. A C E F B D 证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF 在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C 在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE 【变式题组】 01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 A E 第1题图 A B C D E B C D O 第2题图 02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC. A F E C B D 【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O. ⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________; ⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________. B（E） O C F 图③ F A B C D E F A B(E) C D D A 图② 图① 【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA ⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC 在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA ∴∠AFD＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48，则∠APD等于（ ） A．42 B．48 C．52 D．58 02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ） A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90 C． AC＝DF D．EC＝CF E F B A B P D E C 第1题图 A C D G 第2题图 03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上. ⑴求证：AB⊥ED； ⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明. B F A C E N M P D D A C B F E 【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90，∠PAD＋∠QAC＝90就可以. 2 1 A B C P Q E F D 证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高， ∴∠BDA＝∠CEA＝90, ∴∠1＋∠BAD＝90，∠2＋∠BAD＝90，∴∠1＝∠2. 在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC， ∴AP＝AQ ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90 ∵∠CAQ＋∠PAD＝90，∴AP⊥AQ 【变式题组】 A B C D F E 01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD. 02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45，这间房子的宽度是（ ） A． B． C．bm D．am A E C B A 75 C 45 B N M 第2题图 第3题图 D 03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________ 演练巩固反馈提高 01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A．72 B．60 C．58 D．50 第3题图 第1题图 C A O D B P 第2题图 A C A/ B B/ a α c c a 50 b 72 58 02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30，则∠ACA/的度数是（ ） A．20 B．30 C．35 D．40 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90 E 2 1 N A B D C 第5题图 A B C D E A B C D 第4题图 第6题图 M 05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD C. ∠ABC＝∠EBD＝45 D. AC∥BE 06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ） A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119，∠ACD＝98,那么∠ECA的度数是___________. 08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25,∠ACB＝105，∠DAC＝10，则∠DFB的度数为_______. 09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______ 第10题图 A B C D E 第9题图 E A B C D A B C D E F O C A E B D 第7题图 第8题图 10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____. 11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC. D A C . Q P . B D B A C E F 12．如图, △ABC中，∠BCA＝90，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D. ⑴求证：AE＝CD； ⑵若AC＝12cm, 求BD的长. A E B F D C 13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明. 14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E. B D E C l A ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法） A E F B D C 15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF. 16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整） A B C D A1 B1 C1 D1 ⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论. 培优升级奥赛检测 01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 F 第6题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E B C F A D E C O A E O B F C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（） A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC 04．下面有四个命题，其中真命题是（ ） A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等 B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______. 06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号） 07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD. ⑴求证：BE⊥AC； A E F C D B ⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定. 08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE. A B E D C 09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90. A E B D C 10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90，∠A＝∠D＝30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F. ⑴求证：AF＋EF＝DE; ⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0＜α＜60，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立； ⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60＜β＜180,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明A F D F C B E D A C B E A C B 图① 图② 图③ 理由。 A B C D E 11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. A B E F C D ⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF； A E B F C D ⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180，DB＝DC，∠BDC=120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明. 12．（北京）如图，已知△ABC. ⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； C B A ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE. A D E G C H B 13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE. 14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120，∠MBN＝60, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F. 当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明） 当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. D A B C F N E M D 图1 A B C F N E M D A B C F N E M 图2 图3 第02讲 角平分线的性质与判定 考点方法破译 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典考题赏析 【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN 【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可. 证明：∵OD平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD与△OAD中， ∴△OBD≌△OAD ∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以PM＝PN 【变式题组】 01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上. 02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN 【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120，求∠B的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形. 解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点， ∴CE＝CF 在Rt△CFA和Rt△CEA中， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE 又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF ∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90 在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD ∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120，∴∠CDF＝60，即∠B＝60. 【变式题组】 01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求 02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180，请画图并证明你的结论. 【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD 【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形. 证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90， ∴∠1＝∠3 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF ∴BD＝CF ∴CE＝BD 【变式题组】 01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD. 02．如图，在△ABC中，∠B＝60，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F. ⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE＋CD＝AC. 演练巩固反馈提高 01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ） A．mn B．mn C． mn D．2 mn 02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个 A． 1 B．2 C．3 D．4 03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ） A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③ 04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠CAB＝30，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ） A．50 B．45 C．40 D．35 06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ） A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上 C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90 D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P 08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 09．如图，△ABC中，∠C＝90AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________ 11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF 12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF. 培优升级奥赛检测 01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 02．已知Rt△ABC中，∠C＝90，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ） A．18 B．16 C．14 D．12 03．如图，△ABC中，∠C＝90，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________ 04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________ 05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________ 06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B) 07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC 08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60，∠ACB＝40，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP 第3讲 轴对称及轴对称变换 考点方法破译 1．轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 2．线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件. 经典考题赏析 【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ） 【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D. 【变式题组】 01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ） 02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） 【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1） 【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D. 【变式题组】 01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ） A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3 02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________. 03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________. 【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70，则∠ACD＝（ ） A．30 B．20 C．15 D．10 【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70＋x）＝90，故x＝10.故选D. 【变式题组】 01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65，则∠AED’等于（ ） A．70 B．65 C．50 D．25 02．如图，△ABC中，∠A＝30，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82，则原三角形中∠B＝___________. 03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由. ⑵实践与运用： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小. 【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF． 【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可． 证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4 【变式题组】 01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上． 02．如图，△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝15，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm． 03．如图，△ABC中，∠BAC＝126，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________． 04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm． 【例5】（眉山）如图，在33的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF． 【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示． 【变式题组】 01．（泰州）如图，在22的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个． 02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： ⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； ⑵涂黑部分成轴对称图形． 如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙） 【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？ 【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答． 解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，则点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小． 证明：在CD上任取与M不重合的点M’， ∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线， ∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’， ∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’， 即AM