初级中学数学全等三角形地证明题含规范标准答案.doc

\\ 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A D B C 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90，求证： D A B C 延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F 2 1 证明：连接BF和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC B A C D F 2 1 E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90 ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180，∠CFE＋∠CFA＝180 ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A D B C 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 8. 已知：D是AB中点，∠ACB=90，求证： D A B C 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F 2 1 证明：连接BF和EF。 ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC B A C D F 2 1 E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A C D B 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180，求证：AE=AD+BE 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90 ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180，∠CFE＋∠CFA＝180 ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC 又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180 ∵∠BFE+∠CFE=180 ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C D C B A F E AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD， ∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC， ∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。 14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A B C D 证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： △AED是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD ∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C. 15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PBDE。当∠AEB越小，则DE越小。 证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90 ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90 △DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180-∠FDB)/2>45 RT△AFB中，∠FBA=90-∠DBF <45 ∠AFB=90-∠FBA>45 ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE 49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. A B E C D ∵AB=DC,AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE，AB=DC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． A B C D E F 图9 作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45,∠BCH=45 ∵∠CAH=90-∠CDA, ∠BCE=90-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45 ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE