三角函数基础知识和主要公式定理.doc

.\ 三角函数基础知识 （划红线内容重点学习，其余部分建议学习） 1、任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是 (2)三角函数值的符号 正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的． 正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同) 2．同角三角函数的基本关系式 (1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1 (3)平方关系：sin2α+cos2α=1 1+tg2α=sec2α 1+ctg2α=csc2α 3．诱导公式 (1) k360+α(k∈Z)，-α，180a，360-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即 sin(k360+α)＝sinα，cos(k360+α)=cosα tg(k360+α)=tgα，ctg(k360+α)=ctgα(k∈Z) sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosα tg(-α)=-tgα，ctg(-α)=-tgα sin(180+α)=-sinα， cos(180+α)=-cosα tg(180+α)=tgα， ctg(180+α)=ctgα sin(180-α)=sinα，cos(180-α)=-cosα tg(180-α)=-tgα，ctg(180-α)=-ctgα sin(360-α)=-sinα，cos(360-α)=cosα tg(360-α)=-tgα，ctg(360-α)=-ctgα (2) 90α， 270α的三角函数值等于a的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90+α)=cosα， tg(270+α)=-ctgα 综上，诱导公式可概括为k90α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”． 4．三角函数的图象和性质 (1)三角函数线 以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线． (2)三角函数的图象 正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx(如图2—4) 正切函数 y=tgx 余切函数 y=ctgx (如图2—5) (3)三角函数的周期 ①周期函数 对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． ②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期． (4)三角函数的性质 5、积化和差与和差化积 （1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。这些公式既是重点，又是难点，只有掌握准确，才能熟练应用。 （2）积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的，推导中用了“解方程组”的思想。 和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的。推导中用了“换元”的思想。 我们要熟悉推导过程，掌握推导方法，这既有助于对公式的充分理解，又有助于运用公式解决问题。 （3）要注意寻找公式特征，掌握它们的异同点：即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点。①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能运用公式化成和的形式。②如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成积的形式。例如： （4）对三角函数的和差化积，常因所采取的途径不同，而导致结果在形式上的差异，但结果实际上是一致的（如上例）。 “和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”，而忽略了答案的最简形式。例如，解如下习题： 把sin2α-sin2β化成积的形式。 解 sin2α-sin2β =sin（α+β）sin（α-β） 最后一步，往往会忽略丢掉，应予充分注意。 （5）把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当成三角函 （6）将asinα+bcosα型的三角函数式化成积的形式，即asinα+ 它为研究函数y=asinx+bcosx的性质提供了一条途径。辅助角φ终边所在 （7）所谓三角函数的和差化积是指：把“多项式”化为“单项式”而不影响原式的值的变形。因此四个和差化积公式的运用可分为以下几种类型： ①直接运用公式； ②经过简单变形后就可运用公式； ③设置辅助角，对形如asinx+bcosx型的三角函数式进行和差化积； ④“三项式”的和差化积问题，如把1+sinθ+cosθ化成积的形式。 6、两角和与差的三角函数 sin(αβ)=sinαcosαβcosαsinβ 7、二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α=2sinαcosα 1sin2α=sin2α+cos2α2sinαcosα=(sinαcosα)2 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα-cos2αsinα=3sinα-4sin3α cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=4cos3α-3cosα 8、半角的正弦、余弦、正切 -2α的半角等． 三角函数．