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分式的知识点及典型例题分析
1、分式的定义：
例：下列式子中，、8a2b、-、、、2-、、 、、、、、中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
⑴； ⑵ ；⑶；⑷；⑸；⑹.
（2）下列式子，哪些是分式？
； ；； ；；.
2、分式有，无意义，总有意义：
（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；
（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；
注意：（≠0）
例1：当x 时，分式有意义； 例2：分式中，当时，分式没有意义
例3：当x 时，分式有意义。 例4：当x 时，分式有意义
例5：，满足关系 时，分式无意义；
例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ）
A． B. C. D.
例7：使分式 有意义的x的取值范围为（ ）A． B． C． D．
例8：要是分式没有意义，则x的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3
同步练习题：
3、分式的值为零：
使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式的值为0 例2：当x 时，分式的值为0
例3：如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. B.2 C. D.以上全不对
例4：能使分式的值为零的所有的值是 （ ）
A B C 或 D或
例5：要使分式的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2
例6：若,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数
4、分式的基本性质的应用：
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例1： ； ；如果成立,则a的取值范围是________；
例2：
例3：如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
例4：如果把分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
例5：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍
例6：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍
例7：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小倍
例8：若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（ ）
A．扩大12倍 B．缩小12倍 C．不变 D．缩小6倍
例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A、 B、 C、 D、
例10：根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A B C D
例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， ；
例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 。
5、分式的约分及最简分式：
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
②分式约分的依据：分式的基本性质．
③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。
例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
例2：下列约分正确的是（ ）
A、； B、； C、； D、
例3：下列式子正确的是( )
A B. C. D.
例4：下列运算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
例5：下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
例6：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、
例7：约分： ；= ；； 。
例8：约分： ＝ ； ； ；
； ； ____________________。
例9：分式，，，中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、分式的乘，除，乘方：
分式的乘法：乘法法测：=.
分式的除法：除法法则：==
分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()n=(n为正整数)
例题：
计算：（1） （2） （3）
计算：（4） （5） （6）
计算：（7） （8） （9）
计算：（10） （11） （12）
计算：（13） （14）
求值题：（1）已知：，求的值。
（2）已知：，求的值。
（3）已知：，求的值。
例题：
计算：（1） （2）= （3）=
计算：（4）= （5）
（6）
求值题：（1）已知： 求的值。
（2）已知：求的值。
例题：计算的结果是（ ）A B C D
例题：化简的结果是（ ）A. 1 B. xy C. D .
计算：（1）；（2） （3）(a2－1)
7、分式的通分及最简公分母：
通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）
分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。
“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。
例如：最简公分母就是。
“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。
例如：最简公分母就是
“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。
例如：最简公分母是：
这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。
例1：分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
例2：对分式，，通分时， 最简公分母是（ ）
A．２４x2y３ B．１２ｘ２ｙ２ Ｃ．２４ｘｙ２ Ｄ．１２ｘｙ２
例3：下面各分式：,,,，其中最简分式有（ ）个。
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
例4：分式，的最简公分母是 .
例5：分式a与的最简公分母为________________；
例6：分式的最简公分母为 。
8、分式的加减：
分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。
2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。
例1：= 例2：=
例3：= 例4：=
计算：（1） （2） （3）
（4） －－.
例5：化简++等于（ ） A． B． C． D．
例6： 例7： 例8：
例9： 例10：－ 例11：
例12：
练习题：（1） （2） （3） +.
（4） （5）
例13：计算的结果是（ ）A B C D
例14：请先化简：，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.
例15：已知： 求的值。
9、分式的混合运算：
例1： 例2：
例3： 例4：
例5： 例6：
例7 例8：
例9：
练习题：
10、分式求值问题：
例1：已知x为整数，且++为整数，求所有符合条件的x值的和.
例2：已知x＝2，y＝，求的值.
例3：已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+的值为________．
例4：已知实数a满足a2＋2a－8=0，求的值.
例5：若 求的值是（ ）．A． B． C． D．
例6：已知，求代数式的值
例7：先化简，再对取一个合适的数，代入求值．
练习题：
（1），其中x=5. （2）,其中a=5 （3）,其中a=-3，b=2
（4） ；其中a=85； （5），其中x= -1
（6）先化简，再求值：(x+2－).其中x＝－2.
（7）
（8）先化简，，再选择一个你喜欢的数代入求值．
11、分式其他类型试题：
例1：观察下面一列有规律的数：，，，，，，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n为正整数）
例2： 观察下面一列分式：根据你的发现，它的第8项是 ，第n项是 。
例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ）
A 10 B 20 C 55 D 50
例4：当x=_______时,分式与互为相反数.
例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆＝，根据这个规则☆的解为
（ ） A． B． C．或1 D．或
例6：已知，则；
例7： 已知，则（ ）
A． B． C． D．
例8：已知，求的值；
例9：设,则的值是( ) A. B.0 C.1 D.
例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式
ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ
例11：先填空后计算：
①= 。= 。= 。（3分）
②（本小题4分）计算：
解：
=
12、化为一元一次的分式方程：
（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
(3)解整式方程； (4)验根．
例1：如果分式的值为－1，则x的值是 ；
例2：要使的值相等，则x=__________。
例3：当m=_____时，方程=2的根为.
例4：如果方程 的解是x＝5，则a＝ 。
例5：(1) (2)
例6:解方程：
例7：已知：关于x的方程无解，求a的值。
例8：已知关于x的方程的根是正数，求a的取值范围。
例9：若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；
例10：当m为何值时间？关于的方程的解为负数？
例11：解关于的方程
例12：解关于x的方程:
例13：当a为何值时, 的解是负数?
例14：先化简,再求值:,其中x,y满足方程组
例15知关于x的方程的解为负值，求m的取值范围。
练习题： (1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8） （9）
13、分式方程的增根问题：
（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例1：分式方程+1=有增根，则m=
例2：当k的值等于 时，关于x的方程不会产生增根；
例3：若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值。
例4：取 时，方程会产生增根；
例5：若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。
例6：当k取什么值时？分式方程有增根.
例7：若方程有增根，则m的值是（ ）A．4 B．3 C．-3 D．1
例8：若方程有增根，则增根可能为（ ）
A、0 B、2 C、0或2 D、1
14、分式的求值问题：
例1：已知，分式的值为 ；
例2：若ab=1，则的值为 。
例3：已知 ，那么_________ ；
例4：已知，则的值为（ ）A B C D
例5：已知，求的值；
例6：如果=2，则=
例7：已知与的和等于，则a= , b = 。
例8：若，则分式（ ）A、 B、 C、1 D、－1
例9：有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
例10：有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+)－的值”,王东在计算时错把“a=2005”抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。
例11：有这样一道题：“计算：的值，其中”，某同学把错抄成，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？
例题：已知，求的值。
15、分式的应用题：
（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：
a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
c.工程问题： 基本公式：工作量=工时工效．
d.顺水逆水问题: v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
工程问题：
例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。
例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）
A B C D
例3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日
期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期
为x天,下面所列方程中错误的是( )
A.; B.; C.; D.
例4：一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数
是（ ）．（A） （B） （C） （D）
例5：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ）
A、 B、 B、 D、
例6：某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A B C D
例7：某工地调来72人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派人挖土．列方程①；②；③；④．
例8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种2棵树，八（1）班种66棵树所用时间与八（2）班种60棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？
例9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？
例10：服装厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好可以按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应比原计划多做多少件？
例11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？
例12：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共2750元。
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
价格价钱问题：
例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为 （ ）
A． B． C． D．
例2：用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x元，则根据题意可列方程为________．
例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？
例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？
例5：随着IT技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500元，因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)
例6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1名教师收行业统一规定的全票，其余的人按折收费，乙公司则是：所有人全部按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜，那么参加活动的学生人数是多少人？
例7：北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、
进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，
商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销
售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意
中，商厦共赢利多少元？
顺水逆水问题：
例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9
小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、
例2：一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（ ）
A、= B、= C、+3= D、+3=
例3：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。
行程问题：
例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这
段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）
A、千米 B、千米 C、千米 D、无法确定
例2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）
Ａ．倍 Ｂ．倍 Ｃ．倍 Ｄ．倍
例3：八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？
例4：A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。
例5：甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。
数字问题：
例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数.
例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。
例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。
例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时，
所得到的商是2，求这个两位数。
16、公式变形问题：
例1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满足，则用U、V表示F应是（ ）
（A） （B） （C） （D）
例2：已知公式（），则表示的公式是（ ）
A． B． C． D．
例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：
＋＝. 若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝ 厘米.
例4：已知梯形面积S、a、b、h都大于零，下列变形错误是（ ）
A． B. C. D.
例5：已知,则M与N的关系为( )
A.M>N B.M=N C.M
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