二次函数全章课程教案.doc

^` 第二十二章 二次函数教案 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。 二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时 ，具体安排如下： 22．1节 二次函数…………………………7课时 22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时 22．3实际问题与二次函数…………………3课时 教学活动 小结及测试…………………3课时 （三）、本章教学目标分析 （1）本章教学要求如下 ①经历描点法画函数图象的过程。 ②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。 ③经历二次函数图象平移的过程。 ④了解y=ax2，y=a(x＋m)2，y=a(x＋m)2＋n三类二次函数图象之间的关系。 ⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。 ⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。 ⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。 ⑧能运用配方法将变换成的的形式。 ⑨了解二次函数与二次方程的相互关系。探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。 ⑩体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程。感受数学的应用价值。发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 (2)学法教法建议 1．在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。 2. 教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。 3. 教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换）。 4. 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1.1二次函数（第一课时） 教学目标 知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 过程与方法 通过设置问题、类比、归纳等方法，引导学生思考、合作、交流，从而获得新知； 情感态度与价值观 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 教学重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学难点 寻找、发现实际生活中二次函数问题。 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、创设情境，激发求知 问题见课本P2-3 问题 1.正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系为 ； 2.多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划规定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 生：独立思考完成之后小组讨论交流； 师：巡视、倾听、指导； 师生：明确关系式并板书、标注序号。 二、观察、概括 1.教师引导学生观察上述函数关系式、，提出问题让学生思考回答； 师：这些函数关系式有什么共同特点? 生：讨论、归结 师生明确：上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。 2.结合一次函数的定义谁能给二次函数下一个具有代表意义的定义吗？ 生回答。 板书：二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 3.小组讨论二次函数的特征，并以小组为单位做总结展示。 生：结果汇总：1.自变量的最高指数为2； 2.解析式为整式； 3.一次项、常数项可以等于0； 4.二次项不能为0，其系数是不为0的任意实数。 三、运用新知，深化理解 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数?并且指出a、b、c； (1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1 (3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1 2.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间的函数关系式； 3.写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系； （通过学生已经知道了二次函数的定义，针对其学习的情况通过实际问题的解决使他们学以致用，加强巩固） 四、课堂练习 2．P3练习第1，2题。 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业： 批注 课后反思 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1.2二次函数（第二课时） 教学目标 知识与技能 使学生会用描点法画出y=a的图象，理解抛物线的有关概念。 过程与方法 使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。 情感态度与价值观 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 教学重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象、会用待定系数法确定二次函数y=ax2的解析式； 教学难点 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、情境导入 师：1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?——图象 3．一次函数的图象是什么？ 那么二次函数的图象是什么?板书课题 二、范例 师生：画二次函数y=的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：（生独立完成） x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=的图象，如图所示。 师：可做适当演示； 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 生：讨论 师：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做、议一议 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=与y=-的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2与y=-2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3. 在同一直角坐标系中，画出函数y=与y=2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 4．将所画的函数的图象作比较，你又能发现什么? 生：分组画图，分组讨论 师生：达成共识：两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、思考、归纳与概括 1.函数y＝、y=-、y=2、y=-2是函数y=ax2的特例，由函数它们的图象的共同特点，可猜想： 函数y=a的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。 2.如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察y＝、y＝2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=a开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察下图，回答以下问题； (1)点A与点B横坐标大小关系如何?是否都小于0？ 2) 点A与点B纵坐标大小关系如何? (3) 点C与点D横坐标关系如何?是否都大于0? (4) 点C与点D纵坐标大小关系如何? 师生明确：当X<0时，函数值y随着x的增大而______， 当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=a (a>0)取得最 值，最 值y=______ 3.观察函数y＝-、y=-2的图象， 让学生讨论、交流，达成共识： 当aO时，函数值y随x的增大而 ，当x=0时，函数值y＝a取得最 值是 。 五、课堂小结： 1．如何画出函数y=a的图象? 2．函数y＝a具有哪些性质? 师：可以引导学生以表格的形式记笔记。 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2 a>0 a<0 增减性 最大（小）值 a>0 a<0 a>0 a<0 六、作业： 课后反思 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1.2.2二次函数（第三课时） 教学目标 知识与技能 使学生能利用描点法正确作出函数y＝a＋k的图象。 过程与方法 让学生经历二次函数性质探究的过程，理解二次函数y＝a＋k的性质及它与函数y＝a的关系。 情感态度与价值观 使学生懂得事物之间的必然联系，培养学生良好的学习习惯； 教学重点 会用描点法画出二次函数y＝a＋k的图象，理解二次函数y＝a＋k的性质，理解函数y＝a＋k与函数y＝a的相互关系 教学难点 正确理解二次函数y＝a＋k的性质，理解抛物线y＝a＋k与抛物线y＝a的关系 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、情境导入 1．师生复习回顾：二次函数y＝2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 2．师：二次函数y＝2＋1的图象与二次函数y＝2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?引出课题，板书课题 二、分析问题，解决问题 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2+1和函数y＝2的图象，并加以比较) 问题2你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2与y＝2＋1的图象吗? 学生在练习本上面完成：(1)列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … y＝x2＋1 … 19 9 3 l 3 9 19 … (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2和y＝2＋1的图象。 问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 1.教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2＋1的函数值都比函数y＝2的函数值大1。 2.教师引导学生观察函数y＝2＋1和y＝2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4：函数y＝2＋1和y＝2的图象有什么联系? 由问题3的探索，学生可以得到结论：函数y＝2＋1的图象可以看成是将函数y＝2的图象向上平移一个单位得到的。 问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2＋1与y＝2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 问题6：你能由函数y＝2的性质，得到函数y＝2＋1的一些性质吗? 完成填空： 当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 以上就是函数y＝2＋1的性质。 三、由此及彼 问题7：你能画出y＝2－2与函数y＝2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 教学要点 让学生发表意见，归纳为：函数y＝2－2与函数y＝2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2－2的图象可以看成是将函数y＝2的图象向下平移两个单位得到的。 问题8：你能说出函数y＝2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗? 教学要点 1．让学生口答，函数y＝2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)； 2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝－2。 问题9：请学生独立思考并讨论后回答：函数y＝－＋2图象与函数 y＝－-2的图象有什么关系? 问题10：你能说出函数y＝－x2＋2以及y＝－-2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 问题11：这两个个函数图象各自有哪些性质? 问题12：课本P7思考：把抛物线y＝2向上平移5个单位，会的到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？ 四、小结 1．在同一直角坐标系中，函数y＝a＋k的图象与函数y＝a的图象具有什么关系?（确切引导学生从k的正负总结向上还是向下平移） 板书归纳：二次函数y＝a＋k的图象可以由y＝a得图像（上正下负）平移而得到：当k>0时，向上平移k个单位得到； 当k<0时，向下平移-k个单位得到。 2．你能说出函数y＝a＋k具有哪些性质? 学生在课本上列表格总结 六、作业：　　　　 批注 课后反思 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1.3.1二次函数（第四课时） 教学目标 知识与技能 使学生能利用描点法画出二次函数y＝的图象。 过程与方法 让学生经历二次函数y＝性质探究的过程，理解函数y＝的性质，理解二次函数y＝的图象与二次函数y＝a的图象的关系。 情感态度与价值观 培养学生创造思维的能力和动手实践能力，突出辩证唯物主义观点。 教学重点 会用描点法画出二次函数y＝的图象，理解其性质，理解它与y＝ax2的图象的关系。 教学难点 理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、情境导入 1．生：（回顾）在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：（可让学生课前准备方格纸） (1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。 (2)说出它们所具有的公共性质。 2．师：（提出）二次函数y＝－ (x－1)2的图象与二次函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?它也能利用将y＝－x2图像平移得到吗？这两个函数的图象之间有什么关系?我们今天就来进一步学习。板书课题 二、分析问题，解决问题 活动1：请你画出画出二次函数y＝－ (x－1)2和二次函数y＝－x2的图象。 生：在直角坐标系画出二次函数y＝－ (x－1)2和二次函数y＝－x2的图象，并加以观察 师：巡视、指导。 活动2：现在你能回答前面提出的问题吗? 让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝－(x－1)2与y＝－x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝－ (x一1)2的图象可以看作是函数y＝－x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。 思考：你可以由函数y＝－x2的性质，得到函数y＝－ (x+1)2的性质吗? 三、做一做 学生活动2：:在同一直角坐标系中画出函数y＝－ (x＋1)2与函数y＝－x2的图象，并比较它们的联系和区别 教学要点 师生：让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝－ (x＋1)2与函数y＝－x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝－ (x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。 问题；你能由函数y＝－x2的性质，得到函数y＝－ (x＋1)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x 时，函数值y随x的增大而 ；当x 时，函数值y随x的增大而 ；当x＝ 时，函数取得 值，最 值为 。 备用问题：在同一直角坐标系中，函数y＝3（x＋2)2图象与函数y＝3x2的图象有何关系? (函数y＝3 (x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝3x2的图象向左平移2个单位得到的。) 备用问题：你能说出函数y＝3（x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y＝3（x＋2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。 备用问题：你能得到函数y＝3（x＋2)2的性质吗? 教学要点：让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x 时，函数值y随x的增大而 ； 当x 时，函数值y随工的增大而 ；当x＝ 时，函数取得最 值，最 值为 。 四、课堂练习：　P 8练习 五、小结： 1．在同一直角坐标系中，函数y＝的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别? 二次函数y＝ 的图像可以由函数y＝ax2的图象平移得到：（左正右负） 当h>0时，向左平移h个单位得到； 当h<0是，向右平移-h个单位得到。 2．你能说出函数y＝图象的性质吗?(生列表) 六、作业 批注 课后反思 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1.3.2二次函数（第五课时） 教学目标 知识与技能使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 过程与方法让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 情感态度与价值观是学生了解已知与位置、特殊与一般的辩证关系； 教学重点 确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教学难点 正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、问答回顾、情境导入 1．师：函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? 生：函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．师：函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 生：思考后口答 （教师可以提前安排学生画好y=2x2 与y=2(x－1)2图象留待后面备用。） 师：今天我们就一起来学习——板书课题 二、做一做、想一想、议一议 师：在刚才的图中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗? 生：一生上前板演，众生独立完成后小组交流讨论，各小组派代表上台展示讨论结果； 师：倾听、指导； 看着刚才画的图象，你能填写下表吗?（提前准备小黑板） y=2x2 的图象 向右平移1个单位 y=2(x－1)2 向上平移 1个单位 y=2(x－1)2＋1的图象 开口方向 对称轴 顶 点 生：思考填表 问题2：结合上面所画图象以及上表，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 三、归纳提升 问题：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2) 师：你能将你所发现的总结一下吗？ 师生明确：归纳：一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2 形状相同，位置不同。把抛物线y=ax2 向上（下）向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。 抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h; （3）顶点坐标是（h,k）. 四、课堂练习： 1、 P10 练习 2、补充备用练习 【1】已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3； (4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质； 【2】函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系? 五、小结 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 六、作业： 批注 课后反思 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1二次函数（第六课时） 教学目标 知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象并掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 过程与方法让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 情感态度与价值观 培养学生的创造型思维，突出体现辩证唯物主义观点。 教学重点 用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 教学难点 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、情境导入 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? (函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质? (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1) 师：展示问题串； 生：独立思考后口答，小组可以补充。 师：不画出图象，你能直接说出函数y=x2＋6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?你能画出函数y=x2＋6x+21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?——引出课题 二、解决问题 师生分析：如果把y=x2＋6x+21化成y=a(x－h)2＋k的形式，我们就容易确定相应的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。然后我们一起采用描点法作图的方法作出函数y=x2＋6x+21的图象，进而观察得到这个函数的性质。 师生共同：将y=x2＋6x+21化成y=a(x－h)2＋k形式，并确定顶点坐标和对称轴。 师生：解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x … 3 4 5 6 7 8 9 … y … … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2＋6x+21的图象。 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质； 当x＜6时，函数值y随x的增大而减小；当x＞6时，函数值y随x的增大而增大； 当x＝6时，函数取得最大值，最大值y＝3 三、做一做 1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 教学要点 (1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。 2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 教学要点 (1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； （对于推导过程有困难的情况，教师要板书示范） 板书归纳： y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c ＝a[x2＋x＋()2]＋c－ ＝a(x＋)2＋ 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。 对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，) 四、课堂练习：　　1、P12练习 2、填空： (1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______； (2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______； (3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______； (4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______； (5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______． 3、画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。 4、 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x (3)y＝－2x2＋8x－8 (4)y＝x2－4x＋3 5、求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质 五、小结：　通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？ 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则： a 0; b 0;c 0; 0。 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系 ： 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向 a<0 抛物线开口向 b的符号 b>0. 抛物线对称轴在y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b<0 抛物线对称轴在y 轴的 侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于 C=0 抛物线与y轴交于 c<0 抛物线与y轴交于 的符号 >0. 抛物线与x 轴有 个交点 =0 抛物线与x 轴有 个交点 <0 抛物线与x 轴有 个交点 六、作业： 批注 课后反思 时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1用待定系数法求二次函数的解析式（第七课） 教学目标 知识与技能 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。 过程与方法 能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。 情感态度与价值观 从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。 教学重点 用待定系数法求二次函数解析式 教学难点 能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。 课时安排 一课时 课前准备 教学过程 一、合作交流 例题精析 1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。 例1{课本 p12探究} 已知二次函数的图象过(-1，10)，(1， 4)和(2，7)三点，求这个二次函数解析式。 师：引导学生思考，分析；生：小组合作完成，并展示。 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。 2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x-h)2＋k，顶点是(h，k)。配方: y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋ )2＋ 。对称轴是x＝ ，顶点坐标是( ， ), h＝ ，k= , 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。 例2 已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1， 求这个二次函数的解析式。 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。 生：讨论与交流，充分表达自己的认识和发现； 3、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标。 例3 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。 师:想一想:还有其它方法吗? 二、课堂练习 1、课本13页练习1、2 2、[补充练习]根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)； （3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）； (4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4； （5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)； （6）已知抛物线顶点（1，16），