第4讲椭圆.doc

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1、第4讲 椭 圆A级根底演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，那么|PF2| () A. B. C. D4解析a24，b21，所以a2，b1，c，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，那么F1(，0)，设P(，m)(m0)，那么m21，解得m，所以|PF1|，根据椭圆定义：|PF1|PF2|2a，所以|PF2|2a|PF1|22.答案A2(江西)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.假设|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为

2、 ()A. B. C. D.2解析因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2.所以离心率e，应选B.答案B3(嘉兴测试)椭圆x2my21的离心率e，那么实数m的取值范围是 ()A. B.C. D.解析椭圆标准方程为x2m1时，e21，解得m；当0m1时，e21m，解得0mb0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点.0且2，那么该椭圆的离心率是() A. B.C3 D3解析因为0，且()，所以2，所以|c，所以|c，且AOF45，设椭圆的右

3、焦点是F，在AOF中，由余弦定理可得AF c，由椭圆定义可得AFAF c c2a，即(1)c2a，故离心率e.答案A二、填空题(每题5分，共10分)5(青岛模拟)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，那么此椭圆的方程为_解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，m2n24，e，m4，代入得，n212，椭圆方程为1.答案16(佛山模拟)在等差数列an中，a2a311，a2a3a421，那么椭圆C：1的离心率为_解析由题意，得a410，设公差为d，那么a3a2(10d)(102d)203d11，d3，a5a4d13，a6a42d16a5，e.答案三、解答题(共25分)7(

4、12分)F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，0，假设椭圆的离心率等于.(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；(2)直线AO交椭圆于点B，假设三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程解(1)由0，知AF2F1F2，椭圆的离心率等于，ca，可得b2a2.设椭圆方程为x22y2a2.设A(x0，y0)，由0，知x0c，A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0a，A，故直线AO的斜率k，直线AO的方程为yx.(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知，SABF2SABF1SAF1F2，2ca4.又由ca，解得a216，b21688.故椭圆方程为

5、1.8(13分)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解(1)设椭圆C的焦距为2c，由可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2及l的倾斜角为60，知y10，直线l的方程为y(x2)由消去x，整理得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，解得a3.而a2b24，所以b25.故椭圆C的方程为1.B级能力突破(时间：30分钟总分值：45分)一、选

6、择题(每题5分，共10分)1. (厦门质检)F是椭圆C：1(ab0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2y2相切于点Q，且2Q，那么椭圆C的离心率等于() A. B. C. D.解析记椭圆的左焦点为F，圆2y2的圆心为E，连接PF，QE.|EF|OF|OE|c，2Q，PFQE，且PFPF.又|QE|(圆的半径长)，|PF|b.据椭圆的定义知：|PF|PF|2a，|PF|2ab.PFPF，|PF|2|PF|2|FF|2，b2(2ab)2(2c)2，2(a2c2)b22ab，3b22ab，b，ca，椭圆的离心率为.答案A2(山东)椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C

7、有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，那么椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，yb，那么在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆方程为1.答案D二、填空题(每题5分，共10分)3(泰安一模)F1，F2为双曲线C：1(a0，b0)的焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足MAB30，那么

8、该双曲线的离心率为_解析如图，以F1F2为直径的圆为x2y2c2，双曲线的渐近线为yx.由得M(a，b)，MAB为直角三角形在RtMAB中，tan 30.e .答案4.如图，OFB，ABF的面积为2，那么以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为_解析设标准方程为1(ab0)，由题可知，|OF|c，|OB|b，|BF|a，OFB，a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2，b22，b，a2，椭圆的方程为1.答案1三、解答题(共25分)5(12分)(南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x

9、y20相切(1)求椭圆C的方程；(2)点P(0,1)，Q(0,2)设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上(1)解由题意知，b.因为离心率e，所以 .所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，那么直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.法一联立解得x，y，即T.由1，可得x84y.因为221，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上法二设T(x，y)，联立解得x0，y0.因为1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T坐标满足椭圆C的方程

10、，即点T在椭圆C上6(13分)(重庆) 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1

11、B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.特别提醒：