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中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题
例1：在△ABC中，∠B=60,BA=24CM,BC=16CM,
(1)求△ABC的面积；
A
C
B
(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？
(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？
例2: ()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，
（1）写出y与x的关系式
(2)求当y＝时，x的值等于多少？
例3：如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）
x
A
O
Q
P
B
y
A．32 B．18 C．16 D．10
例4：直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
例5：已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
图（3）
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
Ec
例6：如图（3），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？
二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
A
Q
C
D
B
P
例7：如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
例8：如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．
例9：（如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
A
B
O
C
D
P
Q
(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？
O
A
P
D
B
Q
C
例10. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
A
B
D
C
P
Q
M
N
（第25题）
练习1
B
C
P
O
D
Q
A
B
P
C
O
D
Q
A
1．正方形的边长为，在对称中心处有一钉子．动点，同时从点出发，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止．，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为．
（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；
（3）当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时的变化范围；
（4）当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象．
[解] （1）当时，，，，
即．
（2）当时，橡皮筋刚好触及钉子，
，，，．
（3）当时，，
，，
，
即．
作，为垂足．
当时，，，，
，即．
或
（4）如图所示：
2.如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线AB解析式为：y=x+．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．
∴＝＝．
由题意： ＝，解得（舍去）
∴ Ｃ（２，）
方法二：∵ ,＝，∴．
由OA=OB，得∠BAO＝30，AD=CD．
∴ ＝CDAD＝＝．可得CD＝．
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30，BP=OB=3，
∴（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30,OP=OB=1．
∴（1，）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．
方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．
∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30，∠POM＝30．
∴ PM＝OM＝．
∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，），（1，），（，），（，）．
3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ＝∠COA＝60
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=ABsin∠BAO=4sin60=
AQ=ABcos∠BAO=4cos60=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(3)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴,
AD=AB-BD=4-=
AP=OA-OP=7-OP
∴
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
图①
B
A
Q
P
C
H
4． 已知：如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0
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