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2018高考函数专题讲义
1、 考点与典型问题
考点1、定义域与值域问题
例题：
1.(1年新课标2理科）设函数,( )
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【答案】C
【解析】由已知得，又，所以，故
2.（15年福建理科）若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是．
【答案】
分析：本题以分段函数为背景考察定义域和值域问题，是本节的重点但非难点。考察学生对于两个变量的认识，在思维的角度上属于互逆。特别对于分段函数的研究方式应给出重点说明。
练习：
（1）（15年陕西文科）设，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（15年山东理科）已知函数的定义域
和值域都是，则.
（1） （2）
考点2：函数图像与性质
函数图像
1.（15年北京理科）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】C
2、（15年新课标2理科）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为
【答案】B
的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
函数性质：
1.（15年湖南理科）设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
【答案】A.
2.（15年福建文科）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于．
3.（15年新课标1理科）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a=
【答案】1
【解析】由题知是奇函数，所以
=，解得=1.
4.（15年新课标2文科）设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以
.故选A.
考点3：函数零点问题（难点）
函数零点问题属于较难的问题，一般思路研究函数解析式，画出函数图图像，应用数形结合。
1.（15年天津理科）已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
（A） （B） （C）（D）
【答案】D
【解析】
试题分析：由得，
所以，
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
2.（15年北京理科）设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2) 或.
变式：参数在变量的位置的探究：
(15年湖南理科）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则a的取值
【答案】.
【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，
若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；
若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而
；，综上，实数的取值范围是.
3.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
答案：B
4.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ）
A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）
练习：
（1）已知函数f(x) 的定义域是(4a-3,3-),aR,且y=f(2x-3)是偶函数.g(x)=+++,存在(k,k+),kZ,使得g()=,满足条件的k个数
答案：3
（2）关于x的不等式有且仅有两个整数解求k的范围?
()
考点4：不动点问题研究
对于方程f(x)=x的根称为函数发f(x)的一阶不动点，方程f(f(x))=x的根称为二阶不动点连续函数存在一阶不动点，比存在二阶不动点，不存在一阶不动点，就不存在二阶不动点。
1.（2013年高考四川卷（理））设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
变式：（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）若函数有极值点,,且,<则关于的方程的不同实根个数是
(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6
【答案】A
考点5：复合函数的零点问题：
1. f(x)=｛｝｛
考点6：切线问题
例题：
1、（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
2、(2015保定调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．e B．－e
C. D．－
选C y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝，∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，∴k＝f′(x0)＝＝.
变式：过点A（-2，3）作抛物线的两条切线与y轴分别交于B,C，则三角形ABC外接圆方程（）
练习：
（1） 函数图像在（1，-2）处的切线方程 答案：（x-y-3=0)
（2） 是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b= 答案：(ln2-1)
3、 点P是曲线上任意一点，则P到直线y=x-2的最小距离 答案：
4、已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）．在点处的切线方程为，
即．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，
则方程 有三个相异的实数根．
记 ，则．
当变化时，变化情况如下表：
0
0
0
极大值
极小值
如果过可作曲线三条切线，
即有三个相异的实数根，则即 ．
考点6：存在性问题
1、（2014新课标全国Ⅱ，5分）设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2
3，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m21－2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.
答案：C
变式：（2016石家庄质量检测二）已知函数其中e为自然对数的底数，若存在实数使得成立，则实数a值（-ln2-1)
2、（2014山东，13分）设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－k
＝－＝
由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，
x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，
故f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)，
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当00，y＝g(x)单调递增．
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减．
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当解得e0时，x20，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0.
解得e－20，g(1)＝1－a>0，
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)0)，则t>1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．
因为t－1＋＋1≥2 ＋1＝3，
所以－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln 2时等号成立．
因此实数m的取值范围是.
(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，
则g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)．
当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0，
又a>0，故g′(x)>0.
所以g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0.
故e＋e－1－2a<0，即a>.
令函数h(x)＝x－(e－1)ln x－1，
则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0，得x＝e－1，
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，
故h(x)是(0，e－1)上的单调减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，
故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，
所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
考点7：任意性问题
1、（2014辽宁，5分）当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
解析：当x∈(0,1]时，得a≥－33－42＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－33－42＋，令m＝，则m∈，a≤－3m3－4m2＋m，令g(m)＝－3m3－4m2＋m，m∈，则g′(m)＝－9m2－8m＋1＝－(m＋1)(9m－1)．显然在上g′(m)<0，在上，g′(m)>0，所以g(m)min＝g(－1)＝－2.所以a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实数a的取值范围为[－6，－2]．
答案：C
考点8：构造函数
1、 设函数.若对任意恒成立，求的取值范围.
解析：对任意恒成立
等价于恒成立
设
在上单调递减
在恒成立
恒成立
（对，仅在时成立），
的取值范围是
变式：
1、已知函数．
⑴试讨论在定义域内的单调性；
⑵当＜－1时，证明：，．求实数的取值范围．
解：⑴函数的定义域为，．
当时，增区间为，减区间为；
当≤≤0时，增区间为；
当时，增区间为，减区间为．
⑵当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，
不妨设，则，
∴等价于，即．
构造，则＞0．
∴在上是增函数，当时，，
即，即．
又当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，
∴．
∴，即
2、已知函数
（1）确定函数的单调性；
（2）若对任意，且，都有，求实数a的取值范围。
黑公网安备:91230400333293403D