2021高三数学北师大版（文）一轮课后限时集训：17 利用导数证明不等式 .doc

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1、利用导数证明不等式建议用时：45分钟1已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0时，证明f(x)2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.当a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x取得最大值，最大值为fln1.所以f(x)2等价于ln12，即ln10.设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递

2、增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.2(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递减()若a2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)

3、的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.3已知函数f(x)ex，g(x)ln(xa)b.(1)当b0时，f(x)g(x)0恒成立，求整数a的最大值；(2)求证：ln 2(ln 3ln 2)2(ln 4ln 3)3ln(n1)ln nn(nN*)解(1)现证明exx1，设F(x)exx1，则F(x)ex1，当x(0，)时，F(x)0，当x(，0)时，F(x)

4、0，所以F(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以F(x)minF(0)0，即F(x)0恒成立，即exx1.同理可得ln(x2)x1，即exln(x2)，当a2时，ln(xa)ln(x2)ex，所以当a2时，f(x)g(x)0恒成立当a3时，e0ln a，即exln(xa)0不恒成立故整数a的最大值为2.(2)证明：由(1)知exln(x2)，令x，则eln，即eln(n1)ln nn，所以e0e1e2 en1ln 2(ln 3ln 2)2(ln 4ln 3)3ln(n1)ln nn，又因为e0e1e2en1， 所以ln 2(ln 3ln 2)2(ln 4ln 3)3ln(n1)ln nn.