2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第3章 第5节 利用导数解决不等式恒（能）成立问题 .doc

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1、第五节利用导数解决不等式恒(能)成立问题考点1恒成立问题分离参数法求范围若f(x)a或g(x)a恒成立，只需满足f(x)mina或g(x)maxa即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围解(1)因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1.令f(x)0，得ln x10，解得0x，所以f(x)的单调递减区间是.令f(x)0，得ln x10，解得x，所以f(x)的单调递增区间是.综上，f(x)的

2、单调递减区间是，单调递增区间是.(2)因为g(x)3x22ax1，由题意得2xln x3x22ax1恒成立因为x0，所以aln xx在x(0，)上恒成立设h(x)ln xx(x0)，则h(x).令h(x)0，得x11，x2(舍)当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)h(x)0h(x)极大值所以当x1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)maxh(1)2，所以若ah(x)在x(0，)上恒成立，则ah(x)max2，即a2，故实数a的取值范围是2，)利用分离参数法来确定不等式f(x，)0(xD，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量

3、分离，化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式(2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值(3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min，得到的取值范围把参数看作常数利用分类讨论方法解决对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围已知函数f(x)ln xax，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)a0在x(1，)上恒成立，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0恒成立，则f(x)只有单调递增区间是(0，)当a0时，由f(x)0，得

4、0x；由f(x)0，得x；所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)f(x)a0在x(1，)上恒成立，即ln xa(x1)0在x(1，)上恒成立设g(x)ln xa(x1)，x0，则g(x)a，注意到g(1)0，当a1时，g(x)0在x(1，)上恒成立，则g(x)在x(1，)上单调递减，所以g(x)g(1)0，即a1时满足题意当0a1时，令g(x)0，得1x；令g(x)0，得x.则g(x)在上单调递增，所以当x时，g(x)g(1)0，即0a1时不满足题意(舍去)当a0时，g(x)a0，则g(x)在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，g(x)g(1)0，即a0时不满足题意(舍去)综

5、上所述，实数a的取值范围是1，)已知f(x)ax22ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x0,2f(x)2(a1)x恒成立，求整数a的最小值解(1)由题意得f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)内单调递减当a0时，令f(x)0，得x或x(负值舍去)当x，f(x)0，f(x)单调递减；当x，f(x)0，f(x)单调递增(2)由题意得2ax22ln x2(a1)x，整理得2(ln xx1)a(2xx2)因为x0，所以原命题等价于a在区间(0，)内恒成立令g(x)，则g(x)，令h(x)2ln xx，易知h(x)在(0，)内单调递

6、增又h(0.5)2ln 20.50，h(1)10，故存在唯一的x0(0.5,1)，使得h(x0)0.当0xx0时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递减故函数g(x)的极大值为g(x0)，也为最大值，且2ln x0x00，所以g(x)max，所以a.又(1,2)，且a为整数，故整数a的最小值为2.考点2能成立问题存在xa，b，f(x)a成立f(x)maxa.存在xa，b，f(x)a成立f(x)mina.存在x1a，b，对任意x2a，b，f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min.已知函数f(x)3ln xx2x，g(x)3x

7、a.(1)若f(x)与g(x)的图像相切，求a的值；(2)若存在x00，使f(x0)g(x0)成立，求参数a的取值范围解(1)由题意得，f(x)x1，g(x)3，设切点为(x0，f(x0)，则kf(x0)x013，解得x01或x03(舍)，所以切点为，代入g(x)3xa，得a.(2)设h(x)3ln xx22x.存在x00，使f(x0)g(x0)成立，等价于存在x0，使h(x)3ln xx22xa成立，等价于ah(x)max(x0)因为h(x)x2，令得0x1；令得x1.所以函数h(x)3ln xx22x在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以h(x)maxh(1)，即a，因此参数a

8、的取值范围为.(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题已知函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)存在x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范围解(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减；当a0时，令f(x)0得xln a.由f(x)0得xln a，所以f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0得xln a，所以f(x)的单调递减区间为(ln a，)(2)因为存在x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，则ax，即a.设h(x)，则问题转化为amax，由h(x)，令h(x)0，则x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)h(x)0h(x)极大值由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为，所以a.