2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：专项强化练 第3讲 随机变量及其分布列 .docx

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1、第3讲随机变量及其分布列1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An=(0,0),(1,0),(2,0),(n,0),Bn=(0,1),(n,1),Cn=(0,2),(1,2),(2,2),(n,2),nN*.令Mn=AnBnCn.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n3),求概率P(Xn)(用n表示).2.(2019扬州中学检测,22)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定X85为考核优秀.为了了

2、解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:(1)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;(2)从图中考核成绩满足X70,79的学生中任取3人,设Y表示这3人中成绩满足|X-85|10的人数,求Y的分布列和数学期望.答案精解精析1.解析本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.(1)当n=1时,X的所有可能取值是1,2,2,5.X的概率分布为P(X=1)=7C62=715,P(X=2)=4C62=415,P(X=2)=2C62=215,P(X=5)=2C62=

3、215.(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点.因为P(Xn)=1-P(Xn),所以仅需考虑Xn的情况.若b=d,则ABn,不存在Xn的取法;若b=0,d=1,则AB=(a-c)2+1n2+1,所以Xn当且仅当AB=n2+1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;若b=0,d=2,则AB=(a-c)2+4n2+4.因为当n3时,(n-1)2+4n,所以Xn当且仅当AB=n2+4,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;若b=1,d=2,则AB=(a-c)2+1n2+1,所以Xn当且仅当AB=n2+1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法.综上,当X

4、n时,X的所有可能取值是n2+1和n2+4,且P(X=n2+1)=4C2n+42,P(X=n2+4)=2C2n+42.因此,P(Xn)=1-P(X=n2+1)-P(X=n2+4)=1-6C2n+42.2.解析(1)设“该名学生考核成绩优秀”为事件A.由茎叶图中的数据可以知道,30名学生中,有7名学生考核优秀,所以所求概率约为730.(2)因为成绩X70,79的学生共有8人,其中满足|X-85|10的学生有5人,所以Y的所有可能取值为0,1,2,3.所以P(Y=0)=C33C83=156,P(Y=1)=C32C51C83=1556,P(Y=2)=C31C52C83=3056,P(Y=3)=C53C83=1056.则随机变量Y的分布列为Y0123P156155630561056故E(Y)=0156+11556+23056+31056=158.