2020届高考数学（理）课标版二轮复习训练习题：重难考点专题一第2讲　三角恒等变换与解三角形 .docx

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1、第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1.(2019河北石家庄模拟)已知cos2+=2cos(-),则tan4+=()A.-3B.3C.-13 D.13答案Acos2+=2cos(-),-sin =-2cos ,tan =2,tan4+=1+tan1-tan=-3,故选A.2.若02,cos =35,sin(+)=-35,则cos =()A.-725B.725 C.-2425 D.2425答案Ccos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin ,因为+2,32,所以cos(+)0,所以sin =45,所以cos =-4535+-3545=-2425.3.(2018河南开封模拟

2、,8)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,则c=()A.2 B.3C.4 D.6答案C在ABC中,A=3,b=6,a2=b2+c2-2bccos A=36+c2-6c.3sin2CcosC=2sin Asin B,3c2cosC=2ab,即cos C=3c22ab=a2+b2-c22ab,a2+36=4c2,由解得c=4或c=-6(不符合题意,舍去).c=4.故选C.4.(2019河北唐山一模,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h=()A.152B.11

3、2C.3154D.3158答案Da=2,b=3,c=4,cos A=b2+c2-a22bc=9+16-4234=2124=78,则sin A=1-cos2A=1-4964=1564=158,则h=ACsin A=bsin A=3158=3158,故选D.5.(2019湖南郴州一模,10)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是()A.6或23 B.3C.23 D.6答案A由b2+c2-3bc=a2,得b2+c2-a2=3bc,则cos A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,因为A(0,),所以A=6,由bc=3a2,得

4、sin Bsin C=3sin2A=314=34,即4sin(-C-A)sin C=3,即4sin(C+A)sin C=4sinC+6sin C=3,即432sinC+12cosCsin C=23sin2C+2sin Ccos C=3,即3(1-cos 2C)+sin 2C=3-3cos 2C+sin 2C=3,则-3cos 2C+sin 2C=0,则3cos 2C=sin 2C,则tan 2C=3,因为C(0,),所以2C(0,2),所以2C=3或43,即C=6或23,故选A.6.(2019安徽六安模拟,10)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b

5、=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.3答案A在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cos B=bcos C,(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A,cos B=12,即B=3,由余弦定理可得16=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac2ac-ac,ac16,当且仅当a=c时取等号,ABC的面积S=12acsin B=34ac43.故选A.二、填空题7.(2019安徽五校联盟第二次质检)若是锐角,且cos+6=35,则cos+32

6、=.答案43-310解析因为02,所以6+623,又cos+6=35,所以sin+6=45,则cos+32=sin =sin+6-6=sin+6cos6-cos+6sin6=4532-3512=43-310.8.(2019河南郑州第二次质检,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C+2sin Ccos B=sin A,C0,2,a=6,cos B=13,则b=.答案125解析由正弦定理及题意可得c+2c13=a,即a=53c,又a=6,所以c=365,由余弦定理得b2=6+5425-125=14425,所以b=125.9.(2019河北衡水模拟,14)在ABC中,角

7、A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,则A=.答案56解析由3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,得3sin Acos C+3sin Ccos A=-bcos A,所以3sin(A+C)=-bcos A,即3sin B=-bcos A,又asinA=bsinB,所以3cosA=-bsinB=-asinA,又a=1,从而sinAcosA=-13tan A=-33,因为0A,所以A=56.10.(2019湖北恩施质检,15)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos B=13,b=4,SAB

8、C=42,则ABC的周长为.答案43+4解析由cos B=13,得sin B=223,由三角形的面积公式可得12acsin B=12ac223=42,则ac=12,由b2=a2+c2-2accos B,b=4,可得16=a2+c2-21213,则a2+c2=24,联立可得a=c=23,所以ABC的周长为43+4.三、解答题11.(2019湖北武汉调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=104,B=2A,b=15.(1)求a;(2)已知M在边BC上,且CMMB=12,求CMA的面积.解析(1)由0A,cos A=104,知sin A=64,又B=2A,sin B=si

9、n 2A=2sin Acos A=264104=154,又b=15,正弦定理可知,a=bsinAsinB=6.(2)cos B=cos 2A=2cos2A-1=21042-1=14,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=6414+104154=368,ABC的面积SABC=12absin C=12615368=9158,又CMMB=12,SCMA=13SABC=139158=3158.12.(2019云南昆明质检)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(c-acos B)=3b.(1)求角A;(2)若a=2,求ABC面积的取值范围.解析(1)

10、由2(c-acos B)=3b及正弦定理得2(sin C-sin Acos B)=3sin B,所以2sin(A+B)-2sin Acos B=3sin B,即2cos Asin B=3sin B,因为sin B0,所以cos A=32,又0A,所以A=6.(2)因为a=2,所以由正弦定理得b=4sin B,c=4sin C,所以SABC=12bcsin A=14bc.所以SABC=4sin Bsin C.因为C=-(A+B)=56-B,所以sin C=sin56-B,所以SABC=4sin Bsin56-B=4sin B12cosB+32sinB=2sin Bcos B+23sin2B=si

11、n 2B-3cos 2B+3=2sin2B-3+3.因为0B56,所以-32B-343,所以-32sin2B-31,所以0SABC2+3,即ABC面积的取值范围是(0,2+3.13.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)如图,在平面四边形ABCD中,ABC为锐角,ADBD,AC平分BAD,BC=23,BD=3+6,BCD的面积S=3(2+3)2.(1)求CD;(2)求ABC.解析(1)在BCD中,S=12BDBCsinCBD=3(2+3)2,BC=23,BD=3+6,sinCBD=12.ABC为锐角,CBD=30.在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(23)2+(3+6)2-223(3+6)32=9.CD=3.(2)在BCD中,由正弦定理得BCsinBDC=CDsinCBD,即23sinBDC=3sin30,解得sinBDC=33.BCBD,BDC为锐角,cosBDC=63.在ACD中,由正弦定理得ACsinADC=CDsinCAD,即ACcosBDC=3sinCAD.在ABC中,由正弦定理得ACsinABC=BCsinBAC,即ACsinABC=23sinBAC.AC平分BAD,CAD=BAC.由得sinABCcosBDC=323,解得sinABC=22.ABC为锐角,ABC=45.