2022年高等数学大纲 .pdf

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1、1 高等数学教学大纲1. 大纲说明1.1 本“大纲”适用于我院三年制高等职业教育。1.2 考虑到不同专业的要求及节假日等因素，必学部分可安排8% 左右的机动学时。根据专业实际需要灵活安排。1.3 执行本大纲对任课教师有全面的要求。要更新教育观念；要主动了解数学与相关专业技术的“接口” ；要拓宽数学知识面，提高数学建模的能力；要积极探索新的教学法方法，努力提高教学质量。2. 本门课程的基本内容和教学任务高等数学是高等职业技术学院学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1 函数、极限、连续2 一元函数微积分学3

2、常微分方程4 多元函数微积分学5 线性代数6 无穷级数包括傅里叶级数7 拉普拉斯变换等方面的基本概念、 基本理论和基本运算技能， 为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、 空间想象能力和自学能力， 还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。3. 课程的教学目标3.1 正确理解以下基本概念和它们之间的内在联系函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，不定积分，定积分，偏导数，全微分，条件极值，重积分，曲线积分，曲面积分，无穷级数，微分方程。3.2 正确理解以下基本

3、定理和公式并能正确运用极限的主要定理，罗尔定理和拉格朗日中值定理，泰勒定理，定积分作为其上限函数的求导定理，牛顿莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式。3.3 牢固掌握以下公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 两个重要极限，基本初等函数、双曲函数的导数公式，基本积分公式，函数ex、sinx 、ln 1 +x 、的麦克劳林展开式。3.4 熟练运用以下法则和方法导数的四则运算法则和复合函数的求导法，换元积分法和分部积分法，二重积分的计算法， 正项级数的比值审敛法， 变量可别离的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线

4、性微分方程的解法。3.5 会运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的几何、物理和力学问题4. 本课程内容的重点、难点及深度广度4.1 极限与连续重点：函数概念， 复合函数概念， 基本初等函数的性质及其图形，极限概念，极限四则运算法则，两个重要极限，等价无穷小求极限，连续概念。难点：重要极限，无穷小的比较。4.2 导数与微分重点：导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数导数公式， 初等函数的一阶、二阶导数的求法。难点：导数定义，复合函数的求导法，隐函数和参数方程所确定的函数的高阶导数，微分定义。4.3 导数的应用重点：罗

5、必达法则，函数单调性的判定，函数极值的判定和求法，曲线的凹凸和拐点。难点：拉格朗日定理，极值与最值的区别，曲线的凹凸和拐点。4.4 积分及其应用重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法，变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式， 用定积分表达一些几何量与物理量如面积、体积、弧长、功、引力等。难点：变上限积分函数的求导，广义积分，微元法，旋转体体积。4.5 常微分方程重点：变量可别离的方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。4.6 多元函数

6、微积分简介)1 (x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 重点：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的运算线性运算、点乘法、叉乘法，单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法，曲面方程的概念。多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，复合函数阶偏导数的求法，多元函数极值和条件极值的概念。二重积分的概念， 二重积分的计算方法 直角坐标、极坐标及简单应用。难点：向量的叉乘法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题，曲线、曲面的投影。 复合函数的高阶偏导数， 隐函数的偏

7、导数， 求空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线， 。4.7 线性代数重点：行列式的性质，克莱姆法则，用矩阵初等变换求逆矩阵及解线性方程组，一般线性方程组的解。难点：逆矩阵求法，矩阵的秩。4.8 无穷级数重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和P级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，比较简单的幂级数收敛区间的求法。难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为傅里叶级数。4.9 拉普拉斯变换重点：拉氏变换的定义，拉氏变换的性质，拉氏逆变换的求解，应用拉氏变换解微分方程。难点: 拉氏逆变换的求解，应用拉氏变换解微分方程。5.

8、具体内容与学时分配5.1 课程内容5.1.1 极限与连续函数：函数的概念，基本初等函数的性质与图形。极限：数列极限与函数极限的定义，函数极限的性质局部保号性、不等式取极限 ，无穷小与无穷大的概念；极限的四则运算法则，两个重要极限，无穷小的比较。函数的连续性：函数点连续与区间连续的概念，闭区间上连续函数的性质。5.1.2 导数与微分导数与微分：导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系；导数的四则运算法则，复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，初等函数的二阶导数的求法， 隐函数和参数式所确定的函数的求导方法，二阶导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

9、结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 数的求法；微分的定义，微分的运算法则含微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。5.1.3 导数的应用中值定理与导数的应用：拉格朗日中值定理；罗必达法则；用导数判定函数的单调性， 函数极值概念及其求法， 简单的最大值最小值应用问题，用导数判定函数曲线的凹凸性与拐点，函数作图。5.1.4 积分及其应用不定积分：不定积分的定义，不定积分的性质，不定积分的几何意义，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，简易积分表及其应用。定积分及其应用：定积分的定义及其性质，定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；微元法，平面图形的面积

10、，旋转体的体积，广义积分的概念。5.1.5 常微分方程微分方程的一般概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解。一阶微分方程：可别离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可将阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程，微分方程应用举例。5.1.6 多元函数微积分简介空间直角坐标系，向量的基本概念及其运算，平面与直线的方程，曲面方程的概念和常用的曲面方程，空间曲线及其在坐标面上的投影。多元函数：多元函数的概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性。偏导数与全微分：偏导数的概念及其简单计算；全微分。偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，最

11、大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。二重积分：二重积分的概念、性质及计算直角坐标、极坐标；二重积分的应用。一般线性方程组：矩阵的秩，一般线性方程组的解，齐次线性方程组。5.17 线性代数行列式：二阶行列式，三阶行列式，n 阶行列式，行列式的性质，克莱姆法则。矩阵的概念和运算：矩阵的概念，矩阵的加减法，数与矩阵相乘，矩阵与矩阵相乘，利用矩阵表示线性方程组。逆矩阵：定义，逆矩阵的求法，用逆矩阵解线性方程组。矩阵的初等变换： 矩阵的初等行变换， 用矩阵初等行变换求逆矩阵，用矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5

12、初等行变换解线性方程组。5.1.8 无穷级数常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数和P级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。幂级数：幂级数的概念，阿贝尔定理，较简单的幂级数的收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质，幂级数求和函数；泰勤级数，麦克劳林级数，函数展开成幂级数，幂级数在近似计算中的应用。傅里叶级数：三角级数概念，狄利克雷充分条件，函数展开为傅里叶级数，奇偶函数的傅里叶级数，函数展开为正弦或余弦级数， ， 0， 上函数的傅里叶级数。5.1.9 拉普拉斯变换拉氏变

13、换的概念与性质： 拉氏变换的定义， 单位脉冲函数及其拉氏变换，拉普拉斯变换的性质。拉氏逆变换的求法。拉氏变换的应用。5.2 认知要求与能力培养认知要求分为三个层次。了解：对知识有感性的、初步的认识，能识别它；理解：对概念和规律过到理性的认识，能自述、解释和举例说明；掌握：能够应用知识的概念和方法解决一些相关问题。对能力培养分以下几个方面： 基本运算能力、数形结合能力、简单实际应用能力、思维能力、空间想象能力。5.3 学时分配本课程的教学时数为120学时，学时分配如下表：附表 1：学时分配表教学环节课程内容讲 课习 题 课小计极限与连续10 2 12 导数与微分16 2 18 导数应用10 2

14、12 积分及其应用14 2 16 常微分方程8 2 10 多元函数微分简介12 2 14 线性代数14 2 16 无穷级数12 2 14 拉普拉斯变换6 2 8 共计102 18 120 附表 2：教学内容、教学要求和参考教学时数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 知 识 内容认知要求能力培养学时了解理解掌握基本运算计算工具使用数形结合简单实际应用空间想象逻辑思维极限与连续* * 12 导数与微分* * * * 18 导数的应用* * * * 12 积分及其应用* * 16 常微分方程* * 10 多元函数微积分简

15、介* * * * * 14 线性代数* * * 16 无穷级数* * 14 拉普拉斯变换* * 8 合计120 6教学建议6.1 教学原则：1贴近生活，结合实际，坚持理论联系实际。2能力培养应贯穿于课程教学的全过程。3面向全体学生，贯彻因材施教。4以学生为主体，采用启发式教学，逐步培养学生的自学能力。6.2 要注意与中职基础的衔接。 初等数学与微积分学部分宜安排在第一个学期教学，工程数学可与前两部分连续安排，也可把某些内容划入相关后续课程。6.3 要注意学习方法的指导，课外复习与练习时间与课堂教学时间一般以1：1为宜。6.4 教学评价6.4.1 评价原则：知识评价与能力评价相结合。6.4.2 基本方法：形成性评价课堂提问、个别答疑、阶段考察、竞赛等与终结性评价期末考试相结合。6.5 考核方法：平时成绩占总成绩的30% 。其中平时听课表现10% ；作业成绩 10% 习题量给学生的作业题不少于各章节的60% ；课堂提问平时测验10% ；期末成绩占总成绩的70% ；考试方式：闭卷，时间为100 分钟；试题份量：以中等水平的考生在规定时间内答完全部试题为度；假设采用百分制以总成绩60 分为及格。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页