2022年高三数学一轮复习导数导学案 .pdf

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1、课题：导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1. 导数、导数的计算（1） 导数的概念 ：一般地，函数yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是lim x0 y x _，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或0|x xy=. （2） 导函数 ：记为 f(x)或 y.（3） 导数的几何意义：函数 yf(x)在 xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在 xx0处的切线的斜率相应地，切线方程为 _（4） 基本初等函数的导数公式（5） 导数的运算法则(1) f(x)g(x) _；(2)f(x) g(x) _； (3)f xg x_(g(x)0)（6） 复合函数的导数：2导数

2、与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数yf(x)，如果在某区间上f(x)0，那么 f(x)为该区间上的_；如果在某区间上f(x)0， 且偶函数f(x)满足 f(2x1)2，则函数f(x)13x3ax21 在区间 (0,2)上有 _个零点三、解答题9.已知函数f(x) xlnx.(1)求 f(x)的极小值； (2)讨论关于x 的方程 f(x)m0 (m R)的解的个数10设 f(x)ex1ax2，其中 a为正实数 (1)当 a43时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求a 的取值范围11.已知函数 f(x)x3mx2nx2 的图象过点

3、 (1， 6)，且函数g(x)f (x)6x 的图象关于y 轴对称(1)求 m，n 的值及函数yf(x)的单调区间； (2)若 a1，求函数yf(x)在区间 (a1，a 1)内的极值课题：导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页二、基础自测：1若函数f(x)2x21 的图象上一点 (1,1)及邻近一点 (1 x,1 y)，则 y x等于 ()A4 B4xC4 2 xD42 x22曲线 yx3在点 P 处的切线的斜率为3，则点 P 的坐标为 ()A( 1,1)B ( 1， 1)C(1

4、,1) 或( 1， 1)D(1 ， 1)3(2012 陕西高考 )设函数 f(x)2xln x，则 ()Ax12为 f(x)的极大值点Bx12为 f(x)的极小值点Cx2 为 f(x)的极大值点Dx2 为 f(x)的极小值点4若函数ya(x3x)的递减区间为33，33，则 a 的取值范围是 ()Aa0 B 1a0C a1 D0a1 5若曲线yx4的一条切线l 与直线 x4y 80 垂直，则l 的方程为 _6已知 f(x)x3ax 在1， )上是单调增函数，则a 的最大值是 _参考答案： 1C解析： y f(1 x)f(1)2(1 x)2114 x2( x)2， y x42 x. 2C解析： y

5、3x2，3x2 3.x1.当 x1 时， y1，当 x 1 时， y 1. 3D解析： 由 f(x)2x21x1x12x0 可得 x2.当 0 x2 时， f(x)0，f(x)单调递减；当x2 时， f(x)0，f(x)单调递增故x 2为 f(x)的极小值点4A解析： ya(3x21)3ax33x33，当33x33时，x33x330. 要使 y0，必须取 a0. 54xy30解析： 设切点为 (x0，y0)，y4x3,4x03 4，x0 1. y0 1. l 的方程为4xy30. 63 解析：f(x) x3ax在1 ，) 上是单调增函数， f (x) 3x2a0 在1 ，) 上恒成立， 即a3

6、x2在1 ， ) 上恒成立，而当x 1 ， ) 时， (3x2)min3123. a 3，故amax3.三、考点突破：考点一、 根据导数的定义求函数的导数【例 1-1】已知 f(2) 2，f(2) 3，则 limx2f x 3x21 的值为 ()A1 B2 C3 D 4 【例 12】用导数的定义求函数yf(x)1x在 x 1 处的导数【例 11】C解析： 令 xx2，则 limx2f(x)3x 21 lim x0f( x2) f(2) x1f (2)12 13. 【 例1 2 】 解 ： y f(1 x) f(1) 11 x1111 x1 x x1 x(11 x). y x 精选学习资料 -

7、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页11 x(11 x)， lim x0 y x lim x011 x(11 x)12.f (1)12. 【变式】：求函数yx21在 x0到 x0 x 之间的平均变化率，并求出其导函数解 yx0 x21x201x0 x21x201x0 x21x2012x0 x x2x0 x2 1x201， y x2x0 xx0 x21x201. x0 时， y xxx2 1.yxx2 1. 考点二、 利用求导公式、法则求导例 2求下列函数的导数：(1) y(2x3)2； (2)y tan x；(3)yxex；(4)yl

8、n xx. （5）yln(2x5)解： (1)y (4x212x9) 8x12. (2)ysin xcos x(sin x)cos xsin x(cos x)cos2xcos xcos xsin x(sin x)cos2x1cos2x. (3)y xexx(ex) exxexex(x1)(4)y ln xx (ln x) xx ln xx21xxln xx21ln xx2. （5） 设 u2x5，则 yln(2x5)由 yln u 与 u 2x5 复合而成 yyu ux1u 22u22x 5. 【变式】求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe； (2)y3x；考点三、

9、导数的几何意义【例 3】已知曲线y13x343.(1)求曲线在点P(2,4) 处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3) 求斜率为1 的曲线的切线方程解： (1) P(2,4) 在曲线y13x343上， 且yx2， 在点P(2,4)处的切线的斜率为：y|x24. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为：y44(x 2) ，即 4xy40. (2) 设曲线y13x343与过点P(2,4)的切线相切于点A x0，13x0343，则切线的斜率为：0|x xy=x02. 切线方程为y13x0343x02(xx0) ，即yx02x23x0343. 点P(2,4)在切线上， 4 2x022

10、3x0343，即x033x0240，x03x024x02 40，x02(x01) 4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x0 1 或x02，故所求的切线方程为4xy40 或xy20. (3) 设切点为 (x0，y0)，则x021，x01，切点为 ( 1,1) 或 1，53，切线方程为y1x1 或y53x1，即xy20 或 3x3y 20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页【变式】：求曲线f(x) x33x2 2x过原点的切线方程解:f(x)3x26x2. 设切线的斜率为k. (1) 当切点是原点

11、时kf(0) 2，所以所求曲线的切线方程为y2x. (2) 当切点不是原点时，设切点是(x0，y0) ，则有y0 x303x202x0，kf(x0) 3x206x0 2，又ky0 x0 x203x02，由得x032，k14. 所求曲线的切线方程为y14x. 综上，曲线f(x) x33x22x过原点的切线方程为y2x或y14x. 考点四、 利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例 4】已知aR，函数f(x) ( x2ax)ex(xR，e 为自然对数的底数) (1) 当a2 时，求函数f(x) 的单调递增区间； (2) 若函数 f(x)在( 1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解： (1) 当a

12、2 时，f(x) ( x22x)ex，f(x) ( 2x2)ex(x2 2x)ex( x22)ex. 令f(x) 0，即 ( x22)ex0，ex0，x220，解得2x2. 函数f(x) 的单调递增区间是 ( 2，2) (2) 函数 f(x)在(1,1)上单调递增， f(x)0 对 x (1,1)都成立 f(x)x2(a2)xaex，x2(a2)xaex0 对 x (1,1)都成立 ex0，x2(a2)xa 0 对 x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0 对 x (1,1)恒成立设h(x)x2(a2)xa，只需满足h 1 0h 1 0，解得 a32. 【变式】 (2009 浙江 )已知函数f

13、(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR) (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求 a，b 的值； (2)若函数 f(x)在区间 (1,1)上不单调，求a 的取值范围解 (1)由题意得f (x)3x2 2(1a)xa(a 2)，又f 0 b0f 0 a a2 3, 解得 b0，a 3 或 a 1. (2)由 f(x)0，得 x1a，x2a23.又 f(x)在(1,1)上不单调，即1a1，a a23或1a231，aa23.解得1a1，a12或 5a1，a12.所以 a 的取值范围为 (5，12)(12，1)【例 5】若函数 f(x) ax3bx4，当 x2 时，函数

14、 f(x)有极值43.(1)求函数 f(x)的解析式； (2)若关于 x 的方程 f(x)k 有三个零点，求实数k 的取值范围解(1)由题意可知f(x)3ax2b.于是f 2 12ab0f 2 8a2b443，解得a13，b 4故函数为 f(x)13x34x4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页(2)由 (1)可知 f(x)x24(x2)(x2)令 f(x)0 得 x 2 或 x 2，当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x (， 2) 2(2,2)2(2， ) f(x)00f(x)单调递增极

15、大值单调递减极小值单调递增因此，当x 2 时， f(x)有极大值283，当 x 2 时， f(x)有极小值43，所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为 (43，283)【变式】设 x 1 与 x 2 是函数 f(x)aln xbx2x 的两个极值点 (1)试确定常数a 和 b 的值；(2)试判断 x1，x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)ax2bx1，f 1 a2b10f 2 a24b10.解得 a23，b16. (2)f(x)23x(x3)1x1 x23x.函数定义域为(0， )，列表x (0,1)1(1,2)2(2， ) f(x)00f(x)单

16、调递减极小值单调递增极大值单调递减x1 是 f(x)的极小值点，x2 是 f(x)的极大值点【例 6】已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为l：3x y10，若 x23时， yf(x)有极值 (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y f(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x) x3 ax2bxc，得 f(x)3x22axb，当 x1 时，切线l 的斜率为3，可得 2ab0；当 x23时， yf(x)有极值，则f230，可得 4a3b40.由 解得 a2， b 4，又切点的横坐标为x1，f(1)4.1abc4.c5. (2)由 (1)，得 f(x

17、)x32x24x5，f (x)3x2 4x4.令 f (x)0，得 x 2 或 x23，f(x)0 的解集为2，23，即为 f(x)的减区间 3， 2)、23，1 是函数的增区间又f(3)8，f(2) 13，f239527，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为9527. 变式迁移3已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页(1)求 f(x)的表达式； (2)讨论 g(x)的单调性，并求g(x)在区间 1,2上的最大值和最

18、小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x) ax3(3a1)x2(b2)x b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x) g(x)，即对任意实数x，有 a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)b ax3(3a1)x2(b2)x b，从而 3a 10，b0，解得 a13， b0，因此 f(x)的表达式为f(x)13x3x2. (2)由 (1)知 g(x)13x32x，所以 g(x) x22，令 g(x)0，解得 x12， x22，则当 x2时， g (x)0，从而 g(x)在区间 ( ，2)，(2， )上是减函数；当2x0，从而 g(x)在区间 (2，2)上是增函数

19、由前面讨论知，g(x)在区间 1,2上的最大值与最小值只能在x 1，2，2 时取得，而g(1)53，g(2)4 23，g(2)43.因此 g(x)在区间 1,2上的最大值为g(2)423，最小值为g(2)43. 四、课题巩固：一、选择题 ：1设 f(x)为可导函数，且满足limx0f 1 f 12x2x 1，则曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线斜率为()A2 B 1 C1 D 2 2(2012 辽宁高考 )函数 y12x2 ln x 的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C 1， ) D(0， ) 3如图所示的曲线是函数f(x)x3bx2cxd 的大致图象，则x21x22等于 ()

20、 A.89B.109C.169D.544.已知 f(x)是 f(x)的导函数， 在区间 0， )上 f(x)0， 且偶函数f(x)满足 f(2x1)0，f(x)在0， )上单调递增，又因f(x)是偶函数， f(2x1)f13? f(|2x1|)f13? |2x1|13，132x113.即13x2，则函数f(x)13x3ax21 在区间 (0,2)上有 _个零点参考答案： 1 (0,1)2.37 3. 34， 4. 1 个解析： f (x)x22axx(x2a)0? x10， x2 2a4，易知 f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)10，f(2)1134a0，由零点判定定理知，在函数f(x

21、)13x3ax2 1 在区间(0,2) 上恰好有 1 个零点三、解答题9.已知函数f(x) xln x.(1)求 f(x)的极小值； (2)讨论关于 x 的方程 f(x)m 0 (mR)的解的个数解(1)f(x)的定义域为 (0， )，f (x)ln x1，令 f(x)0，得 x1e，当 x (0， )时， f(x)，f(x)的变化的情况如下：x 0，1e1e1e， f(x)0f(x)极小值所以， f(x)在(0， )上的极小值是f1e1e. (2)当 x 0，1e，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是1e，0 ；当 x1e， 时， f(x)单调递增且f(x)的取值范围是1e， .令 yf(

22、x)，ym，两函数图象交点的横坐标是f(x)m0 的解，由 (1)知当 m1e时，原方程无解；由 f(x)的单调区间上函数值的范围知，当m1e或 m0 时，原方程有唯一解；当1em1，求函数y f(x)在区间 (a1，a1)内的极值解: (1)由函数 f(x)图象过点 ( 1，6)，得 m n 3.由 f(x) x3 mx2nx2，得 f(x)3x22mxn，则 g(x)f(x)6x 3x2(2m6)xn.而 g(x)的图象关于y 轴对称，所以2m6230.所以 m 3，代入 ，得 n0.于是 f(x)3x26x 3x(x2)由 f(x)0，得 x2 或 x0，故 f(x)的单调递增区间是(，

23、 0) (2,);由 f(x)0,得 0 x2,故 f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由 (1)得 f(x)3x(x2)，令 f(x)0，得 x 0 或 x 2.当 x 变化时， f(x)、f(x)的变化情况如下表：x (，0)0(0,2)2(2， ) f (x)00f(x)极大值极小值由此可得：当 1a3 时， f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2) 6，无极大值；当 a3 时， f(x)在(a 1，a1)内无极值综上得：当1a3 时， f(x)有极小值 6，无极大值；当a3 时， f(x)无极值x ，121212，323232，f(x)00f(x)极大值极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页