2022年高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题 .pdf

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1、名师精编欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA，( )f x的下界大于A （2）若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB,( )f x的上界小于A 例 1、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+ 时，都有f(x)a 恒成立，求a 的取值范围。例 2、已知,22xaxxxf对任意0, 1xfx恒成立 , 试求实数a的取值范围 ; 例 3、R上的函数xf既是奇函数， 又是减函数， 且当2,0时，有022sin2cos2mfmf恒成立，求实数

2、m的取值范围 . 例 4、已知函数)0(ln)(44xcbxxaxxf在1x处取得极值3c，其中a、b为常数 .（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0 x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围。2、主参换位法例 5、若不等式a10 x对1,2x恒成立，求实数a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编欢迎下载例 6、若对于任意1a，不等式2(4)420 xaxa恒成立，求实数x 的取值范围例 7、已知函数323( )(1)132af xxxax，其中a为实数 若

3、不等式2( )1fxxxa对任意(0)a，都成立，求实数x的取值范围3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；（2） 求fx在xD上的最大（或最小）值；（3） 解不等式max( )gf x( 或mingfx) ，得的取值范围。适用题型：（1） 参数与变量能分离； （2） 函数的最值易求出。例 8、当(1,2)x时，不等式240 xmx恒成立，则m的取值范围是 . 例 9、 已知函数321( )33f xaxbxx,其中0a（ 1） 当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值 ? （2） 已知0a,且)(xf在区间(0,1上单调递增 , 试用a表示出b的取值范围

4、 . 4、数形结合例 10 、若对任意xR, 不等式|xax恒成立，则实数a的取值范围是_ 例 11、当 x(1,2) 时，不等式2(1)xlogax恒成立，求a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师精编欢迎下载二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 , 则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 , 则等价于在区间D上的minfxB. 例 12、已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围 _ 例 13、若关于x的不

5、等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是例 14、已知函数21ln22fxxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法例 15、不等式2axbx10的解集为1| 13xx则a b_ 例 16、已知,22xaxxxf当xfx, 1的值域是,0, 试求实数a的值 . 例 17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中 k 为实数。（1）对任意x-3 ，3 ，都有 f （x) g(x) 成立，求k 的取值范围；（2）存在 x-3 ，3 ，使 f （x) g(x) 成立，求k 的取值范围；（3）对任意x1、x2-3

6、，3 ，都有 f （x1) g(x2) ，求k 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、若不等式2(1)(1)3(1)0mxmxm对任意实数x 恒成立，求实数m取值范围2、已知不等式22622kxkxxx对任意的xR恒成立，求实数k 的取值范围3、设函数329( )62f xxxxa对于任意实数x，( )fxm恒成立，求m的最大值。4、对于满足 |p|2 的所有实数p, 求使不等式212xpxpx恒成立的x 的取值范围。5、已知不等式2202 3xx

7、ax对任意实数，恒成立。求实数a的取值范围。6、对任意的2,2a，函数2( )(4)42f xxaxa的值总是正数，求x 的取值范围7、 若不等式2log0mxx在10,2内恒成立，则实数m的取值范围。8、不等式)4(xxax在 3 ,0 x内恒成立，求实数a的取值范围。9、不等式220kxk有解，求k的取值范围。10、对于不等式21xxa，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是 M ；对于任意0 5x，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合MN，11、对一切实数x, 不等式32xxa恒成立，求实数a的范围。若不等式32xxa有解，求实数a 的范围。若方程32xxa有解，求实数a 的范

8、围。12、 若 x,y 满足方程22(1)1xy，不等式0 xyc恒成立，求实数c 的范围。若 x,y 满足方程22(1)1xy，0 xyc，求实数c 的范围。13、设函数432( )2()f xxaxxb xR，其中,a bR若对于任意的2 2a，不等式( )1f x在11 ，上恒成立，求b的取值范围14、设函数321( )(1)4243f xxa xaxa，其中常数1a，若当0 x时，( )0fx恒成立，求a的取值范围。15、已知向量a=(2x，x+1) ，b= (1-x，t) 。若函数baxf)(在区间（ -1 ，1）上是增函数，求t 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - -

9、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案例 1、解： a 的取值范围为 -3 ，1 例 2、解：等价于022axxx对任意, 1x恒成立 , 又等价于1x时,x的最小值0成立 . 由于112axx在, 1上为增函数 , 则31minax, 所以3,03aa例3 、解：由022sin2cos2mfmf得到：22s i n2c o s2mfmf因为xf为奇函数，故有22sin2cos2mfmf恒成立，又因为xf为 R减函数，从而有22sin2cos2mm对2, 0恒成立设tsin，则01222mmtt对于1

10、,0t恒成立，在设函数1222mmtttg, 对称轴为mt. 当0mt时，0120mg，即21m，又0m021m( 如图 1) 当1 , 0mt，即10m时, 012442mmm, 即0122mm, 2121m, 又1 ,0m, 10m( 如图 2) 当1mt时，0212211mmg恒成立 . 1m( 如图 3) 故由可知：21m. 例 4、解：（1） （2）略（ 3）由（ 2）知，)(xf在1x处取得极小值cf3)1(，此极小值也是最小值. 要使)0(2)(2xcxf恒成立，只需223cc. 即0322cc，从而0)1)(32(cc. 解得23c或1c. c的取值范围为),23 1,(. t

11、 g(t) o 1 图 1 t=m t g(t) o 1 图 2 t=m t g(t) o 1 图 3 t=m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师精编欢迎下载例 5、解：12a例 6、解：(,1)(3,)x例 7、解析：由题设知“223(1)1axxaxxa对(0)a，都成立，即22(2)20a xxx对(0)a，都成立。设22( )(2)2g axaxx（aR） ，则( )g a是一个以a为自变量的一次函数。220 x恒成立，则对xR，( )g a为R上的单调递增函数。所以对(0)a，( )0g a恒成立的充

12、分必要条件是(0)0g，220 xx，20 x，于是x的取值范围是| 20 xx。例 8、解析 : 当(1,2)x时，由240 xmx得24xmx. 令244( )xf xxxx，则易知( )f x在(1,2)上是减函数，所以1,2x时( )(1)5maxf xf，则2min4()5xx5m. 例9、解析： （1）2ab（ 2）)(xf在区间(0,1上单调递增2()210fxaxbx在(0,1上恒成立1,(0,122axbxx恒成立max1()22axbx，(0,1x。设1( )22axg xx，2221()1( )222a xaag xxx，令( )0gx得1xa或1xa( 舍去 ) ，当1

13、a时,101a，当1(0,)xa时( )0g x，1( )22axg xx单调增函数；当1(,1xa时( )0g x，1( )22axg xx单调减函数 , max( )g x1()gaa。ba。当01a时，11a，此时( )0gx在区间(0,1恒成立，所以1( )22axg xx在区间(0,1上单调递增，max( )g x1(1)2ag，12ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编欢迎下载综上，当1a时 , ba；当01a时，12ab。例 10、解析：对xR,不等式|xax恒成立则由一次函数性质及图像知1

14、1a，即11a。例 11、解： 10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p) 在 -2,2上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3. 5、解：0a 6 、解：),4()0 ,(x 7 、解：)1 ,1618、解：画出两个凼数axy和)4(xxy在3 ,0 x上的图象如图知当3x时3y，33a当33a3 ,0 x时总有)4(xxax所以33a9 、 解 ： 不 等 式220kxk有 解2(1)2k x有 解221kx有 解2m a x221kx， 所 以(2 )k，。x y 0 3 axy精选学习资料 - - - - - - -

15、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师精编欢迎下载10、解：由21(1)( )213( 12)21(2).xxf xxxxxx，又( )af x有解min( )3af x，所 以3Ma a 令( )g x21 0 5( )xxxag x，恒 成 立max( )(5)9ag xg 所 以9Na a11、解：5a5a5, 5a 12 、解：12c21,21c13、解：322( )434(434)fxxaxxxxax由条件2 2a，可知29640a，从而24340 xax恒成立 当0 x时，( )0fx； 当0 x时，( )0fx因此函数( )f x在11 ，

16、上的最大值是(1)f与( 1)f两者中的较大者为使对任意2 2a，不等式( )1f x在11 ，上恒成立，当且仅当max( )1f x，即(1)1( 1)1ff，即22baba在2 2a，上恒成立即minmin( 2)( 2)baba，2 2a，所以4b，因此满足条件的b的取值范围是4，14、解： （II ）由（ I ）知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1 ()2(31)2(23aaa2443423；af24)0(则由题意得,0)0(, 0)2(1fafa即.024, 0)6)(3(34, 1aaaaa解得16a(1,6)a。15、解：依定义

17、ttxxxxtxxxf232)1()1()(。则txxxf23)(2，若)(xf在（ -1 ，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(xf恒成立。0)(xfxxt232在（ -1 ，1）上恒成立。考虑函数xxxg23)(2， （如图）由于)(xg的图象是对称轴为31x，开口向上的抛物线，故要使xxt232在（ -1 ， 1）上恒成立) 1(gt，即5t。o x 1 -1 y g(x) 31x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师精编欢迎下载而当5t时，)(xf在（ -1 ，1）上满足)(xf0，即)(xf在（ -1 ，1）上是增函数。故t 的取值范围是5t. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页