2022年广州高中数学奥赛班专题资料-由数列的递推公式求通项公式 .pdf

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1、立身以立学为先，立学以读书为本由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作an，an的公式叫做数列的通项公式常用的数列有等差数列和等比数列等差数列等比数列定义数列 an 的后一项与前一项的差anan1为常数 d数 列 an 的 后 一 项 与 前 一 项 的 比1nnaa为常数 q（q0）专有名词d 为公差q 为公比通项公式an=a1+（n1）dan=a1 qn1前 n 项和Sn=22) 1(11naadnnnanSn=qqan111数列的前n 项和 Sn与通项公式an的关系是： an=SnSn1（n2） 有些数列不是用通项公式给出

2、，而是用 an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式由数列的递推公式我们可以求出其通项公式数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题二例题精讲例 1 （裂项求和）求Sn=222222) 12()12(853283118nnn解：因为an=22) 12()12(8nnn=22) 12(1)12(1nn所以 Sn=222222)12(1)12(151313111nn=12)12(1n例 2 （倒数法）已知数列an中， a1=53，an+1=1

3、2nnaa，求 an 的通项公式解：211211nnnnaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本na1是以35为首项，公差为2 的等差数列，即351na+2（n1） =316nan=163n练习 1已知数列 an 中， a1=1， Sn=1211nnSS，求 an的通项公式解：21121111nnnnSSSSnS1是以 1 为首项，公差为2 的等差数列nS1=1+2（ n1）=2n1，即 Sn=121nan=SnSn1=321121nn=)32)(12(2nnan=3211211nn)

4、2()1(nn例3 （求和法，利用公式an=Sn Sn1， n 2）已知正数数列 an 的前n 项和Sn=nnaa121，求 an的通项公式解： S1=a1=11121aa，所以 a1=1an=SnSn12Sn=SnSn1+11nnSSSn+Sn1=11nnSS，即 Sn2Sn12=1 2nS是以 1 为首项，公差为1 的等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本Sn2=n，即 Sn=nan=SnSn1=n1n（n2）an=n1n例 4 （叠加法）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 S

5、nSn2=3 （21）n1（n3） ，且 S1=1，S2=23，求 an的通项公式解：先考虑偶数项有：S2nS2n2=31221nS2n2 S2n4= 33221nS4S2=3321将以上各式叠加得S2nS2=34114112113n，所以 S2n=2+) 1(2112nn再考虑奇数项有：S2n1 S2n1=3n221S2n1 S2n3=32221n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本S3S1=3221将以上各式叠加得S2n1=2) 1(212nn所以 a2n+1=S2n+1S2n=43n

6、221，a2n=S2n S2n1=4+31221n综上所述an=为偶数，为奇数nnnn112134,2134，即 an=（ 1）n112134n例 5 （an+1=pan+r 类型数列）在数列an中， an+1=2an 3，a1=5，求 an的通项公式解： an+13=2（an3）an3 是以 2 为首项，公比为2 的等比数列an3=2nan=2n+3练习 2在数列 an 中， a1=2，且 an+1=212na，求 an的通项公式解： an+12=21an2+21an+121=21（an2 1）an+121是以 3为首项，公比为21的等差数列an+121=3121n，即 an=1231n例

7、6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列an中， a1=1，且 an=an1+3n1，求 an 的通项公式解： （待定系数法）设an+p 3n=an1+p 3n1则 an=an12p 3n1，与 an=an1+3n1比较可知p=21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本所以23nna是常数列，且a123=21所以23nna=21，即 an=213n练习 3已知数列 an满足 Sn+an=2n+1，其中 Sn是an的前 n 项和，求 an的通项公式解： an=SnSn1 Sn+SnSn1=

8、2n+1 2Sn=Sn1+2n+1 （待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn1+p（n1）+q化简得： pnpq=2n+1，所以12qpp，即12qp2（Sn2n+1） =Sn2（n1）+1，又 S1+a1=2+1=3 ， S1=23，S12+1=21Sn2n+1 是以21为公比，以21为首项的等比数列S n2n+1=n21，即 Sn=n21+2n1，an=2n+1Sn=2n21例 7 （an+1=panr型） （20XX 年江西高考题）已知数列an 各项为正数，且满足a1=1，an+1=)4(21nnaa （1）求证： anan+10，所以 log2（2an+1）=log221（2an）2

9、=2 log2（ 2an） 1 log2（2an+1） 1=2log2（2 an） 1即log2（2an） 1是以 1 为首项，公比为2 的等比数列log2（2an） 1=1 2n1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本化简得 an=21212n练习 4 （20XX 年广州二模）已知函数4444(1)(1)( )(1)(1)xxf xxx（0 x） 在数列na中，12a，1()nnaf a（nN） ，求数列na的通项公式解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，从而有1111ln4ln11nnnnaaaa，由此及111lnln301aa知：数列1ln1nnaa是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln4ln 331131nnnnnnnnnaaaaa（nN） 。例 8 （三角代换类型）已知数列an中， a1=2，an=1111nnaa，求 an的通项公式解：令 an1=tan，则 an+1=tan4tan1tan4tan=tan4an=tan2tan4)1(atcn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页