2020届高考数学（理）课标版二轮复习训练习题：考前冲刺 突破6类解答题 .docx

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1、突破6类解答题三角函数问题重在“变”变角、变式思维流程策略指导1.常用的变角技巧:(1)已知角与特殊角的变换;(2)已知角与目标角的变换;(3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2+2,+2=-2-2-.2.常用的变式技巧:主要从函数名、次数、系数等方面入手,常见的情况有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的问题,常做换元处理,如令t=sin xcos x,t-2,2,将原问题转化为关于t的函数来处

2、理;(3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等方法.规范解答典例1(2019课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.标准答案阅卷现场解析(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.(2分)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.(4分)因为0A180,所以A=60.(5分)(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(12

3、0-C)=2sin C,(7分)即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.(9分)由于0C120,所以sin(C+60)=22,(10分)故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.(12分)第(1)问踩点得分由正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系b2+c2-a2=bc得2分.将所得边之间的关系变形并求得cos A的值得2分.由cos A的值及A的取值范围求出A的值得1分.第(2)问踩点得分借助第(1)问的结果,利用正弦定理将条件2a+b=2c转化为三角函数间的关系得2分.利用

4、三角恒等变换求得cos(C+60)的值得2分.利用同角三角函数基本关系求sin(C+60)的值得1分.通过变角,利用三角恒等变换求得sin C的值得2分.题后悟通1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”数列问题重在“归”化归思维流程策略指导化归的常用策略化归:首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量,将已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系.归纳:对于不是等差或等比的数列,可从特殊的情景出发,归纳出一般性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.规范解答典例2(2018课标全国,17,12分)等比数列an

5、中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;切入点:利用等比数列的通项公式求出公比q.(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.关键点:根据等比数列的前n项和公式,列出方程,求出m.标准答案阅卷现场解析(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.(1分)由已知得q4=4q2,(2分)解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.(4分)故an=(-2)n-1或an=2n-1.(6分)(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.(7分)由Sm=63得(-2)m=-188,(8分)此方程没有正整数解.(9分)若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,(1

6、1分)解得m=6.综上,m=6.(12分)第(1)问踩点得分正确写出通项公式得1分.根据题目中的条件,结合通项公式列出关于q的方程得1分.正确求出公比q得2分,没有将q=0舍去扣1分.每正确写出一个通项公式得1分.第(2)问踩点得分正确写出前n项和公式得1分.根据及题目中的条件,写出关于m的方程得1分.判断方程是否有正整数解,判断正确得1分.正确写出当an=2n-1时,2m=64得2分.解得m=6,正确得1分.题后悟通如果一个数列是等差(比)数列或者是可以转化为等差(比)数列的数列,破解此类题的关键点如下:(1)做判断.根据条件判断数列是等差(比)数列或者特殊的数列.(2)求基本量.若是等差(

7、比)数列,求出其首项和公差(比).(3)得结论.根据条件灵活选用公式,代入求值.立体几何问题重在“建”“转”建模、转换思维流程策略指导立体几何解答题建模、转换策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度,距离等的计算模型.建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.规范解答典例3(2019课标全国,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

8、 (1)证明:MN平面C1DE;切入点:(1)由E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点,联想到线面平行的判定定理;(2)由菱形的对角线互相垂直联想到建立空间直角坐标系.(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.关键点:(1)构造线面平行判定定理所需条件;(2)建立恰当的空间直角坐标系.标准答案阅卷现场解析(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.(1分)又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,(2分)因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.(3分)又MN平面EDC1,所以MN

9、平面C1DE.(4分)(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(5分)则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),A1A=(0,0,-4),A1M=(-1,3,-2),A1N=(-1,0,-2),MN=(0,-3,0).(6分)设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则mA1M=0,mA1A=0.所以-x+3y-2z=0,-4z=0.可取m=(3,1,0).(8分)设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则nMN=0,nA1N=0.所以-3q=0,-p-2r=0.可取n=(2,0,-1).

10、(10分)于是cos=mn|m|n|=2325=155,(11分)所以二面角A-MA1-N的正弦值为105.(12分)第(1)问踩点得分证明ME12B1C得1分.证得MEND得1分.利用平行四边形的性质,证明MNED得1分.利用线面平行的判定定理证得结论得1分.第(2)问踩点得分建立恰当的空间直角坐标系得1分.正确求出各点坐标、向量坐标得1分.正确求出平面A1MA的法向量得2分.正确求出平面A1MN的法向量得2分.正确求出两法向量夹角的余弦值得1分.正确求出二面角的正弦值得1分.题后悟通利用法向量求解空间角的关键在于“四破”概率与统计问题重在“辨”辨析、辨型、辨图思维流程策略指导概率与统计问题

11、辨析、辨型与辨图的基本策略(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立等.(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生等.(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等.(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.(5)确定随机变量的取值并求其对应的概率,写出分布列再求期望.(6)会套用求b、K2的公式求值,从而进一步求值与分析.(7)理解各图表所给的信息,根据信息找出所要数据.规范解答典例4(2019课标全国,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为

12、此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i

13、=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.(i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;切入点:(1)由X为一轮试验中甲药的得分,求得P(X=0),P(X=1)和P(X=-1)的值;(2)由pi=api-1+bp+cpi+1证明pi+1-pi为等比数列.(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.关键点:(1)由条件得出pi+1-pi=4(pi-pi-1);(2)由累加法正确

14、求出p1,进而求出p4.标准答案阅卷现场解析(1)X的所有可能取值为-1,0,1.(1分)P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).(3分)所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(4分)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.(5分)因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).(7分)因为p1-p0=p10,第(1)问踩点得分正确写出随机变量X的取值得1分.正确求出X取不同值时的概率得2分.列出X的分布

15、列得1分.第(2)问踩点得分求出a,b,c的值得1分.通过变形得出关系式pi+1-pi=4(pi-pi-1)得2分.续表标准答案阅卷现场所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(8分)(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=48-13p1.由于p8=1,故p1=348-1,(10分)所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13p1=1257.(11分)p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时

16、,认为甲药更有效的概率为p4=12570.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.(12分)得出pi+1-pi的性质得1分.根据p8,利用累加法求得p1得2分.利用累加法求得p4得1分.根据p4的值解得这种试验方案的合理得1分.题后悟通1.本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力,解决本题的关键是正确理解题意,准确将实际问题转化为数列问题,利用数列的性质求解.2.概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解了.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂

17、的辨析思维过程,常常因题设条件理解不准而出错.另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复合事件.圆锥曲线问题重在“设”设点、设线思维流程策略指导圆锥曲线解答题的常见类型:第1小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单;第2小题往往是通过方程研究曲线的性质弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求.在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步:第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出;第二

18、步,用两个交点的同一类坐标的和与积来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中.在求解时,要根据题目特征恰当地设点、设线,以简化运算.规范解答典例5(2019课标全国,21,12分)已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;切入点:(1)D为直线y=-12上的动点;(2)A,B为过D作C的两条切线的切点.(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.关键点:(1)用参数表示出直线AB的方程;(2)求出AB的弦长及点D,E

19、到直线AB的距离,列出四边形ADBE的面积的表达式,再利用直线与圆相切的条件求出参数的值.标准答案阅卷现场解析(1)证明:设Dt,-12,A(x1,y1),则x12=2y1.(1分)由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+12x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.(2分)设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.(3分)故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点0,12.(4分)(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.(5分)由y=tx+12,y=x22可得x2-2tx-1=0.(6分)于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x

20、1+x2)+1=2t2+1,|AB|=1+t2|x1-x2|=1+t2(x1+x2)2-4x1x2=2(t2+1).(8分)设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=t2+1,d2=2t2+1.(9分)因此,四边形ADBE的面积S=12|AB|(d1+d2)=(t2+3)t2+1.(10分)设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.由于EMAB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.(11分)当t=0时,S=3;当t=1时,S=42.因此,四边形ADBE的面积为3或42.(12分)第(1)问踩点得分正确设出D,A两点的坐标

21、得1分.利用切线的斜率建立t,x1,y1的关系得1分.建立与B点坐标的关系得1分.正确证明结论得1分.第(2)问踩点得分用参数表示出AB的方程得1分.联立直线与抛物线的方程并正确化简得1分.利用弦长公式得出|AB|得2分.求出D,E到AB的距离得1分.表示出四边形ADBE的面积得1分.利用直线与圆相切求出参数t的值得1分.求出四边形的面积得1分.题后悟通解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零);(3)得到根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.函数与导数问题重

22、在“分”分离、分解思维流程策略指导函数与导数问题一般以函数为载体,导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,有关函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.规范解答典例6(2018课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x0时, f(x)1;切入点:构造新函数,利用导数判断其单调性并进行证明.(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.关键点:对函数f(x)求导,并构造函数,结

23、合函数的单调性,确定函数零点的情况,最后求a.标准答案阅卷现场解析(1)证明:当a=1时, f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,(1分)则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.(2分)当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;(5分)(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在(0,+)的最小值.(6分)若h(2)0,即ae24,h(x)在(0,+)没有零点;(7分)若h(2)=0,即a=e24,h(x

24、)在(0,+)只有一个零点;(8分)若h(2)e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)21-16a3(2a)4=1-1a0.(10分)故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+)有两个零点.综上, f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=e24.(12分)第(1)问踩点得分构造函数g(x)=(x2+1)e-x-1得1分.正确求导得1分.判断出g(x)在(0,1)和(1,+)上单调递减得1分.得出结论得1分.第(2)问踩点得分判断出当a0时,h(x)没有零点得1分.求出h(x)在(0,+)的最小值为h(2)得1分.得出ae24时,h(x)在(0,+)没有零点得1分.得出a=e24时,h(x)在(0,+)只有一个零点得1分.对h(2)0得2分.判断出h(x)在(2,4a)有一个零点,并求出a的值得2分.题后悟通函数与导数综合问题的解题关键(1)求函数的极值点,先求方程f (x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.