Maple基础学习知识教学教育资料汇总.doc

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1、第一章 Maple基础1 初识计算机代数系统Maple1.1 Maple简说1980年9月, 加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机上实现的研究项目, 数学软件Maple是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目. Maple的第一个商业版本是1985年出版的. 随后几经更新, 到1992年, Windows系统下的Maple 2面世后, Maple被广泛地使用, 得到越来越多的用户. 特别是1994年, Maple 3出版后, 兴起了Maple热. 1996年初, Maple 4问世, 1998年初, Maple 5正式发行. 目前广泛流行的是

2、Maple 7以及2002年5月面市的Maple 8. Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理. Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师, 还适合化学家、生物学家和社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人. 1.2 Maple结构Maple软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library). 用户界面和

3、代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等. 代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理. Maple的大部分数学函数和过程是用Maple自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数被调用时, 在多数情况下, Maple会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用户自己调入, 如线性代数包、统计包等, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势, 只有最有用的东西才留驻内存, 这保证了Maple可以在较小内存的计算机上正常运行.

4、用户可以查看Maple的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中, 或建立自己的函数库. 1.3 Maple输入输出方式为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单“Options | Input Display和Out Display下可以选择所需的输入输出格式. Maple 7有2种输入方式: Maple语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math Notation). Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言, 它的语法和Pascal或C有一定程度的相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操

5、作命令, 如函数、序列、集合、列表、数组、表, 还包含许多数据操作命令, 如类型检验、选择、组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言. 启动Maple, 会出现新建文档中的“”提示符, 这是Maple中可执行块的标志, 在“”后即可输入命令, 结束用“;”(显示输出结果)或者“:”(不显示输出结果). 但是, 值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后, Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序). 如果要输入的命令很长, 不能在一行输完, 可以换行输入, 此时换行命令用“shift+Enter”组合键,

6、 而在最后一行加入结束标志“;”或“:”, 也可在非末行尾加符号“”完成. Maple 7有4种输出方式: Maple语言、格式化文本(Character Notation)、固定格式记法(Typeset Notation)、标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法. Maple会认识一些输入的变量名称, 如希腊字母等. 为了使用方便, 现将希腊字母表罗列如下，输入时只需录入相应的英文，要输入大写希腊字母, 只需把英文首字母大写: alphabetagammadeltaepsilonzetaetathetaiotakappalambdamunuxio

7、micronpirhosigmatauupsilonphichipsiomega有时候为了美观或特殊需要，可以采用Maple中的函数或程序设计方式控制其输出方式，如下例： for i to 10 do printf(i=%+2d and i(1/2)=%+6.3f, i, eval(sqrt(i);od;+2d的含义是带符号的十进位整数，域宽为2. 显然，这种输出方式不是我们想要的，为了得到更美观的输出效果，在语句中加入换行控制符“n”即可： for i to 10 do printf(i=%+2d and i(1/2)=%+6.3fn, i, eval(sqrt(i);od;再看下例：将输入

8、的两个数字用特殊形式打印： niceP:=proc(x,y)printf(value of x=%6.4f, value of y=%6.4f,x,y);end proc; niceP(2.4,2002.204);1.4 Maple联机帮助学会寻求联机帮助是掌握一个软件的钥匙. Maple有一个非常好的联机帮助系统, 它包含了90%以上命令的使用说明. 要了解Maple的功能可用菜单帮助“Help”, 它给出Maple内容的浏览表, 这是一种树结构的目录表, 跟有的词条说明其后还有子目录, 点击这样的词条后子目录就会出现(也可以用Tab键和up, down选定). 可以从底栏中看到函数命令全称

9、, 例如, 我们选graphics, 出现该条的子目录, 从中选2D, 再选plot就可得到作函数图象的命令plot的完整帮助信息. 一般帮助信息都有实例, 我们可以将实例中的命令部分拷贝到作业面进行计算、演示, 由此可了解该命令的作用. 在使用过程中, 如果对一个命令把握不准, 可用键盘命令对某个命令进行查询. 例如, 在命令区输入命令“?plot”(或help(plot);), 然后回车将给出plot命令的帮助信息, 或者将鼠标放在选定的要查询的命令的任何位置再点击菜单中的“Help”即可. 2 Maple的基本运算2.1 数值计算问题算术是数学中最古老、最基础和最初等的一个分支, 它研究

10、数的性质及其运算, 主要包括自然数、分数、小数的性质以及他们的加、减、乘、除四则运算. 在应用Maple做算术运算时, 只需将Maple当作一个“计算器”使用, 所不同的是命令结束时需加“;”或“:”. 在Maple中, 主要的算术运算符有“+”(加)、“”(减)、“*”(乘)、“/”(除)以及“”(乘方或幂，或记为*), 算术运算符与数字或字母一起组成任意表达式, 但其中“+”、“*”是最基本的运算, 其余运算均可归诸于求和或乘积形式. 算述表达式运算的次序为: 从左到右, 圆括号最先, 幂运算优先, 其次是乘除，最后是加减. 值得注意的是, “”的表达式只能有两个操作数, 换言之, 是错误

11、的, 而“+”或“*”的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数. Maple有能力精确计算任意位的整数、有理数或者实数、复数的四则运算, 以及模算术、硬件浮点数和任意精度的浮点数甚至于矩阵的计算等等. 总之, Maple可以进行任意数值计算. 但是, 任何软件或程序毕竟只是人们进行科学研究的一种必要的辅助, 即便它有很多优点, 但也有它的局限性, 为了客观地认识数学软件、认识Maple, 下面通过两个简单例子予以说明. 第一个简单的数值计算实例想说明Maple数值计算的答案的正确性: 3!;上述运算结果在IBM PC机(1G, 128M)上计算只需要0.01秒, 得到如此复杂的结果(1747

12、位), 一个自然的问题是: 答案正确吗？为了回答这个问题, 我们借助于数值分析方法, 由Stiring公式可得: , 前三位数字与Maple输出结果相同, 且两者结果均为1747位. 另外, 在720!的计算中, 5的因子的个数为: 这些5与足够多的2相乘将得到178个0, 而Maple的输出结果中最后178位数为零. 由此, 可以相信Maple结果的正确性. 另一个例子则想说明Maple计算的局限性: Maple在处理问题时, 为了避免失根, 从不求算术式的近似值, 分数则化简为既约分数. 因此, 在Maple中很容易得到: 显然这是错误的. 这一点可以从代数的角度予以分析. 不妨设, 则,

13、 即, 显然有3个结果, -2是其实数结果. 另一方面, 设, 则, 即:显然有6个结果, -2、2是其实数结果. 这个简单的例子说明了Maple在数值计算方面绝对不是万能的, 其计算结果也不是完全正确的, 但是, 通过更多的实验可以发现: Maple只可能丢失部分结果, 而不会增加或很少给出完全错误的结果(如上例中Maple的浮点数结果皆为). 这一点提醒我们, 在利用Maple或其他任何数学软件或应用程序进行科学计算时, 必须运用相关数学基础知识校验结果的正确性. 尽管Maple存在缺陷(实际上, 任何一个数学软件或程序都存在缺陷), 但无数的事实说明Maple仍然不失为一个具有强大科学计

14、算功能的计算机代数系统. 事实上, Maple同其他数学软件或程序一样只是科学计算的一个辅助工具, 数学基础才是数学科学中最重要的. 2.1.1 有理数运算作为一个符号代数系统, Maple可以绝对避免算术运算的舍入误差. 与计算器不同, Maple从来不自作主张把算术式近似成浮点数, 而只是把两个有公因数的整数的商作化简处理. 如果要求出两个整数运算的近似值时, 只需在任意一个整数后加“.”(或“.0”), 或者利用“evalf”命令把表达式转换成浮点形式, 默认浮点数位是10 (即: Digits:=10, 据此可任意改变浮点数位, 如Digits:=20). 12!+(7*82)-123

15、45/125; 123456789/987654321; evalf(%); 10!; 100*100+1000+10+1; (100+100)*100-9; big_number:=3(33); length(%);上述实验中使用了一个变量“big_number”并用“:=”对其赋值, 与Pascal语言一样为一个变量赋值用的是“:=”. 而另一个函数“length”作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的长度. “%”是一个非常有用的简写形式, 表示最后一次执行结果, 在本例中是上一行输出结果. 再看下面数值计算例子: 1)整数的余(irem)/商(iquo)命令格式: irem(m,n)

16、; 求m除以n的余数irem(m,n,q); 求m除以n的余数, 并将商赋给qiquo(m,n); 求m除以n的商数iquo(m,n,r); 求m除以n的商数, 并将余数赋给r其中, m, n是整数或整数函数, 也可以是代数值, 此时, irem保留为未求值. irem(2002,101,q); # 求2002除以101的余数, 将商赋给q q; #显示q iquo(2002,101,r); # 求2002除以101的商, 将余数赋给r r; 显示r irem(x,3);2)素数判别(isprime)素数判别一直是初等数论的一个难点, 也是整数分解问题的基础. Maple提供的isprime命

17、令可以判定一个整数n是否为素数. 命令格式: isprime(n); 如果判定n可分解, 则返回false, 如果返回true, 则n“很可能”是素数. isprime(2(24)+1); isprime(2(25)+1);上述两个例子是一个有趣的数论难题。形如的数称为Fermat数, 其中的素数称为Fermat素数, 显然, F0=3、F1=5、F2=17、F3=257、F4=65537都是素数. Fermat曾经猜想所有的Fn都是素数, 但是Euler在1732年证明了F5=6416700417不是素数. 目前, 这仍是一个未解决的问题, 人们不知道还有没有Fermat素数, 更不知道这样

18、的素数是否有无穷多. 3) 确定第i个素数(ithprime)若记第1个素数为2，判断第i个素数的命令格式: ithprime(i); ithprime(2002); ithprime(10000);4) 确定下一个较大(nextprime)/较小(prevprime)素数当n为整数时，判断比n稍大或稍小的素数的命令格式为: nextprime(n); prevprime(n); nextprime(2002); prevprime(2002);5) 一组数的最大值(max)/最小值(min)命令格式: max(x1,x2,xn); #求x1,x2,xn中的最大值 min(x1,x2,xn);

19、 #求x1,x2,xn中的最小值 max(1/5,ln(3),9/17,-infinity); min(x+1,x+2,y);6)模运算(mod/modp/mods)命令格式: e mod m; # 表达式e对m的整数的模运算modp(e,m); e对正数m的模运算mods(e,m); e对m负对称数(即 -m)的模运算mod(e,m); # 表达式e对m的整数的模运算, 与e mod m等价值得注意的是, 要计算in mod m(其中i是一整数), 使用这种“明显的”语法是不必要的, 因为在计算模m之前, 指数要先在整数(可能导致一个非常大的整数)上计算. 更适合的是使用惰性运算符“&”即:

20、 i &n mod m, 此时, 指数运算将由mod运算符智能地处理. 另一方面, mod运算符的左面优先比其他运算符低, 而右面优先高于+和-, 但低于*和/. 2002 mod 101; modp(2002,101); mods(49,100); mods(51,100); 2101 mod 2002; # 同 2 &101 mod 2002;7)随机数生成器(rand)命令格式: rand( ); 随机返回一个12位数字的非负整数rand(a.b); 调用rand(a.b)返回一个程序, 它在调用时生成一个在范围a, b内的随机数 rand(); myproc:=rand(1.2002)

21、: myproc(); myproc(); 注意, rand(n)是rand(0.n-1)的简写形式.2.1.2 复数运算复数是Maple中的基本数据类型. 虚数单位i在Maple中用I表示. 在运算中, 数值类型转化成复数类型是自动的, 所有的算术运算符对复数类型均适用. 另外还可以用Re( )、Im( )、conjugate( )和argument( )等函数分别计算实数的实部、虚部、共轭复数和幅角主值等运算. 试作如下实验: complex_number:=(1+2*I)*(3+4*I); Re(%);Im(%);conjugate(%);argument(complex_number)

22、;值得注意的是上行命令中均以“;”结束, 因此不能将命令中的2个%或3个%(最多只能用3个%)改为1个%, 因为%表示上一次输出结果, 若上行命令改为“,”结束, 则均可用1个%. 为了在符号表达式中进行复数运算, 可以用函数evalc( ), 函数evalc把表达式中所有的符号变量都当成实数, 也就是认为所有的复变量都写成的形式, 其中a、b都是实变量. 另外还有一些实用命令, 分述如下: 1) 绝对值函数命令格式: abs(expr); 当expr为实数时，返回其绝对值，当expr为复数时，返回复数的模. abs(-2002); #常数的绝对值 abs(1+2*I); 复数的模 abs(s

23、qrt(3)*I*u2*v); 复数表达式的绝对值 abs(2*x-5); 函数表达式的绝对值2)复数的幅角函数命令格式: argument(x); 返回复数x的幅角的主值 argument(6+11*I); argument(exp(4*Pi/3*I);3)共轭复数命令格式: conjugate(x); 返回x的共轭复数 conjugate(6+8*I); conjugate(exp(4*Pi/3*I);2.1.3 数的进制转换数的进制是数值运算中的一个重要问题. 而在Maple中数的进制转换非常容易, 使用convert命令即可. 命令格式: convert(expr, form, arg

24、3, .); 其中, expr为任意表达式, form为一名称, arg3, . 可选项. 下面对其中常用数的转换予以概述. 而convert的其它功能将在后叙章节详述. 1)基数之间的转换命令格式: convert(n, base, beta); #将基数为10的数n转换为基数为beta的数 convert(n, base, alpha, beta);将基数为alpha的数字n转换为基数为beta的数 convert(2003,base,7); #将10进制数2002转换为7进制数, 结果为: (5561)7 convert(1,6,5,5,base,7,10); 将7进制数5561转换为1

25、0进制数 convert(2002,base,60); 将十进制数2002转换为60进制数, 得33(分钟)22(秒) 2)转换为二进制形式命令格式: convert(n, binary);其功能是将十进制数n转换为2进制数. 值得注意的是, 数可以是正的, 也可以是负的, 或者是整数, 或者是浮点数, 是浮点数时情况较为复杂. convert(2002,binary); convert(-1999,binary); convert(1999.7,binary); 3)转换为十进制形式其它数值转换为十进制的命令格式为: convert(n, decimal, binary); #将一个2进制数

26、n转换为10进制数 convert(n, decimal, octal); #将一个8进制数n转换为10进制数 convert(string, decimal, hex); #将一个16进制字符串string转换为10进制数 convert(11111010010, decimal, binary); convert(-1234, decimal, octal); convert(2A.C, decimal, hex); 4) 转换为16进制数将自然数n转换为16进制数的命令格式为: convert(n, hex); convert(2002,hex); convert(1999,hex);5

27、)转换为浮点数命令格式: convert(expr, float);注意, convert/float命令将任意表达式转换为精度为全局变量Digits的浮点数, 且仅是对evalf的调用. convert(1999/2002,float); convert(Pi,float);2.2 初等数学 初等数学是数学的基础之一, 也是数学中最有魅力的一部分内容. 通过下面的内容我们可以领略Maple对初等数学的驾驭能力, 也可以通过这些实验对Maple产生一些感性认识. 2.2.1 常用函数作为一个数学工具, 基本的数学函数是必不可少的, Maple中的数学函数很多, 现例举一二如下: 指数函数: e

28、xp一般对数: loga自然函数: ln常用对数: log10平方根: sqrt绝对值: abs三角函数: sin、cos、tan、sec、csc、cot反三角函数: arcsin、arccos、arctan、arcsec、arccsc、arccot双曲函数: sinh、cosh、tanh、sech、csch、coth反双曲函数: arcsinh、arccosh、arctanh、arcsech、arccsch、arccoth贝赛尔函数: BesselI、BesselJ、BesselK、BesselYGamma函数: GAMMA误差函数: erf函数是数学研究与应用的基础之一, 现通过一些实验说

29、明Maple中的函数的用法及功能. 1) 确定乘积和不确定乘积命令格式: product(f,k); product(f,k=m.n); product(f,k=alpha); product(f,k=expr);其中, f任意表达式, k乘积指数名称, m,n整数或任意表达式, alpha代数数RootOf, expr包含k的任意表达式. product(k2,k=1.10); #计算关于1.10的连乘 product(k2,k); 计算的不确定乘积 product(ak,k=0.5); 计算ai(i=0.5)的连乘 product(ak,k=0.n); 计算ai(i=0.n)的连乘 Pro

30、duct(n+k,k=0.m)=product(n+k,k=0.m); #计算(n+k)的连乘, 并写出其惰性表达式 product(k,k=RootOf(x3-2); #计算的三个根的乘积 product命令计算符号乘积, 常常用来计算一个公式的确实或不确实的乘积. 如果这个公式不能求值计算, Maple返回函数. 典型的例子是: product(x+k,k=0.n-1);如果求一个有限序列值的乘积而不是计算一个公式, 则用mul命令. 如: mul(x+k,k=0.3);2)指数函数计算指数函数exp关于x的表达式的命令格式为: exp(x); exp(1); evalf(%); exp(

31、1.29+2*I); evalc(exp(x+I*y);3)确定求和与不确定求和sum命令格式: sum(f,k); sum(f,k=m.n); sum(f,k=alpha); sum(f,k=expr);其中, f任意表达式, k乘积指数名称, m,n整数或任意表达式, alpha代数数RootOf, expr不含k的表达式. Sum(k2,k=1.n)=sum(k2,k=1.n); Sum(k3,k=1.n)=sum(k3,k=1.n); Sum(k4,k=1.n)=sum(k4,k=1.n); Sum(1/k!,k=0.infinity)=sum(1/k!,k=0.infinity);

32、sum(ak*xk,k=0.n); Sum(k/(k+1),k)=sum(k/(k+1),k); sum(k/(k+1),k=RootOf(x2-3);sum函数可计算一个公式的确定和与不确定和, 如果Maple无法计算封闭形式, 则返回未求值的结果. 值得注意的是, 在sum命令中将f和k用单引号括起来, 可避免过早求值. 这一点在某些情况下是必需的. Sum(k,k=0.n)=sum(k,k=0.n);如果计算一个有限序列的值, 而不是计算一个公式, 可用add命令. 如: add(k,k=1.100);尽管sum命令常常用于计算显式求和, 但在程序设计中计算一个显式和应该使用add命令.

33、 另外, sum知道各种求和方法, 并会对各类发散的求和给出正确的结果, 如果要将求和限制为收敛求和, 就必须检查显式的收敛性. 3)三角函数/双曲函数命令格式: sin(x); cos(x); tan(x); cot(x); sec(x); csc(x); sinh(x); cosh(x); tanh(x); coth(x); sech(x); csch(x);其中, x为任意表达式. 值得注意的是三角函数/双曲函数的参数以弧度为单位. Maple提供了利用常见三角函数/双曲函数恒等式进行化简和展开的程序, 也有将其转化为其它函数的命令convert. Sin(Pi)=sin(Pi); co

34、th(1.9+2.1*I); expand(sin(x+y); #展开表达式 combine(%); 合并表达式 convert(sin(7*Pi/60),radical); evalf(%);但有趣的是, combine只对sin, cos有效, 对tan, cot竟无能为力.4)反三角函数/反双曲函数命令格式: arcsin(x); arccos(x); arctan(x); arccot(x); arcsec(x); arccsc(x); arcsinh(x); arccosh(x); arctanh(x); arccoth(x); arcsech(x); arccsch(x); arc

35、tan(y,x);其中, x, y为表达式. 反三角函数/反双曲函数的参数必须按弧度计算. 算子记法可用于对于反三角函数和反双曲函数. 例如, sin(-1)求值为arcsin. arcsinh(1); cos(arcsin(x); arcsin(1.9+2.1*I);5)对数函数命令格式: ln(x); #自然对数loga(x); #一般对数log10(x); #常用对数一般地, 在ln(x)中要求x0. 但对于复数型表达式x, 有: (其中, ) ln(2002.0); ln(3+4*I); evalc(%); # 求出上式的实部、虚部 log10(1000000); simplify(%

36、); 化简上式2.2.2 函数的定义Maple是一个计算机代数系统, 带未知或者已知字母变量的表达式是它的基本数据形式. 一个简单的问题是, 既然表达式中可以包含未知变量, 那么它是不是函数呢？试看下面一个例子: f(x):=a*x2+b*x+c;可以看出, Maple接受了这样的赋值语句, 但f(x)是不是一个函数呢？要回答这个问题，一个简单的方法是求函数值: f(x),f(0),f(1/a);由上述结果可以看出, 用赋值方法定义的f(x)是一个表达式而不是一个函数, 因为f(x)不能把所定义的“自变量”或者“参数”转换成别的变量或表达式. 但从赋值“过程”可以看出, f(x)虽然也算是一个

37、“函数”, 但却是一个没有具体定义的函数: print(f);事实上, 我们所做的赋值运算, 只不过是在函数f的记忆表(remember table)中加入了f(x)在x上的值, 当我们把自变量换作0或1/a时, f(x)的记忆表中没有对应的表项, 所以输出结果就是抽象的表达式. 在Maple中, 要真正完成一个函数的定义, 需要用算子(也称箭头操作符): f:=x-a*x2+b*x+c; f(x),f(0),f(1/a);多变量的函数也可以用同样的方法予以定义, 只不过要把所有的自变量定成一个序列, 并用一个括号“()”将它们括起来(这个括号是必须的, 因为括号运算优先于分隔符“,”). f

38、:=(x,y)-x2+y2; f(1,2); f:=(x,y)-a*x*y*exp(x2+y2);综上所述, 箭头操作符定义函数的方式一般为: 一元函数: 参数-函数表达式多多函数: (参数序列)-函数表达式无参数函数也许不好理解, 但可以用来定义常函数: E:=()-exp(1); E(); E(x);另一个定义函数的命令是unapply,其作用是从一个表达式建立一个算子或函数. 定义一个表达式为expr的关于x的函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x); 定义一个表达式为expr的关于x,y,的多元函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x, y, );

39、 f:=unapply(x4+x3+x2+x+1,x); f(4); f:=unapply(x*y/(x2+y2),x,y); f(1,1);借助函数piecewise可以生成简单分段函数： abs(x)=piecewise(x0,x,x=0,0,x unassign(f); f(1,1);除此之外, 还可以通过程序设计方式定义函数(参见第6章). 定义了一个函数后, 就可以使用op或nops指令查看有关函数中操作数的信息. nops(expr)返回操作数的个数, 函数op的主要功能是获取表达式的操作数，其命令格式为：op(expr); op(i, expr); op(i . j, expr)

40、; nops(expr);如果函数op中的参数i是正整数，则op取出expr里第i个操作数, 如果i是负整数, 则其结果为op(nops(expr)+i+1, expr); 而i=0的情形较为复杂, 当expr为函数时, op(0, expr)返回函数名, 当expr为级数时, 返回级数的展开点(x-x0), 其它数据类型, op(0, expr)返回expr的类型. 命令op(i . j, expr); 执行的结果是expr的第i到第j个操作数, i.j中含负整数时的情形同上.命令op(expr); 等价于op(1.nops(expr), expr); 特别地, 当op函数中i为列表a1,

41、a2, ., an, 则op(a1, a2, ., an, expr); 等价于op(an, op(., op(a2, op(a1, e).); 而当expr为一般表达式时，nops(expr)命令返回的是表达式的项数, 当expr是级数时返回级数每一项的系数和指数的总和. expr:=6+cos(x)+sin(x)*cos(x)2; op(expr); nops(expr); p:=x2*y+3*x3*z+2; op(1,p); op(1.nops(p),p); op(op(2,p); u:=1,4,9; op(0,u); s:=series(sin(x),x=1,3); op(0,s);

42、nops(s);下面一个有趣的例子说明了Maple在处理算术运算时的“个性”： op(x*y*z); op(x*y*z+1);2.2.3 Maple中的常量与变量名为了解决数学问题, 一些常用的数学常数是必要的. Maple系统中已经存储了一些数学常数在表达式序列constants中: constants;为了方便使用, 现将上述常数的具体含义列示如下:常 数名 称近似值圆周率Pi3.1415926535Catalan常数Catalan0.9159655942Euler-Mascheroni常数gamma0.5772156649infinity需要注意的是, 自然对数的底数e未作为一个常数出现

43、, 但这个常数是存在的, 可以通过exp(1)来获取. 在Maple中, 最简单的变量名是字符串, 变量名是由字母、数码或下划线组成的序列, 其中第一个字符必须是字母或是下划线. 名字的长度限制是499个字符. 在定义变量名时常用连接符“.”将两个字符串连接成一个名. 主要有三种形式: “名.自然数”、“名.字符串”、“名.表达式”. 值得注意的是, 在Maple中是区分字母大小写的. 在使用变量、常量和函数时应记住这一点. 数学常量用Pi表示, 而pi则仅为符号无任何意义. 如g, G, new_term, New_Team, x13a, x13A都是不同的变量名. 在Maple中有一些保留

44、字不可以被用作变量名: by do done elif else end fi for from if in local od option options proc quit read save stop then to while DMaple中的内部函数如sin, cos, exp, sqrt, 等也不可以作变量名. 另外一个值得注意的是在Maple中三种类型引号的不同作用: : 界定一个包含特殊字符的符号, 是为了输入特殊字符串用的; : 界定一个暂时不求值的表达式; : 界定一个字符串, 它不能被赋值. 2.2.4 函数类型转换 函数类型转换是数学应用中一个重要问题, 譬如, 将三角函数转换成指数函数, 双曲函数转换成指数函数, 等等. 在Maple中, 实现函数类型转换的命令是convert. 命令格式: convert(expr, form);