2022年算法设计与分析考试题及答案 .pdf

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1、一、填空题 （20分）1. 一个算法就是一个有穷规则的集合， 其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_,_,_,_,_ 。2. 算法的复杂性有 _ 和_ 之分，衡量一个算法好坏的标准是 _ 。3. 某 一 问 题 可 用 动 态 规 划 算 法 求 解 的 显 著 特 征 是_ 。4. 若序列 X=B,C,A,D,B,C,D ，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，请给出序列 X和 Y的一个最长公共子序列 _ 。5. 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间， 问题的解空间至少应包含_ 。6. 动 态 规 划 算 法 的 基 本 思 想 是 将

2、待 求 解 问 题 分 解 成 若 干_ ，先求解 _，然后从这些 _的解得到原问题的解。7. 以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_ 。8.0-1 背包问题的回溯算法所需的计算时间为_,用动态规划算法所需的计算时间为_ 。9. 动态规划算法的两个基本要素是_ 和_。10. 二分搜索算法是利用 _ 实现的算法。二、综合题 （50分）1. 写出设计动态规划算法的主要步骤。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2. 流水作业调度问题的johnson 算法的思想。3. 若 n=4，在机器 M1和 M2上加工作业 i 所需的

3、时间分别为ai和 bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求 4 个作业的最优调度方案，并计算最优值。4. 使用回溯法解 0/1 背包问题： n=3，C=9 ，V=6,10,3 ，W=3,4,4,其解空间有长度为3 的 0-1 向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发，左1 右 0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。5. 设 S= X1，X2， ，Xn是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存储 S中的元素，在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X，返回的结果有两种情形，（1）在二叉搜索树的内结点中找到X=Xi，

4、其概率为 bi。 （2）在二叉搜索树的叶结点中确定X（Xi，Xi+1） ，其概率为ai。在表示 S的二叉搜索树 T中，设存储元素 Xi的结点深度为 Ci；叶结点（Xi，Xi+1）的结点深度为 di，则二叉搜索树 T的平均路长 p 为多少？假设二叉搜索树Tij=Xi，Xi+1， ，Xj最优值为 mij，Wij= ai-1+bi+ +bj+aj，则 mij(1=i=j=n)递归关系表达式为什么？6. 描述 0-1 背包问题。三、简答题 （30分）1.流水作业调度中，已知有n 个作业，机器 M1和 M2上加工作业 i 所需的时间分别为 ai和 bi， 请写出流水作业调度问题的johnson 法则中对

5、 ai和 bi的排序算法。（函数名可写为 sort(s,n)）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页2.最优二叉搜索树问题的动态规划算法（设函数名binarysearchtree) ）答案：一、填空1确定性有穷性可行性 0 个或多个输入一个或多个输出2. 时间复杂性空间复杂性时间复杂度高低3. 该问题具有最优子结构性质4.BABCD或CABCD 或CADCD 5. 一个（最优）解6. 子问题子问题子问题7. 回溯法8. o(n*2n) o(minnc,2n) 9. 最优子结构重叠子问题10. 动态规划法二、综合题1.

6、问题具有最优子结构性质；构造最优值的递归关系表达式；最优值的算法描述；构造最优解；2. 令 N1=i|ai=bi ；将 N1中作业按 ai的非减序排序得到 N1 ，将 N2中作业按 bi的非增序排序得到N2 ；N1中作业接 N2中作业就构成了满足Johnson 法则的最优调度。3. 步骤为： N1=1，3 ，N2=2，4；N1=1，3 ， N2=4，2；最优值为： 38 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4. 解空间为 (0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),

7、 (1,1,0),(1,1,1)。解空间树为：该问题的最优值为： 16 最优解为：（1，1，0）5. 二叉树 T的平均路长 P=ni 1Ci)(1*bi+nj 0dj*ajmij=0 (ij) 6. 已知一个背包的容量为C ，有 n 件物品，物品 i 的重量为 Wi，价值为 Vi，求应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。三、简答题1. void sort(flowjope s,int n) A B C F E D G K J I H O N M L 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 mij=Wij+minmik+mk+1j (1=i=j=n,mii-

8、1=0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页int i,k,j,l; for(i=1;i=n-1;i+)/- 选择排序 k=i; while(kn) break;/-没有 ai，跳出else for(j=k+1;jsj.a) k=j; swap(si.index,sk.index); swap(si.tag,sk.tag); l=i;/- 记下当前第一个 bi的下标for(i=l;i=n-1;i+) k=i; for(j=k+1;j=n;j+) if(sk.bsj.b) k=j; swap(si.index,sk.i

9、ndex); /- 只移动 index 和 tag 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页swap(si.tag,sk.tag); 2. void binarysearchtree(int a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l; for(i=1;i=n+1;i+) wii-1=ai-1; mii-1=0; for(l=0;l=n-1;l+)/-l是下标 j-i 的差for(i=1;i=n-l;i+) j=i+l; wij=wij-1+aj+bj; mij=m

10、ii-1+mi+1j+wij; sij=i; for(k=i+1;k=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页if(tmij) mij=t; sij=k; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页一、填空题（本题15 分，每小题1 分）1、 算法就是一组有穷的，它们规定了解决某一特定类型问题的。2、 在进行问题的计算复杂性分析之前，首先必须建立求解问题所用的计算模型。3 个基本计算模型是、。3、 算

11、法的复杂性是的度量，是评价算法优劣的重要依据。4、 计算机的资源最重要的是和资源。因而，算法的复杂性有和之分。5、 f(n)= 62n+n2，f(n) 的渐进性态f(n)= O( )6、 贪心算法总是做出在当前看来的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的。7、 许多可以用贪心算法求解的问题一般具有2 个重要的性质：性质和性质。二、简答题（本题25 分，每小题5 分）1、 简单描述分治法的基本思想。2、 简述动态规划方法所运用的最优化原理。3、 何谓最优子结构性质？4、 简单描述回溯法基本思想。5、 何谓 P 、 NP 、NPC问题三、算法填空（本题20 分，

12、每小题5 分）1、n 后问题回溯算法(1) 用二维数组ANN 存储皇后位置 , 若第 i 行第 j 列放有皇后 , 则 Aij为非 0 值, 否则值为 0。(2) 分别用一维数组MN、L2*N-1 、R2*N-1 表示竖列、 左斜线、 右斜线是否放有棋子，有则值为1, 否则值为0。for(j=0;j=0;r-) /自底向上递归计算for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1ctr+1c+1) 2 ；else 3 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页3、Hanoi 算法Hanoi(n,a,b,c) if （n=1

13、） 1 ；else 2 ； 3 ；Hanoi(n-1,b, a, c); 4、Dijkstra算法求单源最短路径du:s到 u 的距离 pu:记录前一节点信息Init-single-source(G,s) for each vertex vVG do dv= ; 1 ds=0 Relax(u,v,w) if dvdu+w(u,v) then dv=du+wu,v; 2 dijkstra(G,w,s) 1. Init-single-source(G,s) 2. S= 3. Q=VG 4.while Q do u=min(Q) S=Su for each vertex 3 do 4 四、算法理解题

14、（本题10 分）根据优先队列式分支限界法，求下图中从v1 点到 v9 点的单源最短路径，请画出求得最优解的解空间树。要求中间被舍弃的结点用标记，获得中间解的结点用单圆圈框起，最优解用双圆圈框起。五、算法理解题（本题5 分）设有 n=2k个运动员要进行循环赛，现设计一个满足以下要求的比赛日程表：每个选手必须与其他n-1 名选手比赛各一次；每个选手一天至多只能赛一次；循环赛要在最短时间内完成。（1）如果 n=2k，循环赛最少需要进行几天；（2）当 n=23=8 时，请画出循环赛日程表。六、算法设计题（本题15 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

15、- -第 9 页，共 13 页分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计0-1 背包问题。要求：说明所使用的算法策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间。七、算法设计题（本题10 分）通过键盘输入一个高精度的正整数n(n 的有效位数240)，去掉其中任意s 个数字后，剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的n 和 s，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。【样例输入】178543 S=4 【样例输出】13 一、填空题（本题15 分，每小题1 分）1规则一系列运算2. 随机存取机RAM(Random Access Machine) ；随机存取存储程序机RASP(Random

16、 Access Stored Program Machine) ；图灵机 (Turing Machine) 3. 算法效率4. 时间 、空间、时间复杂度、空间复杂度52n 6 最好局部最优选择7. 贪心选择最优子结构二、简答题（本题25 分，每小题5 分）6、 分治法的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；对这k 个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k 个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。7、 “ 最

17、优化原理 ” 用数学化的语言来描述：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策 D1，D2 ， ，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 k n，不论前面k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1，Dk+2，Dn也是最优的。8、 某个问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。9、 回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深度优先搜索，解为叶子结点。搜索过程中，每到达一个结点时，则判断该结点为根的子树是否含有问题的解，如果可以确定该子树中不含有问题的解，则放弃对该子树的搜索，退回到上层父

18、结点，继续下一步深度优先搜索过程。在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间树，再进行搜索，而是在搜索过程，逐步构造出状态空间树，即边搜索，边构造。10、P(Polynomial问题 ) ：也即是多项式复杂程度的问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页NP 就是 Non-deterministicPolynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。NPC(NP Complete) 问题，这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才能得出答案，这样的问题是NP里面最难的问题，这种问题就是NPC问题。三、算

19、法填空（本题20 分，每小题5 分）1、n 后问题回溯算法(1) !Mj&!Li+j&!Ri-j+N (2) Mj=Li+j=Ri-j+N=1; (3) try(i+1,M,L,R,A) (4) Aij=0 (5) Mj=Li+j=Ri-j+N=0 2、数塔问题。（1）c=r (2)trc+=tr+1c （3）trc+=tr+1c+1 3、Hanoi 算法（1）move(a,c) （2）Hanoi(n-1, a, c , b) （3）Move(a,c) 4、 （ 1）pv=NIL （2）pv=u (3) vadju （4）Relax(u,v,w) 四、算法理解题（本题10 分）五、 （1）8

20、天（2 分） ；（2）当 n=23=8 时，循环赛日程表（ 3 分） 。六、算法设计题（本题15 分）1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4 1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页（1）贪心算法O（ nlog（n） ）?首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量

21、价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。?具体算法可描述如下：void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x) Sort(n,v,w); int i; for (i=1;i=n;i+) xi=0; float c=M; for (i=1;ic) break; xi=1; c-=wi; if (i=n) xi=c/wi; （2）动态规划法O(nc) m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1 ，n 时

22、0-1 背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i ，j)的递归式如下。void KnapSack(int v,int w,int c,int n,int m11) int jMax=min(wn-1,c); for (j=0;j=jMax;j+) /*m(n,j)=0 0=jwn*/ mnj=0; for (j=wn;j=wn*/ mnj=vn; for (i=n-1;i1;i-) int jMax=min(wi-1,c); for (j=0;j=jMax;j+) /*m(i,j)=m(i+1,j) 0=jwi*/ mij=mi+1j; for (j=wi;j=w

23、n*/ mij=max(mi+1j,mi+1j-wi+vi); m1c=m2c; if(c=w1) m1c=max(m1c,m2c-w1+v1); iiiiwjwjjimvwjimjimjim0), 1(), 1(), 1(max),(nnnwjwjvjnm00),(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页（3）回溯法O(2n) cw:当前重量cp:当前价值bestp：当前最优值void backtrack( int i) /回溯法 i 初值 1 if(i n) /到达叶结点 bestp = cp; return; i

24、f(cw + wi bestp) /搜索右子树 backtrack(i+1); 七、算法设计题（本题10 分）为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后一个数字，否则删除第一个递减区间的首字符。然后回到串首，按上述规则再删除下一个数字。重复以上过程 s 次，剩下的数字串便是问题的解了。具体算法如下：输入 s, n; while（ s 0 ） i=1; /从串首开始找while (i length(n) & (ni1)& (n1= 0 ) delete(n,1,1); / 删去串首可能产生的无用零输出 n; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页